新課改瘦專用2025版高考物理一輪復習第四章第4節(jié)圓周運動學案含解析

PAGEPAGE17第4節(jié)圓周運動一、圓周運動及其描述1．勻速圓周運動(1)定義：做圓周運動的物體，若在相等的時間內(nèi)通過的圓弧長相等，就是勻速圓周運動。(2)速度特點：速度的大小不變，方向始終與半徑垂直。[注1]2．描述圓周運動的物理量意義公式/單位線速度(v)[注2]角速度(ω)(1)描述做圓周運動的物體運動快慢的物理量(2)是矢量，方向和半徑垂直，沿圓周切線方向v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\a\vs4\al(\f(2πr,T))＝2πrn單位：m/s(1)描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量(2)是矢量(中學階段不探討方向)ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)＝2πn單位：rad/s周期和轉(zhuǎn)速(T/n)物體沿圓周運動一周的時間叫周期，單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)叫轉(zhuǎn)速[注3]T＝eq\f(2πr,v)＝eq\a\vs4\al(\f(2π,ω))單位：sn＝eq\f(1,T)，單位：r/s向心加速度(an)(1)描述速度方向變更快慢的物理量(2)方向指向圓心[注4]an＝eq\a\vs4\al(\f(v2,r))＝ω2r單位：m/s2二、勻速圓周運動的向心力1．作用效果：向心力產(chǎn)生向心加速度，只變更速度的方向，不變更速度的大小。2．大?。篎＝ma＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)＝mr4π2n2＝mωv。3．方向：始終沿半徑方向指向圓心，時刻在變更，即向心力是一個變力。4．來源：向心力可以由一個力供應，也可以由幾個力的合力供應，還可以由一個力的分力供應。三、離心現(xiàn)象1．定義：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消逝或不足以供應圓周運動所需向心力的狀況下，就做漸漸遠離圓心的運動。2．本質(zhì)：做圓周運動的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向飛出去的趨勢。3．受力特點(1)當F＝mω2r時，物體做勻速圓周運動，如圖所示；(2)當F＝0時，物體沿切線方向飛出；(3)當F<mω2r時，物體漸漸遠離圓心，F(xiàn)為實際供應的向心力。[注5]【注說明疑】[注1]勻速圓周運動是變速運動，“勻速”指的是速率不變。[注2]線速度與角速度的對比理解線速度側(cè)重于描述物體沿圓弧運動的快慢，角速度側(cè)重于描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢。[注3]轉(zhuǎn)速n和頻率f含義相同，只是單位不同。[注4]向心加速度的方向也在時刻變更。[注5]物體做勻速圓周運動還是偏離圓形軌道完全是由實際供應的向心力和所需的向心力間的大小關(guān)系確定的。[深化理解]1．對公式v＝ωr的理解(1)當r肯定時，v與ω成正比。(2)當ω肯定時，v與r成正比。(3)當v肯定時，ω與r成反比。2．對a＝eq\f(v2,r)＝ω2r的理解(1)當v肯定時，a與r成反比。(2)當ω肯定時，a與r成正比。3．關(guān)于向心力的兩點留意(1)向心力是效果力，在分析完物體受到的重力、彈力、摩擦力等性質(zhì)力后，不能另外添加一個向心力。(2)物體做勻速圓周運動時，向心力由合外力供應，物體做什么樣的勻速圓周運動，就須要什么樣的合外力，這就給對物體進行受力分析以及求解合力提出了“條件要求”和“思維方向”。[基礎(chǔ)自測]一、推斷題(1)物體做勻速圓周運動時，其角速度是不變的。(√)(2)物體做勻速圓周運動時，其合外力是不變的。(×)(3)勻速圓周運動的向心加速度與半徑成反比。(×)(4)勻速圓周運動的向心力是產(chǎn)生向心加速度的緣由。(√)(5)比較物體沿圓周運動的快慢看線速度，比較物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢，看周期或角速度。(√)(6)做勻速圓周運動的物體，當合外力突然減小時，物體將沿切線方向飛出。