安徽省池州市2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

池州市2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期中考試八年級數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1.下列二次根式中，不能與合并的是（）A. B. C. D.2.下列各式計算正確的是（）A. B. C. D.3.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.4.下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A.2.5、6、6.5 B.3、4、6 C.1、2、 D.5、12、135.在Rt△ABC中，∠C90，AB3，AC2，則BC的值（）A B. C. D.6.已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.7.如圖，在長方形中，、，點為邊上的一點，將沿直線折疊，點剛好落在邊上的點處，則的長是（）A. B. C. D.8.實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則化簡后為（）A. B. C. D.9.在“雙減政策”的推動下，我縣某中學(xué)學(xué)生每天書面作業(yè)時長明顯減少.2022年上學(xué)期每天書面作業(yè)平均時長為，經(jīng)過2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長為,2023年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長為70min.設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時長每期的下降率為x,則可列方程為（）A. B.C. D.10.對于一元二次方程，有下列說法：①若，則方程必有一個根為1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則．其中正確有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.若使二次根式有意義，則的取值范圍是__________．12.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為________．13.若一元二次方程的一個根為，則另一個根為______．14.如圖，是等邊三角形外一點，（1）當(dāng)?shù)冗吶切蔚倪呴L為4時，等邊三角形的面積為_________．（2）已知，，當(dāng)長最大時，等邊三角形面積為_________．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計算：．16.（1）解方程：（2）解方程：四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，網(wǎng)格中有以格點A、B、C為頂點的△ABC，請你根據(jù)所學(xué)的知識回答下列問題：（1）判斷△ABC形狀，并說明理由；（2）求BC邊上的高．18.已知a＝﹣，b＝+，求下列各式的值；（1）+；（2）a2b+ab2．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.觀察下列各式：11；11；11；請你根據(jù)上面三個等式提供信息，猜想：（1）；（2）請你按照上面每個等式反映的規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式：；（3）利用上述規(guī)律計算：（仿照上式寫出過程）．20.已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)方程的兩個根分別為，，若，求k的值及方程的根．六、（本大題2小題，每題12分，滿分24分）21.如圖，在△ABC中．D是AB邊的中點，DE⊥AB于點D，交AC于點E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）試說明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的長．22.一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為________件；（2）當(dāng)每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？七、（本大題1小題，滿分14分）23.如果方程的兩個根是、，那么，．請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知關(guān)于的方程，求出一個關(guān)于的一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；（2）已知、滿足，，求的值；（3）已知、、為實數(shù)，且，，若為中最大值，求的最小值．

