第五章　§5.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算2025高考

§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算單擊此處添加章節(jié)頁(yè)副標(biāo)題011.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.課標(biāo)要求內(nèi)容索引01第一部分

落實(shí)主干知識(shí)02第二部分

探究核心題型03課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)單擊此處添加章節(jié)頁(yè)副標(biāo)題021.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有

的量叫做向量，向量的大小稱為向量的____(或稱

).(2)零向量：長(zhǎng)度為

的向量，記作

.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于

的向量.(4)平行向量：方向相同或

的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量

.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向

的向量.(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向

的向量.方向長(zhǎng)度模001個(gè)單位長(zhǎng)度相反平行相同相反向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法

交換律：a＋b＝

；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝_________b＋aa＋(b＋c)2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法

a－b＝a＋(－b)向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘|λa|＝

，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝___λ(μa)＝

；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝_______相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb|λ||a|3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

.b＝λa4.對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.(

)(2)單位向量都相等.(

)(3)任一非零向量都可以平行移動(dòng).(

)(4)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(

)√××√2.下列命題正確的是A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量B.若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－bD.平行向量不一定是共線向量√A項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，|a|＝|b|說(shuō)明a，b的長(zhǎng)度相等，不能判斷它們的方向，故B錯(cuò)誤；D項(xiàng)，平行向量就是共線向量，故D錯(cuò)誤.3.(必修第二冊(cè)P10T4改編)(多選)下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是√√－4返回即2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，探究核心題型單擊此處添加章節(jié)頁(yè)副標(biāo)題03例1

(1)(多選)下列說(shuō)法正確的是√√√題型一平面向量的基本概念對(duì)于A，由相等向量的定義知，A正確；對(duì)于C，若b＝0，則由a∥b，b∥c，無(wú)法得到a∥c，故C錯(cuò)誤；(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是√方法一(排除法)∵AB∥CD，∵EF∥AB，∴PE＝PF，即P為EF的中點(diǎn)，平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)非零向量的平行具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.√√跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下列關(guān)于向量的說(shuō)法正確的是對(duì)于A，若|a|＝0，則a＝0，故A正確；對(duì)于C，若a，b方向相同，則|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，則|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊可知|a＋b|<|a|＋|b|.綜上可知對(duì)于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正確；對(duì)于D，若a≠0，b＝0，則a∥b，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，故D錯(cuò)誤.(2)(多選)如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中一定成立的是√√√命題點(diǎn)1向量加、減法的幾何意義A.[3,7] B.(3,7)C.[3,11] D.(3,11)√題型二平面向量的線性運(yùn)算A.3m－2n

B.－2m＋3nC.3m＋2n

D.2m＋3n√命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算√命題點(diǎn)3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)如圖，在矩形ABCD中，在△DAO中，平面向量線性運(yùn)算的解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.√在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F，√例5

(1)(2023·徐州模擬)已知向量a，b不共線，向量8a－kb與－ka＋b共線，則k＝________.因?yàn)橄蛄縜，b不共線，向量8a－kb與－ka＋b共線，所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R，題型三共線定理及其應(yīng)用3如圖，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)F，則F為BC的中點(diǎn)，又G，D，E三點(diǎn)共線，利用向量共線定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.A.A，B，D三點(diǎn)共線

B.A，B，C三點(diǎn)共線C.B，C，D三點(diǎn)共線

D.A，C，D三點(diǎn)共線√返回且B，P，N三點(diǎn)共線，課時(shí)精練單擊此處添加章節(jié)頁(yè)副標(biāo)題0412345678910111213141516√一、單項(xiàng)選擇題12345678910111213141516因?yàn)榱呅蜛BCDEF為正六邊形，123456789101112131415162.如圖，e1，e2為互相垂直的單位向量，向量a＋b＋c可表示為A.2e1－3e2B.3e1－2e2C.2e1＋3e2D.3e1＋2e2√由題意得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2，所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.12345678910111213141516A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件√12345678910111213141516123456789101112131415164.(2024·銀川模擬)已知向量a，b不共線，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c與d方向相反，則實(shí)數(shù)x的值為√12345678910111213141516因?yàn)閏與d方向相反，所以存在k∈R，使得d＝kc，且k<0，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb，整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，12345678910111213141516A.點(diǎn)P在線段AB上B.點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上C.點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上D.點(diǎn)P在射線AB上√1234567891011121314151612345678910111213141516A.4 B.3C.2 D.1√12345678910111213141516所以G為△ABC的重心，12345678910111213141516√√√二、多項(xiàng)選擇題1234567891011121314151612345678910111213141516√√√12345678910111213141516∵AB∥CD，AB＝2DC，1234567891011121314151612345678910111213141516等腰梯形三、填空題12345678910111213141516所以四邊形ABCD是梯形，所以梯形ABCD的兩個(gè)腰相等，所以四邊形ABCD是等腰梯形.1234567891011121314151610.(2023·徐州模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2024，則|e1＋e2＋…＋e2024|的最大值是________，最小值是____.20240當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2024方向相同時(shí)，|e1＋e2＋…＋e2024|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2024|＝2024；當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2024首尾相連時(shí)，e1＋e2＋…＋e2024＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2024|的最小值為0.1234567891011121314151612345678910111213141516如圖，過(guò)點(diǎn)P作AB，AC的垂線交AB，AC分別于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，12345678910111213141516312345678910111213141516又因?yàn)椤螧AD＝120°，所以∠ADC＝60°，所以△ADC為等邊三角形，所以AC＝AD＝2，12345678910111213141516四、解答題123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，12345678910111213141516(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.1234567891