(×)(7)摩托車轉(zhuǎn)彎時速度過大就會向外發(fā)生滑動，這是摩托車受沿轉(zhuǎn)彎半徑向外的離心力作用的原因。(×)二、選擇題1．如圖所示，一正方形木板繞其對角線上O1點在ABCD平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動。關(guān)于木板邊緣的各點的運動，下列說法中正確的是()A．A點角速度最大B．B點線速度最小C．C、D兩點線速度相同D．A、B兩點轉(zhuǎn)速相同解析：選D正方形木板繞O1點勻速轉(zhuǎn)動時，木板邊緣各點的角速度和轉(zhuǎn)速均相同，由于B點不是木板邊緣上離O1點最近的點，所以半徑也不是最小，依據(jù)v＝ωr可知線速度不是最小，故D正確，A、B錯誤。C、D兩點雖然離O1點的距離相等，但轉(zhuǎn)動過程中線速度的方向不同，兩點線速度只是大小相等，故C錯誤。2．[粵教版必修2P37T2](多選)如圖為甲、乙兩球做勻速圓周運動時向心加速度隨半徑變更的關(guān)系圖線，甲圖線為雙曲線的一支，乙圖線為直線。由圖像可以知道()A．甲球運動時，線速度的大小保持不變B．甲球運動時，角速度的大小保持不變C．乙球運動時，線速度的大小保持不變D．乙球運動時，角速度的大小保持不變解析：選AD題圖的圖線甲中a與r成反比，由a＝eq\f(v2,r)可知，甲球的線速度大小不變，由v＝ωr可知，隨r的增大，角速度漸漸減小，A正確，B錯誤；題圖的圖線乙中a與r成正比，由a＝ω2r可知，乙球運動的角速度大小不變，由v＝ωr可知，隨r的增大，線速度大小增大，C錯誤，D正確。3．(多選)如圖所示，光滑水平面上，質(zhì)量為m的小球在拉力F作用下做勻速圓周運動。若小球運動到P點時，拉力F發(fā)生變更。下列關(guān)于小球運動狀況的說法中正確的是()A．若拉力突然消逝，小球?qū)⒀剀壽EPa做直線運動B．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運動C．若拉力突然變大，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運動D．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPc做向心運動解析：選AB在水平面上，細繩的拉力供應小球所需的向心力，當F＝mω2r時，小球做勻速圓周運動，當拉力突然消逝時，小球?qū)⒀厍芯€Pa方向做勻速直線運動，A正確；當拉力突然減小時，小球?qū)⒀豍b做離心運動，B正確，D錯誤；當拉力突然增大時，小球?qū)⒀豍c做向心運動，C錯誤。高考對本節(jié)內(nèi)容的考查，主要集中在描述圓周運動的物理量及其之間的關(guān)系、向心力公式及其應用、對物體做離心運動條件的理解，主要以選擇題的形式出現(xiàn)，難度一般。而與平拋運動、機械能守恒定律等學問相綜合也可以計算題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏上?？键c一描述圓周運動的物理量[基礎(chǔ)自修類][題點全練]1．[摩擦傳動類圓周運動問題]如圖所示，水平放置的兩個用相同材料制成的輪P和Q靠摩擦傳動(兩輪之間不相對滑動)，兩輪的半徑R∶r＝2∶1。當主動輪Q勻速轉(zhuǎn)動時，在Q輪邊緣上放置的小木塊恰能相對靜止在Q輪邊緣上，此時Q輪轉(zhuǎn)動的角速度為ω1，木塊的向心加速度為a1；若變更轉(zhuǎn)速，把小木塊放在P輪邊緣也恰能靜止，此時Q輪轉(zhuǎn)動的角速度為ω2，木塊的向心加速度為a2，則()A．eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(1,2) B．eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(\r(2),1)C．eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,1) D．eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,2)解析：選C依據(jù)題述，a1＝ω12r，ma1＝μmg，聯(lián)立解得μg＝ω12r。小木塊放在P輪邊緣也恰能靜止，μg＝ω2R＝2ω2r。由ωR＝ω2r聯(lián)立解得eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(\r(2),2)，選項A、B錯誤。又因為ma＝μmg，所以eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,1)，選項C正確，D錯誤。2．[同軸傳動類圓周運動問題]汽車后備廂蓋一般都配有可伸縮的液壓桿，如圖甲所示，其示意圖如圖乙所示，可伸縮液壓桿上端固定于后蓋上A點，下端固定于箱內(nèi)O′點，B也為后蓋上一點，后蓋可繞過O點的固定鉸鏈轉(zhuǎn)動。在合上后備廂蓋的過程中()A．A點相對O′點做圓周運動B．A點與B點相對于O點轉(zhuǎn)動的線速度大小相等C．A點與B點相對于O點轉(zhuǎn)動的角速度大小相等D．A點與B點相對于O點轉(zhuǎn)動的向心加速度大小相等解析：選C在合上后備廂蓋的過程中，O′A的長度是變更的，因此A點相對O′點不是做圓周運動，A錯誤；在合上后備廂蓋的過程中，A點與B點都是繞O點做圓周運動，相同的時間繞O點轉(zhuǎn)過的角度相同，即A點與B點相對O點的角速度相等，又由于OB大于OA，依據(jù)v＝rω，可知B點相對于O點轉(zhuǎn)動的線速度大，故B錯誤，C正確；依據(jù)向心加速度a＝rω2可知，B點相對O點的向心加速度大于A點相對O點的向心加速度，故D錯誤。3．[圓周運動中的追及相遇(共線)問題]如圖所示，質(zhì)點a、b在同一平面內(nèi)繞質(zhì)點c沿逆時針方向做勻速圓周運動，它們的周期之比Ta∶Tb＝1∶k(k＞1，為正整數(shù))。從圖示位置起先，在b運動一周的過程中()A．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k次B．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k＋1次C．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2k次D．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2k－2次解析：選D設(shè)每隔時間T，a、b相距最近，則(ωa－ωb)T＝2π，所以T＝eq\f(2π,ωa－ωb)＝eq\f(2π,\f(2π,Ta)－\f(2π,Tb))＝eq\f(TaTb,Tb－Ta)故b運動一周的過程中，a、b相距最近的次數(shù)為：n＝eq\f(Tb,T)＝eq\f(Tb－Ta,Ta)＝eq\f(kTa－Ta,Ta)＝k－1即a、b距離最近的次數(shù)為k－1次，故A、B均錯誤。設(shè)每隔時間t，a、b、c共線一次，則(ωa－ωb)t＝π，所以t＝eq\f(π,ωa－ωb)＝eq\f(π,\f(2π,Ta)－\f(2π,Tb))＝eq\f(TaTb,2(Tb－Ta))；故b運動一周的過程中，a、b、c共線的次數(shù)為：n＝eq\f(Tb,t)＝eq\f(2(Tb－Ta),Ta)＝eq\f(2kTa－2Ta,Ta)＝2k－2故C錯誤，D正確。[名師微點]1．圓周運動各物理量間的關(guān)系2．常見的三類傳動方式及特點(1)皮帶傳動：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。(2)摩擦傳動和齒輪傳動：如圖丙、丁所示，兩輪邊緣接觸，接觸點無打滑現(xiàn)象時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。(3)同軸傳動：如圖戊、己所示，繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比?？键c二水平面內(nèi)的勻速圓周運動[師生共研類]1．水平面內(nèi)的勻速圓周運動軌跡特點運動軌跡是圓且在水平面內(nèi)。2．勻速圓周運動的受力特點(1)物體所受合外力大小不變，方向總是指向圓心。(2)合外力充當向心力。3．解答勻速圓周運動問題的一般步驟(1)選擇探討對象，找出勻速圓周運動的圓心和半徑。(2)分析物體受力狀況，其合外力供應向心力。(3)由Fn＝meq\f(v2,r)或Fn＝mrω2或Fn＝mreq\f(4π2,T2)列方程求解。[典例](多選)(2024·浙江高考)如圖所示為賽車場的一個水平“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑R＝90m的大圓弧和r＝40m的小圓弧，直道與彎道相切。大、小圓弧圓心O、O′距離L＝100m。賽車沿彎道路途行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍。假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運動，在彎道上做勻速圓周運動。要使賽車不打滑，繞賽道一圈時間最短(發(fā)動機功率足夠大，重力加速度g＝10m/s2，π＝3.14)，則賽車()A．在繞過小圓弧彎道后加速B．在大圓弧彎道上的速率為45m/sC．在直道上的加速度大小為5.63m/s2D．通過小圓弧彎道的時間為5.58s[解析]賽車做圓周運動時，由F＝meq\f(v2,R)知，在小圓弧上的速度小，故賽車繞過小圓弧后加速，選項A正確；在大圓弧彎道上時，依據(jù)F＝meq\f(v2,R)知，其速率v＝eq\r(\f(FR,m))＝eq\r(\f(2.25mgR,m))＝45m/s，選項B正確；同理可得在小圓弧彎道上的速率v′＝30m/s。如圖所示，由邊角關(guān)系可得α＝60°，直道的長度x＝Lsin60°＝50eq\r(3)m，據(jù)v2－v′2＝2ax知在直道上的加速度a≈6.50m/s2，選項C錯誤；小彎道對應的圓心角為120°，弧長為s＝eq\f(2πr,3)，對應的運動時間t＝eq\f(s,v′)≈2.79s，選項D錯誤。[答案]AB[延長思索](1)要使賽車繞賽道一圈所用時間最短，賽車在彎道上做圓周運動時，速度應達到什么要求？此時的向心力應由什么力供應？(2)賽車由大圓弧賽道向小圓弧賽道運動時，若不減速，會發(fā)生什么狀況？(3)賽車以最短時間運動時，在兩直道上運動的時間大小相等嗎？為什么？提示：(1)要使賽車繞賽道一圈所用時間最短，賽車在彎道上做勻速圓周運動的速度必需達到最大速度，此時賽車的向心力由最大靜摩擦力供應。(2)賽車由大圓弧賽道向小圓弧賽道運動時，若不減速，賽車在小圓弧賽道上最大靜摩擦力小于所須要的向心力，賽車將做離心運動，滑出賽道。(3)因賽車在直道兩端的速度大小相等，直道長度相等，由t＝eq\f(x,\f(v＋v′,2))可知賽車在兩直道上運動的時間大小相等。[一題悟通]通過例題及延長思索讓學生明白物體在水平面上運動時的向心力來源及其臨界極值問題的分析方法。幾何分析目的是確定圓周運動的圓心、半徑等運動分析目的是確定圓周運動的線速度、角速度、向心加速度等受力分析目的是通過力的合成與分解，表示出物體做圓周運動時，外界所供應的向心力[題點全練]1．[車輛水平轉(zhuǎn)彎問題]如圖所示為馬路自行車賽中運動員在水平路面上急轉(zhuǎn)彎的情景。運動員在通過彎道時假如限制不當會發(fā)生側(cè)滑而摔離正常競賽路途。將運動員與自行車看成整體，下列說法正確的是()A．運動員轉(zhuǎn)彎所需向心力由重力與地面對車輪的支持力的合力供應B．運動員轉(zhuǎn)彎所需向心力由地面對車輪的摩擦力供應C．發(fā)生側(cè)滑是因為運動員受到的合力方向背離圓心D．發(fā)生側(cè)滑是因為運動員受到的合外力大于所需的向心力解析：選B轉(zhuǎn)彎時的向心力為沿半徑方向的合力。運動員轉(zhuǎn)彎時，地面對車輪的摩擦力供應所需的向心力，故A錯誤，B正確；當f<eq\f(mv2,r)，即靜摩擦力不足以供應所需向心力時，就會發(fā)生側(cè)滑，故C、D錯誤。2．[圓錐擺問題](多選)如圖所示，長為L的細繩一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球。給小球一個合適的初速度，小球便可在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，這樣就構(gòu)成了一個圓錐擺，設(shè)細繩與豎直方向的夾角為θ。下列說法中正確的是()A．小球受重力、繩的拉力和向心力作用B．小球只受重力和繩的拉力作用C．θ越大，小球運動的速率越大D．θ越大，小球運動的周期越大解析：選BC小球受重力、繩的拉力作用，二者合力供應向心力，由牛頓其次定律可得：Fcosθ＝mg，F(xiàn)sinθ＝meq\f(v2,Lsinθ)，T＝eq\f(2πLsinθ,v)，可求得v＝eq\r(gLsinθtanθ)，T＝2πeq\r(\f(Lcosθ,g))，可見θ越大，v越大，T越小。綜上所述，可知選項B、C正確，A、D錯誤。3．[水平轉(zhuǎn)盤上的圓周運動問題](多選)如圖甲所示，將質(zhì)量為M的物塊A和質(zhì)量為m的物塊B沿同一半徑方向放在水平轉(zhuǎn)盤上，兩者用長為L的水平輕繩連接。