池州市2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期中考試八年級數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1.下列二次根式中，不能與合并的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)相同，可得答案．【詳解】解：選項A、，可以與合并，不符合題意；選項B、，可以與合并，不符合題意；選項C、，不可以與合并，符合題意；選項D、，可以與合并，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了同類二次根式，關(guān)鍵是掌握被開方數(shù)相同的最簡二次根式是同類二次根式．2.下列各式計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同類二次根式的概念與二次根式的乘法逐一判斷可得答案．【詳解】解：A．與不是同類二次根式，不能合并，故A選項不符合題意；B．和不是同類二次根式，不能合并，故B選項不符合題意；C．，計算正確，故C選項符合題意；D．與不是同類二次根式，不能合并，故D選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則與同類二次根式的概念．3.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、是分式方程，選項說法錯誤，不符合題意；B、當(dāng)時，不是一元二次方程，選項說法錯誤，不符合題意；C、，即是一元二次方程，選項說法正確，符合題意；D、二元二次方程，選項說法錯誤，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一元二次方程應(yīng)注意的5個方面：一是化簡后、二是一個未知數(shù)、三是未知數(shù)的最高次數(shù)為2、四是二次項系數(shù)不等于0、五是整式方程．4.下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A.2.5、6、6.5 B.3、4、6 C.1、2、 D.5、12、13【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，解答即可．【詳解】解：A.和不是正整數(shù)，則此項不是勾股數(shù)，不符題意；B.，因為，所以這三個數(shù)不是勾股數(shù)，不符題意；C.不是正整數(shù)，則此項不是勾股數(shù)，不符題意；D.都是正整數(shù)，且，所以這三個數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長，則此項是勾股數(shù)，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了勾股數(shù)，解本題的關(guān)鍵要深刻理解勾股數(shù)的定義，并能夠熟練運用．5.在Rt△ABC中，∠C90，AB3，AC2，則BC值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理即可求出.【詳解】由勾股定理得，.故選.【點睛】本題考查的是勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.6.已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對于一元二次方程，判別式，當(dāng)時，方程有兩個不相等得實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等得實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．由方程有實數(shù)根即，從而得出關(guān)于的不等式，解不等式即可得答案．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，∴，即，解得．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根與判別式間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在長方形中，、，點為邊上的一點，將沿直線折疊，點剛好落在邊上的點處，則的長是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)長方形的性質(zhì)得到，，由折疊性質(zhì)得到，，然后利用股股定理，得到，設(shè)，則，再根據(jù)溝谷定理得，列出關(guān)于的方程，求解即可得出答案．【詳解】解：四邊形是長方形，，，，，又將折疊使點恰好落在邊上的點，，，在中，，，設(shè)，則，，在中，，即，解得，即的長為．故選：C．【點睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及用勾股定理解三角形，熟練掌握長方形的性質(zhì)折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題關(guān)鍵．8.實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則化簡后為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由數(shù)軸可知，，可得，，再化簡即可．【詳解】由數(shù)軸可知，∴，∴故選：D．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.在“雙減政策”的推動下，我縣某中學(xué)學(xué)生每天書面作業(yè)時長明顯減少.2022年上學(xué)期每天書面作業(yè)平均時長為，經(jīng)過2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長為,2023年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長為70min.設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時長每期的下降率為x,則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，利用2023年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長=2022年上學(xué)期每天書面作業(yè)平均時長×（1﹣該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時長每期的下降率）2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)根據(jù)題意得：．故選：C．10.對于一元二次方程，有下列說法：①若，則方程必有一個根為1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；③若是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程根，則．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【解析】【分析】按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式等對各選項分別討論，可得答案．【詳解】解：①若x=1時，方程ax2+bx+c=0，則a+b+c=0，

∵無法確定a-b+c=0．故①錯誤；②∵方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，

∴△=0-4ac＞0

∴-4ac＞0

則方程ax2+bx+c=0的判別式，

△=b2-4ac＞0

∴方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根，故②正確；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一個根，

