2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-課時(shí)作業(yè)15雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一雙曲線定義的應(yīng)用1.已知F1、F2分別是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)，PQ是過(guò)焦點(diǎn)F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________．答案16解析如圖，|PF2|－|PF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝4a，即|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a＝4×4＝16.2．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．解∵雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，∴a＝3，c＝5，不妨設(shè)|PF1|>|PF2|，則|PF1|－|PF2|＝2a＝6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°.而|F1F2|＝2c＝10，得|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝100，∴|PF1||PF2|＝64.∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝16eq\r(3).學(xué)問(wèn)點(diǎn)二雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用3.如下圖，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲線只可能是()答案C解析直線方程可化為y＝ax＋b，曲線方程可化為eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1，若a>0，b>0，則曲線表示橢圓，故A不正確．關(guān)于B、D，由橢圓知直線斜率應(yīng)滿意a>0，而由B，D知直線斜率均為負(fù)值，故B，D不正確．由C可知a>0，b<0.4．點(diǎn)P與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到定直線x＝eq\f(1,2)的距離的比是2∶1，求點(diǎn)P的軌跡方程．解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得eq\f(\r(x－22＋y－02),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))))＝2，化簡(jiǎn)得x2－eq\f(y2,3)＝1，∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.一、選擇題1．已知方程eq\f(x2,3＋m)－eq\f(y2,3－m)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.－3＜m＜3 B.m＞0C.m≥0 D.m＞3或m＜－3答案A解析因?yàn)閑q\f(x2,3＋m)－eq\f(y2,3－m)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋m＞0，,3－m＞0，))解得－3＜m＜3.2．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在直線y＝eq\f(b,a)x上，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1答案A解析若點(diǎn)P(2,1)在直線y＝eq\f(b,a)x上，則1＝eq\f(2b,a)，∴a＝2b.①∵雙曲線的焦距為10，∴a2＋b2＝52.將①代入上式，得b2＝5，從而a2＝20，故雙曲線C的方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.3．已知點(diǎn)F1(－eq\r(2)，0)，F(xiàn)2(eq\r(2)，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿意|PF2|－|PF1|＝2，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是eq\f(1,2)時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\f(3,2)C.eq\r(3) D.2答案A解析由已知可得c＝eq\r(2)，a＝1，∴b＝1.∴雙曲線方程為x2－y2＝1(x≤－1)．將y＝eq\f(1,2)代入，可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x＝－eq\f(\r(5),2).∴點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(6),2).4．已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()A.(－1,3) B.(－1，eq\r(3))C.(0,3) D.(0，eq\r(3))答案A解析由題意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1<n<3.5．設(shè)橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1和雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的公共焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則cos∠F1PF2等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(3,5)答案B解析設(shè)|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，則d1＋d2＝2eq\r(6)，①|(zhì)d1－d2|＝2eq\r(3)，②①2＋②2，得deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝18.①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，∴cos∠F1PF2＝eq\f(d\o\al(2,1)＋d\o\al(2,2)－4c2,2d1d2)＝eq\f(18－16,6)＝eq\f(1,3).二、填空題6．已知方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示的曲線為C.給出以下四個(gè)推斷：①當(dāng)1<t<4時(shí)，曲線C表示橢圓；②當(dāng)t>4或t<1時(shí)，曲線C表示雙曲線；③若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1<t<eq\f(5,2)；④若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則t>4.其中推斷正確的是________(只填正確命題的序號(hào))．答案②③④解析①錯(cuò)誤，當(dāng)t＝eq\f(5,2)時(shí)，曲線C表示圓；②正確，若C為雙曲線，則(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4；③正確，若C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4－t>t－1>0.∴1<t<eq\f(5,2)；④正確，若曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－t<0，,t－1>0，))∴t>4.7．設(shè)雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________．答案(2eq\r(7)，8)解析由已知得F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)．設(shè)P(x，y)是雙曲線右支上任一點(diǎn)，則1<x<2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝\r(x＋22＋y2)，,|PF2|＝\r(x－22＋y2)，,x2－\f(y2,3)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝2x＋1，,|PF2|＝2x－1，))又△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2，即(2x＋1)2＋(2x－1)2>42，得x>eq\f(\r(7),2)，故eq\f(\r(7),2)<x<2，所以|PF1|＋|PF2|＝4x∈(2eq\r(7)，8)．8．已知F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為_(kāi)_______．答案9解析如圖所示，F(xiàn)(－4,0)，設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，則F′(4,0)，點(diǎn)A(1,4)在雙曲線兩支之間，由雙曲線定義，|PF|－|PF′|＝2a＝4，而|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝4＋5＝9.當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．三、解答題9．求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)；(2)過(guò)M(1,1)，N(－2,5)兩點(diǎn)．解(1)解法一：由條件可知焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝16＋4＝20，,\f(18,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝8，))∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.解法二：設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16)，則eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.(2)∵雙曲線的焦點(diǎn)位置不定，∴設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)．∵點(diǎn)M(1,1)，N(－2,5)在雙曲線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝1，,4m＋25n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(8,7)，,n＝－\f(1,7)，))∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(7,8))－eq\f(y2,7)＝1.10．如圖所示，若F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；(2)若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1||PF2|＝32，試求△F1PF2的面積．解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.(1)由雙曲線的定義得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，假設(shè)點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于x，則|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10或22.(2)將||PF2|－|PF1||＝2a＝6，兩邊