物塊與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力均為各自重力的k倍，物塊A與轉(zhuǎn)軸的距離等于輕繩長度，整個裝置能繞通過轉(zhuǎn)盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。起先時，輕繩恰好伸直但無彈力，現(xiàn)讓該裝置從靜止起先轉(zhuǎn)動，使角速度緩慢增大，繩中張力FT與轉(zhuǎn)動角速度的平方ω2的關(guān)系如圖乙所示，當角速度的平方ω2超過3ω12時，物塊A、B起先滑動。若圖乙中的F1、ω1及重力加速度g均為已知，下列說法正確的是()A．L＝eq\f(F1,mω12) B．L＝eq\f(F1,2mω12)C．k＝eq\f(2F1,mg) D．m＝M解析：選BC起先轉(zhuǎn)速較小時，A、B兩物塊的向心力均由靜摩擦力供應，當轉(zhuǎn)速增大到肯定程度時，B的靜摩擦力不足以供應向心力時，繩子起先有拉力，當轉(zhuǎn)速再增大到肯定程度，A的最大靜摩擦力也不足時，兩者起先做離心運動，由題圖乙可得：kmg＝m·2ω12·2L，F(xiàn)1＋kmg＝m·3ω12·2L，可解得：L＝eq\f(F1,2mω12)，k＝eq\f(2F1,mg)，選項A錯誤，B、C均正確；對物塊A分析，kMg－F1＝M·3ω12·L，可推得M＝2m，D錯誤?？键c三豎直面內(nèi)的圓周運動[方法模型類][典例]如圖所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點，外界給系統(tǒng)肯定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力。忽視空氣阻力，則球B在最高點時()A．球B的速度為零B．球A的速度大小為eq\r(2gL)C．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mgD．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg[典例識模]題干信息吹“沙”見“金”光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點球A圓周運動的半徑為L，球B圓周運動的半徑為2L球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力球B在最高點只受重力作用，重力恰好供應向心力[解析]球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即重力恰好供應向心力，有mg＝meq\f(v2,2L)，解得v＝eq\r(2gL)，故A錯誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小v′＝eq\f(\r(2gL),2)，故B錯誤；球B到最高點時，對桿無彈力，此時球A受重力和拉力的合力供應向心力，有F－mg＝meq\f(v′2,L)，解得：F＝1.5mg，故C正確，D錯誤。[答案]C[系統(tǒng)建模]輕“繩”模型輕“桿”模型情景圖示彈力特征彈力可能向下，也可能等于零彈力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意圖力學方程mg＋FT＝meq\f(v2,r)mg±FN＝meq\f(v2,r)臨界特征FT＝0，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)v＝0，即F向＝0，此時FN＝mg模型關(guān)鍵(1)繩只能對小球施加向下的力(2)小球通過最高點的速度至少為eq\r(gr)(1)“桿”對小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力(2)小球通過最高點的速度最小可以為0[嫻熟用模]1．[輕“桿”模型]如圖所示，輕桿長為L，一端固定在水平軸上的O點，另一端系一個小球(可視為質(zhì)點)。小球以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運動，且能通過最高點，g為重力加速度。下列說法正確的是()A．小球通過最高點時速度可能小于eq\r(gL)B．小球通過最高點時所受輕桿的作用力不行能為零C．小球通過最高點時所受輕桿的作用力隨小球速度的增大而增大D．小球通過最高點時所受輕桿的作用力隨小球速度的增大而減小解析：選A小球在最高點時，桿對球可以表現(xiàn)為支持力，由牛頓其次定律得：mg－F＝meq\f(v2,L)，則得v＜eq\r(gL)，故A正確。當小球速度為eq\r(gL)時，由重力供應向心力，桿的作用力為零，故B錯誤。輕桿在最高點可以表現(xiàn)為拉力，此時依據(jù)牛頓其次定律有mg＋F＝meq\f(v2,L)，則知v越大，F(xiàn)越大，即隨小球速度的增大，桿的拉力增大；小球通過最高點時桿對球的作用力也可以表現(xiàn)為支持力，當表現(xiàn)為支持力時，有mg－F＝meq\f(v2,L)，則知v越大，F(xiàn)越小，即隨小球速度的增大，桿的支持力減小，故C、D錯誤。2．[輕“繩”模型](多選)如圖所示，豎直環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地上，B不能左右運動，在環(huán)的最低點靜放有一小球C，A、B、C的質(zhì)量均為m。現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時速度v，小球會在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動。為保證小球能通過環(huán)的最高點，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起(不計小球與環(huán)的摩擦阻力)，則瞬時速度v必需滿意()A．最小值為eq\r(4gr) B．最大值為eq\r(6gr)C．最小值為eq\r(5gr) D．最大值為eq\r(7gr)解析：選CD要保證小球能通過環(huán)的最高點，在最高點最小速度滿意mg＝meq\f(v02,r)，由最低點到最高點由機械能守恒得eq\f(1,2)mvmin2＝mg·2r＋eq\f(1,2)mv02，可得小球在最低點瞬時速度的最小值為eq\r(5gr)，A錯誤，C正確；為了使環(huán)不會在豎直方向上跳起，則在最高點球有最大速度時，對環(huán)的壓力為2mg，滿意3mg＝meq\f(v12,r)，從最低點到最高點由機械能守恒得eq\f(1,2)mvmax2＝mg·2r＋eq\f(1,2)mv12，可得小球在最低點瞬時速度的最大值為eq\r(7gr)，B錯誤，D正確。3．[“雙繩”模型]如圖所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g。現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根輕繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時，每根輕繩的拉力大小為()A．eq\r(3)mg B．eq\f(4\r(3),3)mgC．3mg D．2eq\r(3)mg解析：選A小球在運動過程中，A、B兩點與小球所在位置構(gòu)成等邊三角形，由此可知，小球圓周運動的半徑R＝L·sin60°＝eq\f(\r(3),2)L，兩繩與小球運動半徑方向間的夾角為30°，由題意，小球在最高點的速率為v時，mg＝meq\f(v2,R)，當小球在最高點的速率為2v時，應有：F＋mg＝meq\f((2v)2,R)，可解得：F＝3mg。由2FTcos30°＝F，可得兩繩的拉力大小均為FT＝eq\r(3)mg，A項正確?？键c四試驗：探究影響向心力大小的因素1．試驗探究：利用如圖所示的簡易裝置，采納限制變量法粗略感知影響向心力大小的因素。(1)保持小球的質(zhì)量m和半徑r不變，探究向心力F與角速度ω的關(guān)系，則當ω增大時，F(xiàn)增大。(2)保持小球的質(zhì)量m和角速度ω不變，探究向心力F與半徑r的關(guān)系，則當r增大時，F(xiàn)增大。(3)保持小球的角速度ω和半徑r不變，探究向心力F與質(zhì)量m的關(guān)系，則當m增大時，F(xiàn)增大。2．結(jié)論：物體做圓周運動須要的向心力與物體的質(zhì)量、半徑、角速度都有關(guān)。3．拓展：依據(jù)公式F＝mrω2和ω＝eq\f(v,r)，可得F＝meq\f(v2,r)，所以可以進一步探究感知向心力的大小與線速度的關(guān)系。[典例](2024·天水質(zhì)檢)某同學用圓錐擺驗證向心力公式F＝mRω2。先在一張白紙上以O(shè)為圓心畫一組同心圓，再將白紙鋪在水平桌面上，在O點正上方距桌面高為h處的O1處用鐵架臺(圖中未畫出)懸掛一質(zhì)量為m的小球，設(shè)法使小球沿著半徑為R的圓周運動但恰不與紙面接觸。(1)現(xiàn)用刻度尺測得R、h，用天平測得m，用g表示重力加速度，則小球所受的合力F1＝________。