2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型課下層級訓(xùn)練25正弦定理和余弦定理的應(yīng)用含解析

PAGEPAGE1課下層級訓(xùn)練(二十五)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用[A級基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練]1．如圖，兩座燈塔A和B與河岸視察站C的距離相等，燈塔A在視察站南偏西40°，燈塔B在視察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東80° D．南偏西80°【答案】D[由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.]2．(2024·湖北十堰調(diào)研)已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地間的距離為()A．10km B．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km【答案】D[如圖所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7).]3．(2024·河南鄭州月考)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于()A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)【答案】D[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).]4．一艘海輪從A處動身，以每小時(shí)40nmile的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處視察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處視察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A．10eq\r(2)nmile B．10eq\r(3)nmileC．20eq\r(3)nmile D．20eq\r(2)nmile【答案】A[畫出示意圖如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20nmile，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)nmile.]5．如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m,50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A．30° B．45°C．60° D．75°【答案】B[依題意可得AD＝20eq\r(10)，AC＝30eq\r(5)，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.]6．輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h，則下午2時(shí)兩船之間的距離是________nmile.【答案】70[設(shè)兩船之間的距離為d，則d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即兩船相距70nmile.]7．一船以每小時(shí)15km的速度向正東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為________km.【答案】30eq\r(2)[如圖所示，依題意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2)(km)．]8．(2024·福建福州質(zhì)檢)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到，一輛汽車在一條水平的馬路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得馬路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14s，則這輛汽車的速度為________m/s(精確到0.1)．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236.【答案】22.6[由題意可得AB＝200，AC＝100eq\r(2)，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝105，則BC＝100eq\r(10)≈141.4×2.236，又歷時(shí)14s，所以速度為eq\f(BC,14)≈22.6m/s.]9．(2024·山西監(jiān)測)如圖，點(diǎn)A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.現(xiàn)要在點(diǎn)C處搭建一個觀測站CD，點(diǎn)D在頂端．(1)原安排CD為鉛垂線方向，α＝45°，求CD的長；(2)搭建完成后，發(fā)覺CD與鉛垂線方向有偏差，并測得β＝30°，α＝53°，求CD2.(結(jié)果精確到1)(本題參考數(shù)據(jù)：sin97°≈1，cos53°≈0.6)【答案】解(1)∵CD為鉛垂線方向，點(diǎn)D在頂端，∴CD⊥AB．又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，∴由eq\f(AD,sinβ)＝eq\f(AB,sin∠ADB)得AD＝eq\f(ABsinβ,sin∠ADB)＝eq\f(10sin30°,sin97°)＝eq\f(5,sin97°)≈5.在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcosα＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17.10．已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個放射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100m和BN＝200m，一測量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測得放射塔頂A的仰角為30°，該測量車向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)m后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測得放射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測量tanθ＝2，求兩放射塔頂A，B之間的距離．【答案】解在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100eq\r(3)，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100eq\r(3)，∴△PQM為等邊三角形，∴QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，∴BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))2，∴BA＝100eq\r(5).即兩放射塔頂A，B之間的距離是100eq\r(5)m.[B級實(shí)力提升訓(xùn)練]11．(2024·廣東廣州調(diào)研)如圖所示長為3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tanα等于()A．eq\f(\r(231),5) B．eq\f(5,16)C．eq\f(\r(231),16) D．eq\f(11,5)【答案】A[由題意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝eq\f(5,16)，所以sinα＝eq\f(\r(231),16)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(231),5).]12．(2024·湖北武昌調(diào)研)如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45°方向600km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動，距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為()A．14h B．15hC．16h D．17h【答案】B[記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，依據(jù)余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×eq\f(\r(2),2)，令OB2≤4502，即4t2－120eq\r(2)t＋1575≤0，解得eq\f(30\r(2)－15,2)≤t≤eq\f(30\r(2)＋15,2)，所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為eq\f(30\r(2)＋15,2)－eq\f(30\r(2)－15,2)＝15(h)．]13．(2024·福建泉州模擬)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD．已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為______m.【答案】50eq\r(7)[如圖，連接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50eq\r(7).]14．(2024·山東臨沂期中)我國南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》的“田域類”中寫道：問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知為田幾何．意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13,14,15里，求三角形沙田的面積．請問此田面積為________平方里．【答案】84[由題意畫出圖象：且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，由余弦定理得，cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(132＋142－152,2×13×14)＝eq\f(5,13)，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(12,13)，則該沙田的面積：即△ABC的面積S＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)×13×14×eq\f(12,13)＝84.]15．如圖所示，在一條海防警戒線上的點(diǎn)A，B，C處各有一個水聲監(jiān)測點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到點(diǎn)A的距離分別為20km和50km.某時(shí)刻，B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個聲波信號，8s后A，C同時(shí)接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5km/s.(1)設(shè)A到P的距離為xkm，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離．【答案】解(1)依題意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2PA·AB)＝eq\f(x2＋202－x－122,2x·20)＝eq\f(3x＋32,5x).同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝eq\f(PA2＋AC2－PC2,2PA·AC)＝eq\f(x2＋502－x2,2x·50)＝eq\f(25,x).因?yàn)閏os∠PAB＝cos∠PAC，所以eq\f(3x＋32,5x)＝eq\f(25,x)，解得x＝31.(2)作PD⊥AC于點(diǎn)D，在△ADP中，由cos∠PAD＝eq\f(25,31)，得sin∠PAD＝eq\r(1－cos2∠PAD)＝eq\f(4\r(21),31)，所以PD＝PAsin∠PAD＝31×eq\f(4\r(21),31)＝4eq\r(21)(km)．故靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離為4eq\r(21)km.16．某高速馬路旁邊B處有一棟樓房，某人在距地面100m的32樓陽臺A處，用望遠(yuǎn)鏡觀測路上的車輛，上午11時(shí)測得一客車位于樓房北偏東15°方向上，且俯角為30°的C處，10s后測得該客車位于樓房北偏西75°方向上，且俯角為45°的D處．(假設(shè)客車勻速行駛)(1)假如此高速路段限速80km/h，試問該客車是否超速？(2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，客車到達(dá)樓房的正西方向E處，問此時(shí)客車距離樓房多遠(yuǎn)？【答案】解(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100m，則BC＝100eq\r(3)m.在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝10