第十八章復(fù)習

第十八章復(fù)習第十八章平行四邊形

考點一平行四邊形的判定與性質(zhì)典例1

（2024·綿陽期末）在平面直角坐標系中，以O(shè)（0，0），A

（1，2），B（4，0），C為頂點構(gòu)造平行四邊形，請寫出一個滿足條

件的點C的坐標：

?.答案不唯一，如（5，2）

跟蹤訓(xùn)練1.

（2023·成都金牛期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABD＝∠BDC

＝90°，點E在AB上，DE∥BC.

（1）求證：四邊形EBCD是平行四邊形.解：（1）

∵

∠ABD＝∠BDC＝90°，∴

AB∥CD.

∵

DE∥BC，∴四邊形EBCD是平行四邊形.（第1題）（2）若∠A＝30°，DE平分∠ADB，CD＝1，求AB的長.

（第1題）考點二矩形的判定與性質(zhì)典例2

（2024·牡丹江）已知矩形ABCD的面積是90，對角線AC，BD

交于點O，E是邊BC的三等分點，連接DE，P是DE的中點，OP＝

3，連接CP，則PC＋PE的值為

?.

跟蹤訓(xùn)練2.如圖，在?ABCD中，E是AD上一點，連接BE，F(xiàn)為BE的中點，

且AF＝BF.

（1）求證：四邊形ABCD為矩形.解：（1）

∵

F為BE的中點，AF＝BF，∴

AF＝BF

＝EF.

∴

∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠FEA.

在

△ABE中，∵

∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠FEA＝

180°，∴

2（∠BAF＋∠FAE）＝180°.∴

∠BAF

＋∠FAE＝90°，即∠BAE＝90°.又∵四邊形

ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為矩形.（第2題）（2）過點F作FG⊥BE，交BC于點G.

若BE＝BC，S△BFG＝5，CD

＝4，求CG的長.

（第2題）（第2題答案）考點三菱形的判定與性質(zhì)典例3

（2024·通遼）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，下

列條件不能證明四邊形ABCD是菱形的為（

D

）

（典例3圖）A.

∠BAC＝∠BCAB.

∠ABD＝∠CBDC.

OA2＋OB2＝AD2D.

AD2＋OA2＝OD2D跟蹤訓(xùn)練3.

（2023·南陽新野期末）如圖，在?ABCD中，CD＝BD，DE平分

∠BDC，交BC于點O，交AB的延長線于點E，連接CE.

（1）求證：四邊形BECD是菱形.解：（1）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴

AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC.

∴

∠CDE＝

∠BED.

∵

DE平分∠BDC，∴

∠CDE＝∠BDE.

∴

∠BED＝∠BDE.

∴

BE＝BD.

∵

CD＝BD，

∴

CD＝BE.

∵

BE∥CD，∴四邊形BECD是平行

四邊形.又∵

CD＝BD，∴四邊形BECD是菱形.（第3題）（2）

若AB＝5，AD＝6，求四邊形BECD的面積.

（第3題）考點四正方形的判定與性質(zhì)典例4

（2024·重慶）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是BC上

一點，F(xiàn)是CD延長線上一點，連接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于

點M.

若BE＝DF＝1，則DM的長為（

D

）（典例4圖）DA.

2B.

C.

D.

跟蹤訓(xùn)練4.

（2024·呼和浩特）如圖，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB

平分∠CAE，AB∥FD.

（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形.解：（1）

∵

AB平分∠CAE，∴

∠CAB＝∠BAE.

∵

AB∥DF.

∴

∠BAE＝∠DFE.

∴

∠CAB＝

∠EFD.

∵

∠ACB＝∠FED＝90°，AC＝FE，

∴

△CAB≌△EFD.

∴

AB＝FD.

又∵

AB∥FD，∴

四邊形ABDF是平行四邊形.（第4題）（2）過點B作BG⊥AE于點G.

若CB＝AF，請直接寫出四邊形

BGED的形狀.解：（2）由（1），可知BC＝DE，四邊形ABDF是

平行四邊形，∴

BD＝AF.

∵

AB平分∠CAE，

BC⊥AC，BG⊥AE，∴

BC＝BG.

∵

BC＝AF，

∴

BD＝DE＝BG，且∠BGE＝∠GED＝90°.

∴

BG∥DE，BG＝DE.

∴四邊形BGED是平行四邊

形.∵

BD＝DE，∴四邊形BGED是菱形.∵

∠BGE

＝∠GED＝90°，∴四邊形BGED是正方形.（第4題）

1.

（2024·蚌埠期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，

△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形.下列說法中，錯誤的是

（

D

）A.

AB⊥ACB.

EF＝6C.四邊形AEFD是平行四邊形D.

S四邊形AEFD＝24

（第1題）D12345678

（第2題）

123456783.

（2023·河南一模）已知正方形ABCD的邊長為4，點M，N在對角線

AC上（可與點A，C重合），MN＝2，點P，Q在正方形的邊上.有下

列結(jié)論：①存在無數(shù)個四邊形PMQN是平行四邊形；②存在無數(shù)個四

邊形PMQN是菱形；③存在無數(shù)個四邊形PMQN是矩形；④至少存在

一個四邊形PMQN是正方形.其中，正確的是

（填序號）.①②④

12345678（第4題）4.

（2024·蘭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，

CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC于點F.

若BC＝4，CE＝3，則EF的

長為

?.

123456785.

（2023·南通如皋期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝

60°.E是對角線BD上的一個動點（不與點B，D重合），連接AE，

以AE為邊作菱形AEFG，點G位于直線AB的上方，且∠EAG＝60°，

P是AD的中點，連接PG，則線段PG長的最小值是

?.（第5題）

123456786.

（2023·周口鄲城期中）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是

AD，BC的中點.（1）

若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF

的長.

（第6題）（第6題答案）12345678（2）若∠BDC－∠ABD＝90°，求證：AB2＋CD2＝4EF2.

（第6題）123456787.

（2023·朝陽凌源期末）如圖，在矩形ABCD中，延長BC至點E，使

得BE＝BD，連接DE，F(xiàn)為DE的中點，連接AF，CF.

若AB＝3，

AD＝4.（第7題）12345678（1）

求CF的長.

（第7題）12345678（2）求證：CF⊥AF.

（第7題）（第7題答案）12345678

（第7題答案）（第7題答案）12345678（3）若矩形ABCD的邊長為任意值，其他條件不變，CF⊥AF還成立

嗎？請說明理由.解：（3）成立.理由：由（2），得AF2＝BF2＝BE2－EF2.∵

EF＝CF，BE＝BD，∴

AF2＋CF2＝BE2－EF2＋CF2＝BD2－CF2

＋CF2＝BD2.∵

BD＝AC，∴

AF2＋CF2＝AC2.∴

△ACF是以

∠AFC為直角的直角三角形.∴若矩形ABCD的邊長為任意值，

CF⊥AF仍然成立.（第7題）123456788.

（2023·廣州荔灣期中）如圖，四邊形ABCD為正方形，E為線段AC

上的一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE，

EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG.