湖北省六校（宜城一中、棗陽(yáng)一中、曾都一中、襄陽(yáng)六中、南漳一中、老河口一中）2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

宜城一中棗陽(yáng)一中曾都一中襄陽(yáng)六中南漳一中老河口一中——學(xué)年下學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試題時(shí)間：分鐘主命題學(xué)校：南漳一中分值：分命題老師：蔣彥祖、韓亮、萬(wàn)梓康注意事項(xiàng)：號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，那么（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.2.已知向量，則與向量方向相反的單位向量是（）第1頁(yè)/共17頁(yè)A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)單位向量的定義求與向量方向相反的單位向量.【詳解】由題設(shè)，與向量方向相反的單位向量是.故選：D3.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理、數(shù)量積及模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：由題設(shè)，不存在實(shí)數(shù)，使，故不共線，錯(cuò)；B：由，錯(cuò)；C：因?yàn)?，所以，即，?duì)；D：，錯(cuò).故選：C4.一船以每小時(shí)15km處看到一個(gè)燈塔在南偏東處看到燈塔在南偏西，此時(shí)測(cè)得船與燈塔的距離為km，則（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】作出示意圖，在中，得，可由三角函數(shù)求的長(zhǎng)，進(jìn)而得到答案.【詳解】由題意知，在中，，，第2頁(yè)/共17頁(yè)，所以為直角三角形，又，，故故選：C.5.若，且為第三象限角，則（）A.7B.C.D.【答案】A【解析】【分析】逆用和角余弦公式可得，結(jié)合已知得，再由和角正切公式求.【詳解】由，所以，又為第三象限角，所以，故，所以.故選：A6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（）第3頁(yè)/共17頁(yè)A.，B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】由圖象求出的解析式，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于A，由題意，，則，則，又在上，則，即，所以，則，又，所以，所以，即，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以不是圖象的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，第4頁(yè)/共17頁(yè)所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：B.7.定義兩個(gè)向量，之間的一種運(yùn)算：，其中是向量，的夾角，則對(duì)于非零向量，，下列結(jié)論不一定成立的是（）A.該運(yùn)算滿足交換律，即B.若向量，共線，則C.的值等于以，為鄰邊的平行四邊形的面積D.對(duì)任意向量，有【答案】D【解析】【分析】根據(jù)新定義逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)定義，，故A一定成立；對(duì)于B，若向量，共線，則或，則，所以，故B一定成立；對(duì)于C，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為，故C一定成立；對(duì)于D，若且與不共線，則，但，故D不一定成立.故選：D.8.當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】分別畫出與在上的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以函數(shù)在上有1個(gè)周期的圖象，第5頁(yè)/共17頁(yè)因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期為，所以函數(shù)在上有3個(gè)周期的圖象，在平面直角坐標(biāo)系中，作出兩函數(shù)在上的圖象，如圖所示：由圖可知，曲線與有6個(gè)交點(diǎn).故選：C.3小題，每小題6分，共分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題正確的有（）A.函數(shù)的對(duì)稱中心是，B.在中，C.，，則在上的投影向量等于D.兩個(gè)非零向量，的夾角是銳角【答案】BC【解析】AB坐標(biāo)表示及投影向量的定義求解判斷C；舉特例判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的對(duì)稱中心是，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，故B正確；第6頁(yè)/共17頁(yè)對(duì)于C，由，，得，，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，同向時(shí)，滿足，此時(shí)，的夾角為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.計(jì)算下列各式的值，結(jié)果為2的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】AB式計(jì)算判斷C；利用輔助角公式二倍角的正弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AD.如圖，在菱形中，，延長(zhǎng)邊至點(diǎn)，使得.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿第7頁(yè)/共17頁(yè)菱形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)，若，則（）A.當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，B.滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)C.滿足的點(diǎn)有兩個(gè)D.最大值為3【答案】ACD【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，分類討論，點(diǎn)在、(不含點(diǎn))、(不含點(diǎn))、(不含點(diǎn))上時(shí)的取值，進(jìn)而逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】建立如圖所示的平面坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為1，，則，所以，由，得，所以，所以，①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，且，所以，故A正確；②當(dāng)點(diǎn)在(不含點(diǎn))上時(shí)，則，所以，化簡(jiǎn)，第8頁(yè)/共17頁(yè)所以，因?yàn)?