圓的有關(guān)性質(zhì)-圓周角（全國賽課公開課一等獎）課件-九年級數(shù)學(xué)新人教版上冊

人教版九年級上冊圓周角教學(xué)目標(biāo)010203理解圓周角的概念，圓周角定理及推論。掌握圓周角與圓心角的關(guān)系。

會用圓周角定理及推論進(jìn)行計算。01重點：掌握圓周角定理幾個推論的內(nèi)容。02難點：會用圓周角定理及推理推論解決問題重難點引入新課5復(fù)習(xí)備用弧、弦、圓心角1、圓是中心對稱圖形，對稱中心是:

.2、圓心角:

.3、在同圓或等圓中圓心角相等兩條弧相等兩條弦相等知一推二弦心距相等，兩條弦也相等。復(fù)習(xí)回顧圓心角什么是圓心角呢？你知道它的定義嗎？判一判：判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由.①②③④不是不是不是，頂點在圓周上。圓心角01圓周角概念9情景引入哪一點射門最佳？乙甲僅從射門角度大小考慮，誰相對于球門的角度更好？ABCDO丙新課導(dǎo)入如圖，把圓心角∠AOB的頂點O拉到圓上，得到∠ACB.問題1：∠ACB有什么特點？它與∠AOB有何異同？問題2：你能仿照圓心角的定義給∠ACB取一個名字并下定義嗎？ABOC推進(jìn)新課知識點圓周角的定義及圓周角定理1.圓心角的定義?頂點在圓心的角叫圓心角.ABOC2.圖中∠ACB的頂點和邊有哪些特點？

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角．如圖：在圓中，除圓心角外，還有一類角(如圖中的∠ACB)，它的頂點在圓上①，并且兩邊都與圓相交②.我們把這樣的角叫做圓周角.CAOB（兩個條件必須同時具備，缺一不可.）·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA

下列各圖中的∠BAC是否為圓周角并簡述理由.（2）（1）（3）（5）（6）頂點不在圓上頂點不在圓上邊AC沒有和圓相交√√√

練一練：歸納總結(jié)圓周角必須具備兩個條件：①頂點在圓上.②兩邊都與圓相交.歸納總結(jié)圓周角圓心角區(qū)別聯(lián)系角的頂點在圓上角的頂點是圓心一條弧所對的圓周角有無數(shù)個一條弧所對的圓心角有且只有一個角的兩邊都與圓相交02圓周角推論及其應(yīng)用新知探究CAOB問題：如圖，連接AO，BO，得到圓心角∠AOB.可以發(fā)現(xiàn)，∠ACB與∠AOB對著同一條弧AB，它們之間存在什么關(guān)系呢?圓周角定理及其推論知識點圖中圓周角∠ACB和圓心角∠AOB有怎樣的關(guān)系？ABOC探究先猜一猜，再用量角器量一量.定理證明（1）我發(fā)現(xiàn)圓心在∠C的一條邊上；如圖（1）（2）我發(fā)現(xiàn)圓心在∠C的內(nèi)部；如圖（2）（3）我發(fā)現(xiàn)圓心在∠C的外部；如圖（3）同學(xué)們：你能說明他們發(fā)現(xiàn)三種情況,成立的理由嗎？還有其它情況嗎？新知探究探究：畫出圖形分別測量圖中AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的度數(shù)，它們之間有什么關(guān)系?

CAOB

在⊙O上任取一條弧，作出這條弧所對的圓周角和圓心角，測量它們的度數(shù)，你能得出同樣的結(jié)論嗎?由此你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?C1C2新知探究如圖，為了證明上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，在⊙O任取一個圓周角∠ACB，沿CO所在直線將圓對折，由于點C的位置不同，折痕會:①在圓周角的一條邊上;②在圓周角的內(nèi)部。③在圓周角的外部.AOBCAOBCCAOB圓心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C證明：半徑相等等邊對等角符號“”讀作:“推出”,“AB”表示由條件A推出結(jié)論B.OABCD圓心O在∠BAC的內(nèi)部證明：連接AO并延長交⊙O于D.1234BCOAD圓心O在∠BAC的外部證明：連接AO并延長交⊙O于點D.1234歸納總結(jié)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半圓周角定理CAOB幾何語言∵∠C是AB所對的一個圓周角∠AOB是AB所對的一個圓心角∴∠C=∠AOB12歸納總結(jié)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半化歸圓周角定理分類討論完全歸納法圓周角定理化歸如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝50°，則∠A等于()。A.40°B.50°C.60°D.70°【對應(yīng)訓(xùn)練】解析：⊙O是△ABC的外接圓，OB=OC,所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°，∠A=∠BOC=×80°=40°.A學(xué)以致用1.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ABO＝30°，則∠ACB的度數(shù)為()。A.40°B.30°C.50°D.60°2.如圖，點A，B，C在⊙O上，點D在⊙O外，下列結(jié)論正確的是()。A.∠C＞∠DB.∠C＜∠DC.∠C＝∠DD.∠C＝2∠DDAAOBCAOBCD3040°AOBC3.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB＝80°，AB＝AC，則∠ABC＝

.4.如圖，OA，OB是⊙O的半徑，點C在⊙O上，連接AC，BC，若AB的度數(shù)是120°，則∠ACB=

.AOBC60°03圓周角定理的推論在同圓（或等圓）中，如果圓心角、弧、弦有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余兩個量都分別相等.

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一個反映圓心角、弧、弦三個量之間關(guān)系的一個結(jié)論，這個結(jié)論是什么？ABOC那么，圓周角與弧、弦有什么關(guān)系嗎？

先獨立完成互動探究，再同桌相互交流，最后小組交流；33合作探究①弦AB所對的弧有哪幾條？②一條弦所對的圓周角分幾類？自己畫一畫.AOB知識點圓周角定理的推論根據(jù)圓周角定理可知同弧所對的圓周角相等．ADBCO∴同?。骸螧AC與∠BDC同BC，∠BAC與∠BDC有什么關(guān)系？⌒證明：.如圖，作出兩弧所對應(yīng)的圓心角.根據(jù)圓周角定理可知等弧所對的圓周角相等．∴等?。篈DBCOEBC=CE，∠BDC與∠CAE有什么關(guān)系？⌒⌒又由BC=CE可知，∠BOC=∠COE.⌒⌒∠BDC=∠CAE歸納總結(jié)

同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.圓周角定理推理1幾何語言DCEBFAO∵AB=CD∴∠E=∠F在⊙O中∵∠E=∠F∴AB=CD

顯然，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對應(yīng)的弧相等，所對應(yīng)的弦也相等.下列說法是否正確，為什么？“在同圓或等圓中，同弦或等弦所對的圓周角相等”.DBCOE.一條弦所對應(yīng)的圓周角有兩個.這兩個角有什么關(guān)系嗎？如圖所示，連接BO、EO.顯然，∠C與∠D所對應(yīng)的圓心角和為

，所以根據(jù)圓周角定理可知∠C+∠D=

.360°180°在同圓或等圓中，同弦或等弦所對的圓周角可能相等，也可能互補.

如圖，點A、B、C、D在☉O上，點A與點D在點B、C所在直線的同側(cè)，∠BAC=35o.(1)∠BOC=

o，理由是

;(2)∠BDC=

o，理由是

.7035同弧所對的圓周角相等一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半試一試學(xué)以致用1、如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，∠A＝40，∠APD＝75°，則∠B＝（）。A.15°B.40°C.75°D.35°2.如圖，CD⊥AB于點E，若∠B＝60°，則∠A＝

.D30°如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的任意一點（除點A、B外），那么，∠ACB就是直徑AB所對的圓周角，想一想，∠ACB會是怎樣的角？·OACB解：∵OA=OB=OC∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.半圓（或直徑）所對的圓周角有什么特殊性？C1AOBC2C3思考所對應(yīng)的圓心角為

.則對應(yīng)的圓周角為

.180°90°歸納總結(jié)①半圓（或直徑）所對的圓周角是90°；②90°的圓周角所對的弦是直徑.圓周角定理推理2OBADEC幾何語言∵AB是半圓(AB是直徑)∴∠E=90°∵∠E=90°∴AB是⊙O的直徑43典例講評例：如圖，點D是等腰三角形ABC底邊的中點，過點A，B，D作⊙O.(1)求證:AB是⊙O的直徑.(2)延長CB交⊙O于點E，連接DE，求證：DC=DE.證明:(1)連接BD.ABCO·DE∵BA＝BC，AD＝DC.∴BD⊥AC，∴∠ADB＝90°.∴AB是⊙0的直徑.(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C.由圓周角定理得∠A=∠E.∴∠C=∠E，∴DC=DE.如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.知識點3圓內(nèi)接多邊形ABCDO如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓.∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角.∴∠A＋∠C＝180°.同理∠B＋∠D＝180°.推論：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.證明：04圓周角練習(xí)例如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°.求∠ABC的大小.OCAB解：

∵AB是☉O的直徑

∴∠ACB=90°∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB

=180°-90°-80°=10°.利用圓周角定理及推論求角的度數(shù)考點如圖，AB是⊙O的直徑，∠A＝10°，則∠ABC＝______．80°例

如圖，分別求出圖中∠x的大小.60°x30°20°x解：(1)∵同弧所對圓周角相等，∴∠x=60°.ADBEC(2)連接BFF∵同弧所對圓周角相等∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.60°xABDC

例如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm.（1）求DC的長；（2）若∠ADC的平分線交⊙O于B,求AB、BC的長．B解：(1)∵AC是直徑∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中利用圓周角定理及推論進(jìn)行計算及證明線段相等考點在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2。(2)∵AC是直徑∴∠ABC=90°.

∵BD平分∠ADC∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.

∴∠BAC=∠ACB

∴AB=BC.B解題妙招在圓周角問題中，若題干中出現(xiàn)“直徑”這個條件，則找直徑所對的圓周角，通過構(gòu)造直角三角形來解決.∴例

如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求證：∠FGD＝∠ADC.證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O

∴∠FGD＝∠ACD.

又∵A