注冊巖土工程師基礎(chǔ)考試培訓(xùn)資料微分學(xué)

一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué)二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)四、微分學(xué)應(yīng)用第一頁，共25頁。一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.一元函數(shù)顯函數(shù)定義域：使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)全體或由實(shí)際意義確定。隱函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)第二頁，共25頁。函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性

復(fù)合函數(shù)(構(gòu)造新函數(shù)的重要方法)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與有限次復(fù)合而成且能用一個(gè)式子表示的函數(shù).基本初等函數(shù):常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)第三頁，共25頁。2極限

極限定義的等價(jià)形式

(以為例)極限運(yùn)算法則第四頁，共25頁。無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價(jià)無窮小:

兩個(gè)重要極限～～～～～～～～～等價(jià)無窮小代換第五頁，共25頁。存在(或?yàn)?定理(洛必達(dá)法則)說明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.洛必達(dá)法則第六頁，共25頁。3.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點(diǎn)第一類（左右極限存在）第二類（左右極限至少有一個(gè)不存在）可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)重要結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)第七頁，共25頁。例1.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:第八頁，共25頁。二、導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)定義:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)

微分

:

關(guān)系

:可導(dǎo)可微導(dǎo)數(shù)幾何意義:切線斜率1.有關(guān)概念第九頁，共25頁。2.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則（要求記?。。└唠A導(dǎo)數(shù)的求法(逐次求一階導(dǎo)數(shù)）第十頁，共25頁。例2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例3.求函數(shù)在x處的微分解：第十一頁，共25頁。三、多元函數(shù)微分法1.多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2.復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)注意正確使用求導(dǎo)符號3.隱函數(shù)求偏導(dǎo)將其余變量固定，對該變量求導(dǎo)。第十二頁，共25頁。4.全微分5.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)第十三頁，共25頁。例4.

已知解:為正常數(shù)），求第十四頁，共25頁。解：設(shè)則例5.設(shè)第十五頁，共25頁。四、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例6.求曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)。解：由解得得代入所求點(diǎn)為：第十六頁，共25頁。函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),2.函數(shù)的性態(tài):注意:1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn).第十七頁，共25頁。極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,第十八頁，共25頁。極值第二判別法二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.第十九頁，共25頁。例7.

求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.第二十頁，共25頁。定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)凹弧凸弧的分界點(diǎn)為拐點(diǎn)第二十一頁，共25頁。例8.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸第二十二頁，共25頁。的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例9.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點(diǎn)為

;極大值點(diǎn)為

.提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為

;第二十三頁，共25頁。說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.極值必要條件函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).且在該點(diǎn)取得極值,則有存在多元函數(shù)極值與最值問題極值的必要條件與充分條件第二十四頁，共25頁。時(shí),具有極值

極值充分條件的某鄰域內(nèi)具