，所以，即；③?dāng)點(diǎn)在(不含點(diǎn))上時(shí)，則，且，所以，即，所以；④當(dāng)點(diǎn)在(不含點(diǎn))上時(shí)，則，所以，化簡(jiǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以；?duì)于B，由①知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合；由④可知當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在的中點(diǎn)處；其它均不可能，所以這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由②知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在的中點(diǎn)；由③知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)處；其它均不可能，所以這樣點(diǎn)有兩個(gè)，故C正確；對(duì)于D，由①②③④可得，當(dāng)，，即點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，取到最大值3，故D正確.故選：ACD.第9頁(yè)/共17頁(yè)3小題，每小題5分，共分）12.已知扇形的周長(zhǎng)為9cm，圓心角為，則該扇形的面積為___________.【答案】【解析】【分析】由扇形的弧長(zhǎng)及面積公式求解可得答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，弧長(zhǎng)為，則由題意可得，解得，所以扇形的面積，故答案為：.13.在中，，，則角為____________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理得，從而，由余弦定理得，所以.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，故答案為?14.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為______________，若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______________.【答案】①.5②.第10頁(yè)/共17頁(yè)【解析】【分析】應(yīng)用輔助角公式得，結(jié)合圖象平移及正弦型函數(shù)的奇偶性有，即可求參數(shù)，再由正弦型函數(shù)的區(qū)間最值有，即可得范圍.【詳解】由題設(shè)，所以為奇函數(shù)，則，所以，又，故，所以，若，則，又函數(shù)在區(qū)間上存在最大值2，則.故答案為：5，5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟）15.已知向量，滿足：，，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）或【解析】1）對(duì)展開可得，再由向量夾角的余弦值公式即可求解；（2）由向量垂直性質(zhì)可得，化簡(jiǎn)后解方程即可求解實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】由題可得，因?yàn)椋?，代入可得，，所以與夾角的余弦值.第11頁(yè)/共17頁(yè)【小問2詳解】因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，將，，代入可得，解得或16.已知函數(shù)的圖象相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式及的解集；（2中，為，周長(zhǎng).【答案】（1），解集為；（2）.【解析】1）根據(jù)題設(shè)有，即可得解析式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性及周期性求不等式解集；（2、，進(jìn)而可得，即可得周長(zhǎng).【小問1詳解】由題設(shè)，則，令，，所以，，故解集為；【小問2詳解】由題設(shè)，即，，第12頁(yè)/共17頁(yè)所以，，又是三角形內(nèi)角，故，由，即，由，則，所以，易得，所以周長(zhǎng)為.17.如圖，在中，已知，，，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，，相交于點(diǎn).設(shè)，；（1）若，試用向量，表示，；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】1）利用平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形關(guān)系可得結(jié)果；（2）利用向量垂直的性質(zhì)和數(shù)量積的定義可解得，再利用三角形面積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意，是的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，則.所以，.【小問2詳解】因?yàn)?，所?第13頁(yè)/共17頁(yè)因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，，解?所以，，則，所以.18.中國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.6180.618數(shù)值也可以表示為.三倍角公式是把形如，等三角函數(shù)用單倍角三角函數(shù)表示的恒等式，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、天文等學(xué)科.（1）已知試證明此三倍角公式；（2）若角滿足，求的值（已知（3）試用三倍角公式并結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)，求出黃金分割值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】1）根據(jù)兩角和余弦公式展開，再利用二倍角公式及平方關(guān)系化簡(jiǎn)可得結(jié)論；（2）由（1）得，再通過三角恒等變換化簡(jiǎn)，并結(jié)合同角關(guān)系求結(jié)論；（3）根據(jù)，結(jié)合（1）及二倍角正弦公式和同角關(guān)系化簡(jiǎn)等式，解方程求得，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】由第14頁(yè)/共17頁(yè)，得證；【小問2詳解】由（1）知，可得，而.【小問3詳解】由，則，所以，則，所以，可得所以.19.已知函數(shù).（1）設(shè)，為偶函數(shù)，若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2的圖象過點(diǎn)，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】1）由函數(shù)為偶函數(shù)得，結(jié)合已知即可得，再應(yīng)用三角恒等變換化簡(jiǎn)并確定區(qū)間值域，由不等式能成立有，即可求范圍；第15頁(yè)/共17頁(yè)（2）根據(jù)已知得，將問題化為，結(jié)合三角函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，進(jìn)而列不等式