則ac2+bc+c=0

∴c（ac+b+1）=0

若c=0，等式仍然成立，

但ac+b+1=0不一定成立，故③錯誤；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，

則由求根公式可得：或，∴或∴b2?4ac＝(2ax0+b)2，故④錯誤．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，牢固掌握二者的關(guān)系并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.若使二次根式有意義，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，解得．故答案：．12.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為________．【答案】5或【解析】【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論．【詳解】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時，第三邊的長為：；②長為3、4的邊都是直角邊時，第三邊的長為：；∴第三邊的長為：或5，故答案為：或5．13.若一元二次方程的一個根為，則另一個根為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)方程的一個根為t，則利用根與系數(shù)的關(guān)系得，從而求出t的值即可．【詳解】解：設(shè)方程的一個根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，即方程的另一個根為．故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握：若，是一元二次方程的兩根，則，．14.如圖，是等邊三角形外一點，（1）當(dāng)?shù)冗吶切蔚倪呴L為4時，等邊三角形的面積為_________．（2）已知，，當(dāng)長最大時，等邊三角形的面積為_________．【答案】①.②.##【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含的直角三角形的性質(zhì)，三邊關(guān)系的應(yīng)用，解第2題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用三邊關(guān)系得到最大時的情形．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出三角形的高，利用面積公式進(jìn)行求解即可；（2）以為邊作等邊，連接．利用全等三角形的性質(zhì)證明，利用三角形的三邊關(guān)系可得當(dāng)A，D，E三點共線時，的值最大，過點C作，垂足為F，過點B作交于點M，利用勾股定理求出，，，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出的面積．【詳解】解：（1）如圖，為等邊三角形，，過A作于D，則：，∴，∴的面積為：；故答案為：；（2）以為邊作等邊，連接．∵，，，∴，在和中，，∴，∴，在中，∵，，∴，∴，∴的最大值為5，∴當(dāng)A，D，E三點共線時，的值最大，且為5，如圖，過點C作，垂足為F，過點B作交于點M，∵，∴，∴，∴，∴，∴，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，∴中邊上的高，∴的面積為，故答案為：．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計算：．【答案】【解析】【分析】先算二次根式的乘除法，再算加減法，即可解答．【詳解】．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．16.（1）解方程：（2）解方程：【答案】（1），；（2），【解析】【分析】本題考查解一元二次方程：（1）因式分解法解方程即可；（2）因式分解法解方程即可．【詳解】解：（1），則，或；解得，；（2）∵，∴，即或；解得，．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，網(wǎng)格中有以格點A、B、C為頂點的△ABC，請你根據(jù)所學(xué)的知識回答下列問題：（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）求BC邊上的高．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析（2）BC邊上的高為2【解析】【分析】(1)根據(jù)正方形小方格邊長為1，得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形．(2)設(shè)BC邊上的高為h，根據(jù)面積公式，用正方形的面積減去三個三角形面積可以求出△ABC的面積．【小問1詳解】△ABC是直角三角形，理由：∵正方形小方格邊長為1，∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25．∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．【小問2詳解】設(shè)BC邊上的高為h，△ABC的面積＝4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5，×h×5＝5；∴h＝2．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉勾股定理以及逆定理是解答此題的關(guān)鍵．18.已知a＝﹣，b＝+，求下列各式的值；（1）+；（2）a2b+ab2．【答案】（1）；（2）4．【解析】【分析】（1）先求出a+b和ab的值，然后通分，代入求值即可；（2）利用提公因式法因式分解后，代入即可計算．【詳解】（1）∵a＝﹣，b＝+，∴a+b＝2，ab＝2，原式＝＝＝．（2）原式＝ab（a+b）＝2×2＝4．【點睛】此題考查的是二次根式的運算、分式加法運算和因式分解，掌握二次根式的運算法則、分式加法法則和因式分解是解題關(guān)鍵．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.觀察下列各式：11；11；11；請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想：（1）；（2）請你按照上面每個等式反映的規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式：；（3）利用上述規(guī)律計算：（仿照上式寫出過程）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)求出的規(guī)律進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律即可；（3）先變形為原式，再根據(jù)得出的規(guī)律進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：；（3）【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，數(shù)字的變化類等知識點，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．20.已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)方程兩個根分別為，，若，求k的值及方程的根．【答案】（1）（2），，【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到，列式求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，列式計算即可．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得，解得．【小問2詳解】解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可知，．∵，∴，∴，解得．∴．∴，．【點睛】本題考查一元二次方程的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．六、（本大題2小題，每題12分，滿分24分）21.如圖，在△ABC中．D是AB邊的中點，DE⊥AB于點D，交AC于點E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）試說明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的長．【答案】（1）見解析；（2）2.8．【解析】【分析】（1）連接BE，依據(jù)DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根據(jù)AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，進(jìn)而得到△BCE是直角三角形；（2）依據(jù)勾股定理可得BE的長為10，再根據(jù)勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的長．【詳解】解：（1）如圖所示，連接BE，∵D是AB邊的中點，DE⊥AB于點D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，∴AE＝10，設(shè)CE＝x，則AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝∴解得x＝2.8，∴CE＝2.8．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.22.一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為________件；（2）當(dāng)每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？【答案】（1）26；（2