2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.4.1基本不等式練習(xí)含解析新人教A版必修5

PAGE1-第26課時(shí)基本不等式學(xué)問點(diǎn)一利用基本不等式比較大小1．下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)＋eq\f(4,a)≥4B．a(chǎn)2＋b2≥4abC．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2)D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)答案D解析當(dāng)a＜0時(shí)，則a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A錯(cuò)；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B錯(cuò)；a＝4，b＝16，則eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)，故C錯(cuò)；由基本不等式可知D正確．2．已知兩個(gè)不相等的正數(shù)a，b，設(shè)P＝eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\r(ab)，M＝eq\r(\f(a2＋b2,2))，則有()A．P＞Q＞MB．Q＞P＞MC．P＞M＞QD．M＞P＞Q答案D解析由基本不等式得P＞Q，又M2－P2＝eq\f(a－b2,4)＞0，得M＞P，故M＞P＞Q．故選D．3．已知正數(shù)x，y滿意xy＝36，則x＋y與12的大小關(guān)系是________．答案x＋y≥12解析由x，y為正數(shù)，得x＋y≥2eq\r(xy)＝12．學(xué)問點(diǎn)二利用基本不等式證明不等式4．(1)已知a，b，c∈R＋，求證：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c．(2)已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)．求證：a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)．證明(1)∵a，b，c∈R＋，eq\f(a2,b)，eq\f(b2,c)，eq\f(c2,a)均大于0，又eq\f(a2,b)＋b≥2eq\r(\f(a2,b)·b)＝2a，eq\f(b2,c)＋c≥2eq\r(\f(b2,c)·c)＝2b，eq\f(c2,a)＋a≥2eq\r(\f(c2,a)·a)＝2c，三式相加得eq\f(a2,b)＋b＋eq\f(b2,c)＋c＋eq\f(c2,a)＋a≥2a＋2b＋2c，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c．(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)＞0，b＋c≥2eq\r(bc)＞0，c＋a≥2eq\r(ca)＞0．∴2(a＋b＋c)≥2(eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca))，即a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)．由于a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，故三個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立．∴a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)．5．已知a，b，c∈R，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．證明∵eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(a＋b,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)(a＋b)(a，b∈R，等號(hào)在a＝b時(shí)成立)．同理，eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)(等號(hào)在b＝c時(shí)成立)．eq\r(a2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋c)(等號(hào)在a＝c時(shí)成立)．三式相加得eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)＋eq\f(\r(2),2)(b＋c)＋eq\f(\r(2),2)(a＋c)＝eq\r(2)(a＋b＋c)(等號(hào)在a＝b＝c時(shí)成立)．易錯(cuò)點(diǎn)一忽視基本不等式適用條件6．給出下列結(jié)論：(1)若a＞0，則a2＋1＞a．(2)若a＞0，b＞0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4．(3)若a＞0，b＞0，則(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4．(4)若a∈R且a≠0，則eq\f(9,a)＋a≥6．其中恒成立的是________．易錯(cuò)分析易忽視不等式成立的前提是為正數(shù)而誤認(rèn)為(4)也正確．答案(1)(2)(3)解析因?yàn)閍>0，所以a2＋1≥2eq\r(a2)＝2a>a，故(1)恒成立．因?yàn)閍＞0，所以a＋eq\f(1,a)≥2，因?yàn)閎＞0，所以b＋eq\f(1,b)≥2，所以當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4，故(2)恒成立．因?yàn)?a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)，又因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，所以(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4，故(3)恒成立．因?yàn)閍∈R且a≠0，不符合基本不等式的條件，故eq\f(9,a)＋a≥6是錯(cuò)誤的．易錯(cuò)點(diǎn)二忽視定值的條件7．求函數(shù)f(x)＝2x(5－3x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))的最大值．易錯(cuò)分析x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))，∴2x＞0，5－3x＞0，∴f(x)＝2x(5－3x)＝2[eq\r(x5－3x)]2≤2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋5－3x,2)))2＝eq\f(5－2x2,2)．當(dāng)且僅當(dāng)x＝5－3x，即x＝eq\f(5,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)eq\f(5－2x2,2)＝eq\f(25,8)．故f(x)的最大值為eq\f(25,8)．不符合基本不等式求最值的條件：和或積為定值．解x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))，∴2x＞0，5－3x＞0，f(x)＝2x(5－3x)＝eq\f(2,3)[eq\r(3x·5－3x)]2≤eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋5－3x,2)))2＝eq\f(25,6)．當(dāng)且僅當(dāng)3x＝5－3x，即x＝eq\f(5,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))時(shí)，等號(hào)成立，故所求函數(shù)的最大值為eq\f(25,6)．一、選擇題1．設(shè)0＜a＜b，且a＋b＝1，在下列四個(gè)數(shù)中最大的是()A．eq\f(1,2)B．bC．2abD．a(chǎn)2＋b2答案B解析∵ab＜eq\f(a＋b,2)2，∴ab＜eq\f(1,4)，∴2ab＜eq\f(1,2)．∵eq\r(\f(a2＋b2,2))＞eq\f(a＋b,2)＞0，∴eq\r(\f(a2＋b2,2))＞eq\f(1,2)，∴a2＋b2＞eq\f(1,2)．∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)＞0，∴b＞a2＋b2，∴b最大．2．下列不等式肯定成立的是()A．x＋eq\f(1,x)≥2(x≠0)B．x2＋eq\f(1,x2＋1)≥1(x∈R)C．x2＋1≤2x(x∈R)D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)答案B解析對(duì)于A，當(dāng)x＞0時(shí)成立；對(duì)于B，x2＋1＋eq\f(1,x2＋1)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立；對(duì)于C，應(yīng)為x2＋1≥2x(x∈R)；對(duì)于D，x2＋5x＋6＝x＋eq\f(5,2)2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)；綜上所述，故選B．3．若a＞b＞0，則下列不等式肯定成立的是()A．a(chǎn)－b＞eq\f(1,b)－eq\f(1,a)B．eq\f(c2,a)＜eq\f(c2,b)C．eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)D．eq\f(3a＋b,a＋3b)＞eq\f(a,b)答案C解析逐一考查所給的選項(xiàng)：當(dāng)a＝2，b＝eq\f(1,3)時(shí)，a－b＝1eq\f(2,3)，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝2eq\f(1,2)，不滿意a－b＞eq\f(1,b)－eq\f(1,a)，A錯(cuò)誤；當(dāng)c＝0時(shí)，eq\f(c2,a)＝eq\f(c2,b)＝0，不滿意eq\f(c2,a)＜eq\f(c2,b)，B錯(cuò)誤；當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，eq\f(3a＋b,a＋3b)＝eq\f(7,5)，eq\f(a,b)＝2，不滿意eq\f(3a＋b,a＋3b)＞eq\f(a,b)，D錯(cuò)誤；若a＞b＞0，則a＋b>2eq\r(ab)，即a＋b>eq\f(2ab,\r(ab))，整理可得eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)，C正確．故選C．4．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a≠b，①a5＋b5＞a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)＞2．上述三個(gè)式子恒成立的有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)答案B解析①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2(a3＋b3)＞0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)＞2或eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)＜－2．故選B．5．假如正數(shù)a，b，c，d滿意a＋b＝cd＝4，那么()A．a(chǎn)b≤c＋d，且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值唯一B．a(chǎn)b≥c＋d，且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值唯一C．a(chǎn)b≤c＋d，且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值不唯一D．a(chǎn)b≥c＋d，且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值不唯一答案A解析因?yàn)閍＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2eq\r(ab)，故ab≤4．又因?yàn)閏d≤eq\f(c＋d2,4)，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d＝2時(shí)，等號(hào)成立．故選A．二、填空題6．若a＞b＞c，則eq\f(a－c,2)與eq\r(a－bb－c)的大小關(guān)系是________．答案eq\f(a－c,2)≥eq\r(a－bb－c)解析因?yàn)閍＞b＞c，所以eq\f(a－c,2)＝eq\f(a－b＋b－c,2)≥eq\r(a－bb－c)，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即2b＝a＋c時(shí)，等號(hào)成立．7．若四個(gè)正數(shù)a，b，c，d成等差數(shù)列，x是a和d的等差中項(xiàng)，y是b和c的等比中項(xiàng)，則x和y的大小關(guān)系是________．答案x≥y解析∵x＝eq\f(a＋d,2)＝eq\f(b＋c,2)，y＝eq\r(bc)，又∵b，c都是正數(shù)，∴eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取“＝”)，∴x≥y．8．設(shè)a，b＞0，a＋b＝5，則eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)的最大值為________．答案3eq\r(2)解析(eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3))2＝a＋b＋4＋2eq\r(a＋1)·eq\r(b＋3)≤9＋a＋1＋b＋3＝9＋a＋b＋4＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝eq\f(7,2)，b＝eq\f(3,2)時(shí)等號(hào)成立，所以eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)≤3eq\r(2)．三、解答題9．已知a，b，c均為正數(shù)，a，b，c不全相等．求證：eq\f(bc,a)＋eq\f(ac,b)＋eq\f(ab,c)＞a＋b＋c．證明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\f(bc,a)＋eq\f(ac,b)≥2eq\r(\f(abc2,ab))＝2c，eq\f(ac,b)＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(a2bc,bc))＝2a，eq\f(bc,a)＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(acb2,ac))＝2b．又a，b，c不全相等，故上述等號(hào)至少有一個(gè)不成立．∴eq\f(bc,a)＋eq\f(ac,b)＋eq\f(ab,c)＞a＋b＋c．10．(1)已知m，n>0，且m＋n＝16，求eq\f(1,2)mn的最大值；(2)已知x>3，求f(x)＝x＋eq\f(4,x－3)的最小值．解(1)∵m，n>0且