陜西省洛南中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024——2025學(xué)年度第二學(xué)期第一次月考高二數(shù)學(xué)一、單選題（共8小題，每小題5分，總分值40分）1.在等比數(shù)列中，，，則的值為（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，因?yàn)?，所以，解得，所?故選：B2.直線過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解.【詳解】由直線與直線垂直，得直線的斜率，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.故選：B3.等差數(shù)列中是其前項(xiàng)和，，則（）A.27 B.36 C.54 D.81【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)即可.【詳解】由題知：，所以..故選：A.4.某班小張等4位同學(xué)報(bào)名參加，，三個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，且小張不能報(bào)小組，則不同的報(bào)名方法有（）種A. B. C.54 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分析可得除小張外，每位同學(xué)都有3種選擇，小張只有2種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分析可得：除小張外，每位同學(xué)都可以報(bào)，，三個(gè)課外活動(dòng)小組中任意一個(gè)，都有3種選擇，小張不能報(bào)小組，只有2種選擇，所以不同報(bào)名方法有(種)，故選：C.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間即可求解.【詳解】由，則，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故時(shí)，，而，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知正方體的棱長為3，E為CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用體積法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】如圖：因?yàn)?在中，,.所以邊上的高為：，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由.故選：A7.已知函數(shù)存在最大值0，則a的值為（）A.1 B.2 C.e D.【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系即可求出.【詳解】，當(dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，不存在最大值；當(dāng)時(shí)，令，得出，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，解得：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間與最值，考查分類討論的思想.8.已知雙曲線兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，的面積為，則（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】將雙曲線漸近線方程與拋物線準(zhǔn)線方程聯(lián)立可求得，由雙曲線離心率可得到，由此可得，利用三角形面積可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】由雙曲線方程知：漸近線方程為；由拋物線方程知：準(zhǔn)線方程為；由得：，；雙曲線離心率，，則，，解得：.故選：C二、多選題（共3小題，每小題6分，總分值18分）9.下列等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，以及性質(zhì)，分別對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，，因此，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)知道，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，，因此，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)知道，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD.10.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.它的極大值為，極小值為B.當(dāng)時(shí)，它最大值為，最小值為C.它的單調(diào)遞減區(qū)間為D.它在點(diǎn)處的切線方程為【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)一步可判斷函數(shù)極值以及它在閉區(qū)間上最值情況即可判斷ABC，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】函數(shù)，．由，得或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；由，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，A正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，它的最大值為，最小值為，B錯(cuò)誤；，，它在點(diǎn)處的切線方程為，D正確．故選：ACD.11.(多選題)過點(diǎn)P(2，－6)作曲線f(x)＝x3－3x的切線，則切線方程為（）A.3x＋y＝0 B.24x－y－54＝0C.3x－y＝0 D.24x－y＋54＝0【答案】AB【解析】【分析】先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出導(dǎo)函數(shù)，再將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入切線方程，進(jìn)而解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，最后得到答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為(m，m3－3m)，f(x)＝x3－3x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝3x2－3，則切線斜率k＝3m2－3，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程為y－m3＋3m＝(3m2－3)(x－m)，將點(diǎn)P(2，－6)代入可得－6－m3＋3m＝(3m2－3)(2－m)，解得m＝0或m＝3.當(dāng)m＝0時(shí)，切線方程為3x＋y＝0；當(dāng)m＝3時(shí)，切線方程為24x－y－54＝0.故選：AB.三、填空題（共3小題，每小題5分．總分值15分）12.與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可得半徑，再根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為，則半徑為5，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：13.函數(shù)在時(shí)有極小值0，則_______．【答案】11【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)有極小值0，所以，①，②聯(lián)立①②解得或，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由解得或，由解得，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，滿足函數(shù)在時(shí)有極小值，所以，故答案為：11.14.如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，共有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種(以數(shù)字作答)．【答案】72【解析】【分析】根據(jù)使用顏色種數(shù)，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理、排列組合求解即可.【詳解】若使用了四種顏色，則同色或同色，共有種，若使用了三種顏色，則同色且同色，共有種，所以一共有種.故答案為：72.四、解答題：共5小題，總分值77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）（2）函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到和，由點(diǎn)斜式得到切線方程；（2）令導(dǎo)數(shù)，得到對(duì)應(yīng)區(qū)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】，∴，，∴切線方程為：，即【小問2詳解】由（1）知，令，則或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.16.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)且離心率為，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的斜率為1，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求橢圓方程；（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示中點(diǎn)坐標(biāo)，消參后，即可求軌跡方程.【小問1詳解】由題可得：，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】因?yàn)橹本€的斜率為1，所以可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，化簡得，則，解得：，所以，設(shè)弦中點(diǎn)，則，消去，得，而，所以點(diǎn)的軌跡方程為.17.設(shè)數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的，都有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求得；（2）根據(jù)題意，由條件可得，然后結(jié)合錯(cuò)位相減法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由題意可得，又，則，其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，即，.【小問2詳解】令，由（1）可知，則，則，，兩式相減可得所以.18.如圖1，在平面四邊形中，，，，.將沿折疊至處，使平面平面（如圖2），為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出平面，再利用面面垂直判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接，可得出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BD，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.因?yàn)?，，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，即，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)槠矫妫瑒t平面，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、，、、、，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.19.已知函數(shù)．（1）若，求在區(qū)間上的最值；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）.【解析】【分析】（1）代入?yún)?shù)值，求導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)函數(shù)大于0的不等式，得出增減區(qū)間，求出最值；（2）求導(dǎo)函數(shù)，得到增減區(qū)間，求得最小值；由題意建立不等式，構(gòu)建對(duì)應(yīng)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)求得單調(diào)區(qū)間得最小值再建立不等關(guān)系