山東省濰坊市青州第一中學2024-2025學年高二下學期3月月月考 數(shù)學試題（含解析）

高二普通部下學期第一次段考數(shù)學試題一、單選題1.設(shè)離散型隨機變量X的方差為，則隨機變量的方差為（）A.1.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)來求解隨機變量的方.【詳解】由題得，所以.故選:C.2.某大街在甲?乙?丙三處設(shè)有紅?綠燈，汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為，則汽車僅在甲處因遇紅燈而停車一次的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題中條件，根據(jù)獨立事件的乘法公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為汽車僅在甲處因遇紅燈而停車一次，故汽車在乙?丙兩處遇到的都是綠燈，因此汽車僅在甲處因遇紅燈而停車一次的概率為.故選：A.3.對甲，乙兩地小學生假期一天中讀書情況進行統(tǒng)計，已知小學生的讀書時間均符合正態(tài)分布，其中甲地小學生讀書的時間為（單位：小時），，對應(yīng)的曲線為，乙地小學生讀書的時間為（單位：小時），，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的特征可得答案.【詳解】因為，，所以的對稱軸為，的對稱軸為，又，所以的形狀偏瘦一些.故選：C4.在等比數(shù)列中，各項均為正數(shù)，且，，則與的等比中項是（）A. B. C.4 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出與的值，再求出與的等比中項.【詳解】因為等比數(shù)列中，各項均為正數(shù)，且，，所以，，所以與的等比中項為，則，又由于各項均為正數(shù)，則等比中項為4.故選：C.5.某學習小組共有11名成員，其中有6名女生，為了解學生的學習狀態(tài)，隨機從這11名成員中抽選2名任小組組長，協(xié)助老師了解情況，A表示“抽到的2名成員都是女生”，B表示“抽到的2名成員性別相同”，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，，再利用條件概率求解即可．【詳解】由題意可知，，所以．故選：A．6.已知是遞增等比數(shù)列，其前n項和為，滿足，，若，則的最小值是（）A.6 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】求得等比數(shù)列的首項和公比，由此化簡并求得正確答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，或（舍去），所以.由，，，所以的最小值為.故選：B7.已知數(shù)列中，，則（）A.96 B.97 C.98 D.99【答案】A【解析】分析】由倒序相加法求和即可；【詳解】，所以，兩式相加可得：，所以，故選：A8.“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩個條件之間的推出關(guān)系可得正確的選項.【詳解】取，則，故為等差數(shù)列，但，，，不為等比數(shù)列，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故“數(shù)列為等差數(shù)列”推不出“數(shù)列為等比數(shù)列”，若數(shù)列為等比數(shù)列，故，其中，故，故，故數(shù)列為等差數(shù)列，故“數(shù)列為等比數(shù)列”可推出“數(shù)列為等差數(shù)列”，故“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B.二、多選題9.已知隨機變量X的分布列如下表：若，則（）01A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合概率之和以及求得，由此求得，從而判斷出正確答案.【詳解】依題意，AB選項正確.，C選項正確.，D選項錯誤故選：ABC10.已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，則下列條件能推出的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)來解決本題，A、C選項找公差，求，B、D選項把前項和轉(zhuǎn)換為項的值.【詳解】對于A，由，可得，所以，A正確;對于B，由，得，B錯誤;對于C，由，得的公差為，C正確;對于D，的值不確定，D錯誤.故選：AC.11.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D.當時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，A正確；對于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，B正確；對于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為，C錯誤；對于D，由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關(guān)鍵.三、填空題12.個零件中有個次品，從中每次抽檢個，檢驗后放回，連續(xù)抽檢次，則抽檢的個零件中恰有個是次品的概率為_________；【答案】##【解析】【分析】記抽到次品的概率為，抽到正品的概率為，則，，用表示3次抽檢中抽到次品的次數(shù)，則是一個隨機變量，每次抽檢抽到次品的概率為，由題意知，利用二項分布的概率公式可求解.【詳解】記抽到次品的概率為，抽到正品的概率為，則，，用表示3次抽檢中抽到次品的次數(shù)，則是一個隨機變量，每次抽檢抽到次品的概率為，由題意知，故連續(xù)抽檢3次，抽檢的3個零件中恰有2個是次品的概率為．故答案為：.13.由正數(shù)組成的等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則______【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)可得、，轉(zhuǎn)化條件為，代入即可得解.【詳解】數(shù)列和均為正數(shù)組成的等差數(shù)列，，，.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及其前n項和公式的應(yīng)用，考查了運算求解能力，關(guān)鍵是對于條件的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.14.已知數(shù)列滿足：.則的前60項的和為_________.【答案】2760【解析】【分析】本題主要是通過對給定遞推式進行分析，找出數(shù)列中奇數(shù)項和偶數(shù)項的規(guī)律，然后分別計算奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，最后將它們相加得到前60項的和.【詳解】由，故，，，，….故，，，….從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于3；，，，….從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以13為首項，以24為公差的等差數(shù)列.故.故答案為：2760.四、解答題15.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列式求解的公差，寫出等差數(shù)列通項公式，即可求解；（2）由（1）得，再利用裂項相消法求和，即可求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以.16.某大學社團共有8名大學生，其中男生4人，女生4人，從這8名大學生中任選4人參加比賽．（1）設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件，求；（2）設(shè)所選的4人中男生和女生的人數(shù)分別為，記，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望為.【解析】【分析】（1）先求出，，從而利用條件概率公式求出概率；（2）求出的可能取值和對應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學期望.【小問1詳解】男生甲沒有被選中，則從剩余的7人中任選4人，故，男生甲沒有被選中，且女生乙被選中，則從剩余的6人中選擇3人，故，所以；【小問2詳解】的情況一共有，故的可能取值為4,2,0，當時，即選擇了4名男生或4名女生，則，當時，即選擇了3名男生和1名女生或3名女生和1名男生，則，當時，即選擇了2名男生和2名女生，則，故隨機變量的分布列為420數(shù)學期望為.17.某中學舉辦中國傳統(tǒng)文化知識問答測試，規(guī)定成績不低于90分的為“優(yōu)秀”，現(xiàn)從中隨機抽取50名男生和50名女生共100名學生進行測試，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）已知成績優(yōu)秀的學生中男生占，請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為知識問答測試成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；性別成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀男