(2)為了測出小球做圓周運動的角速度ω，先用停表測得小球完成n次圓周運動共用時t，則由向心力公式F＝mRω2求得小球做圓周運動的向心力F2＝________，代入數(shù)值，驗證F1＝F2是否成立。[思路點撥](1)小球做圓周運動中所受的合力供應向心力，由平行四邊形定則求合力的表達式，依據(jù)T＝eq\f(t,n)求得周期。(2)再利用公式F＝man＝eq\f(4π2mR,T2)求向心力，若能大致滿意F1＝F2，就可達到粗略驗證向心力表達式的目的。[解析](1)設(shè)擺線與豎直方向的夾角為α，則有tanα＝eq\f(R,h)，小球做圓周運動中所受合力的表達式為F1＝mgtanα＝eq\f(mgR,h)。(2)小球做圓周運動的周期為T＝eq\f(t,n)，向心加速度的表達式為an＝eq\f(4π2R,T2)＝eq\f(4π2n2R,t2)，小球做圓周運動的向心力F2＝man＝meq\f(4π2n2R,t2)，所以若能大致滿意F1＝F2，就可達到粗略驗證向心力表達式的目的。[答案](1)eq\f(mgR,h)(2)meq\f(4π2n2R,t2)[基礎(chǔ)考法]1．(2024·泉州九中模擬)為驗證向心力公式，某探究小組設(shè)計了如圖所示的演示試驗，在米尺的一端鉆一個小孔，使小孔恰能穿過一根細線，線下端掛一質(zhì)量為m，直徑為d的小鋼球。將米尺固定在水平桌面上，測量出懸點到鋼球的細線長度l，使鋼球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，圓心為O，待鋼球的運動穩(wěn)定后，用眼睛從米尺上方垂直于米尺往下看，讀出鋼球外側(cè)到O點的距離r，并用秒表測量出鋼球轉(zhuǎn)動n圈用的時間t。則：(1)小鋼球做圓周運動的周期T＝________。(2)小鋼球做圓周運動的向心力F＝________。解析：(1)鋼球轉(zhuǎn)動n圈用的時間為t，則周期為：T＝eq\f(t,n)。(2)鋼球轉(zhuǎn)動半徑為R＝r－eq\f(d,2)，依據(jù)向心力公式得F＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R＝meq\f(4π2n2,t2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(d,2)))。答案：(1)eq\f(t,n)(2)meq\f(4π2n2,t2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(d,2)))2．(2024·北京順義區(qū)模擬)如圖甲所示是某同學探究做圓周運動的物體質(zhì)量、向心力、軌道半徑及線速度關(guān)系的試驗裝置，圓柱體放置在水平光滑圓盤上做勻速圓周運動。力傳感器測量向心力F，速度傳感器測量圓柱體的線速度v，該同學通過保持圓柱體質(zhì)量和運動半徑不變，來探究向心力F與線速度v的關(guān)系。(1)該同學采納的試驗方法為________。A．等效替代法B．限制變量法C．志向化模型法(2)變更線速度v，多次測量，該同學測出了五組F、v數(shù)據(jù)，如下表所示：v/(m·s－1)1.01.52.02.53.0F/N0.882.003.505.507.90該同學對數(shù)據(jù)分析后，在圖乙坐標紙上描出了五個點。①在圖乙中作出F-v2圖線；②若圓柱體運動半徑r＝0.2m，由作出的F-v2的圖線可得圓柱體的質(zhì)量m＝________kg。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)解析：(1)試驗中探討向心力和速度的關(guān)系，保持圓柱體質(zhì)量和運動半徑不變，采納的試驗方法是限制變量法，故選B。(2)①作出F-v2圖線，如圖所示。②依據(jù)F＝meq\f(v2,r)知，圖線的斜率k＝eq\f(m,r)，則有：eq\f(m,r)＝eq\f(8,8.8)，代入數(shù)據(jù)解得m＝0.18kg。答案：(1)B(2)①見解析圖②0.18“形同質(zhì)異”慎解題——斜面上圓周運動的臨界問題在斜面上做圓周運動的物體，因所受的限制因素不同，如靜摩擦力限制、繩限制、桿限制，物體的受力狀況和所遵循的規(guī)律也不相同。下面列舉三類實例。(一)靜摩擦力限制下的斜面圓周運動1．如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為eq\f(\r(