女

合計

（2）從上述成績，的學生中按比例分層隨機抽樣選出9人，再從選出的9人中隨機抽取3人，記其中成績優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：，其中臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格見解析，無關(guān)（2）分布列見解析，1【解析】【分析】（1）根據(jù)卡方公式直接計算，再與臨界值比較即可得到結(jié)論；（2）首先得到的可能取值，再根據(jù)超幾何分布寫出分布列并計算期望即可.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖知成績優(yōu)秀的男生有，則成績不優(yōu)秀的男生有人，成績優(yōu)秀的女生有8人，成績不優(yōu)秀的女生有42人，性別成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀男24850女84250合計1090100零假設(shè)：；知識問答測試成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān)，，∴根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為知識問答測試成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān).【小問2詳解】根據(jù)頻率分布直方圖知成績，的學生的學生比例為：，則中抽取人，中抽取人，根據(jù)成績不低于90分的為“優(yōu)秀”的標準知：的可能取值為0，1，2，3，；；；.的分布列為：012318.經(jīng)觀測，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度（單位：）和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量表.36054.5136044384

3588326430

表中，，.（1）根據(jù)散點圖判斷，，與哪一個適宜作為與之間的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關(guān)于的回歸方程；（2）某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有5個魚卵，其中“死卵”有2個；第二批中共有6個魚卵，其中“死卵”有3個.現(xiàn)隨機挑選一批，然后從該批次中隨機取出2個魚卵，求取出“死卵”個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.【答案】（1）適宜作為與之間的回歸方程模型，（2）答案見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)散點圖確定模型，代入數(shù)據(jù)計算即可；（2）確定隨機變量取值，結(jié)合全概率公式計算概率，進而可求解；【小問1詳解】根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為與之間的回歸方程模型.令，則，，，所以，所以關(guān)于的回歸方程為.【小問2詳解】由題意設(shè)隨機挑選一批，取出兩個魚卵，其中“死卵”個數(shù)為，則的可能取值為，，，設(shè)“所取兩個魚卵來自第批”，所以，設(shè)“所取兩個魚卵有個‘死卵’”，由全概率公式得，，，所以取出“死卵”個數(shù)的分布列為012所以，所以取出“死卵”個數(shù)的數(shù)學期望為.19.已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）證明：為等差數(shù)列.（2）求的值和的通