2025年山東省日照市嵐山區(qū)中考一模數(shù)學試題（原卷版+解析版）

2025年初中學業(yè)水平調研檢測數(shù)學試題注意事項：1．本試題分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共6頁．滿分120分．考試時間為120分鐘．2．答卷前務必將自己的姓名、考號等信息填寫在答題卡規(guī)定位置上．考試結束，本試卷和答題卡一并收回．3．第Ⅰ卷每小題選出答案后，必須用2B鉛筆把答題卡上對應題號的答案標號涂黑．如需改動，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其他答案．不涂在答題卡上，答在試卷上無效．4．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案須寫在答題卡各題目指定的區(qū)域內，在試卷上答題不得分；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案．第Ⅰ卷（選擇題30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）A B. C. D.2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.3.隨著鄉(xiāng)村全面振興的全面推進，我國農(nóng)業(yè)強國建設不斷取得新成績，據(jù)悉，2024年我國糧食總產(chǎn)量70650萬噸，比上年增長．將70650萬用科學記數(shù)法表示應為（）A. B. C. D.4.下列常見的幾何體中，主視圖和左視圖不同的是（）A. B.C D.5.下列運算正確的是（）A. B.C. D.6.如圖，已知銳角，按下列要求作圖：①在射線上取一點C，以點O為圓心，長為半徑作，交射線于點D，連接；②分別以點C，D為圓心，長為半徑作弧，交于點M，N；③連接．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結論中不成立的是（）A. B.C. D.若，則7.將3枚黑棋子2枚白棋子裝入一個不透明的空盒子里，這些棋子除顏色外無其他差別，從盒子中隨機取出一枚棋子后不放回，再從盒子中隨機抽出一枚棋子，則兩次取出的棋子都是黑棋子的概率是（）A. B. C. D.8.如圖，已知直線交⊙O于A，B兩點，是的直徑，作的角平分線交于點D，過D作，垂足為E，且，，則的長等于（）A.4 B.6 C. D.9.若關于x的一元二次方程兩根為，，且與同號，則m可能的值為（）A. B. C.0 D.110.如圖①，在中，是對角線，動點P從點A出發(fā)，沿折線勻速運動至點D停止．若點P的運動速度為，設點P的運動時間為x（），的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖②所示．當恰好平分時，的長為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請將答案直接寫在答題卡相應位置上）11.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．12.到x軸的距離是______．13.等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為________．14.如圖，已知正六邊形的邊長為2，以點E為圓心，長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為________．15.如圖，在正方形中，點上一點，．連接，過點作，垂足為，連接，過點作，交于點，則___________．16.一個各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)，若滿足，則稱這個四位數(shù)為“成雙數(shù)”．對于“成雙數(shù)”M，任意去掉一個數(shù)位上的數(shù)字，得到四個三位數(shù)，這四個三位數(shù)的和記為．例如“成雙數(shù)”3412，．若“成雙數(shù)”M千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和為7，且能被3整除，則滿足條件的“成雙數(shù)”中的最大數(shù)為______．三、解答題（本大題共7小題，滿分72分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）解不等式組．（2）先化簡，再從，0，1，2中選取一個適合的數(shù)代入求值．18.每年的4月24日是中國航天日，某市計劃在今年4月份開展中學生航模比賽，比賽組織方需要購買一批A，B兩種型號的動力部件，購買記錄如下表：A型號（件）B型號（件）合計金額（元）第一次3020720第二次2015510（1）分別求A，B兩種型號動力部件的單價；（2）若組織方計劃再次購買A，B兩種型號的動力部件共30件，恰逢A型號動力部件7.5折促銷，B型號動力部件單價不變，若計劃購買金額不超過400元，則最多可購買B型號動力部件多少件？19.學生視力健康問題引起社會廣泛關注．某學習小組為了解本校七年級學生視力情況，開展了一次調查研究．七年級學生右眼視力情況頻率分布表右眼視力頻率m合計1（1）小組計劃從本校七年級抽取50名同學的視力情況作為樣本，下面的抽樣調查方式合理的是；（只填序號）①抽取七年級一班50名同學視力情況作為樣本；②抽取喜歡跑步的50名同學視力情況作為樣本；③隨機抽取50名同學視力情況作為樣本．（2）小組采用合理的調查方式獲得該年級50名同學的視力情況，并數(shù)據(jù)整理如上，根據(jù)以上圖表信息，解答下列問題：①頻率分布表中的；②請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（畫圖后請標注相應數(shù)據(jù)）（3）視力范圍在“”的數(shù)據(jù)為：，，，，，，，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；（4）若該校七年級共有800名學生，請你估計視力范圍在“”的學生人數(shù)．20.如圖1，在平面直角坐標系中，點B，D是直線上第一象限內的兩個動點，點B，D的橫坐標分別為m，n（），以線段為對角線作矩形，軸．（1）求證：四邊形正方形；（2）如圖2，若反比例函數(shù)的圖象過點A．以點O為圓心，長為半徑作．①（用含m，n的代數(shù)式表示）；②若，當與相切時，求k的值．21.綜合與實踐：數(shù)學興趣小組的同學結合光的折射規(guī)律進行了如下綜合性學習．【實驗操作】將一束光線從游泳池邊點A處發(fā)出，經(jīng)水面點C折射到池底B處．【測量數(shù)據(jù)】點A，D，E在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平面內，是法線，點N在上．記入射角為，折射角為．測得點A到水面的距離，水深，入射角．【問題解決】根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求的長；（2）小組的同學發(fā)現(xiàn)，根據(jù)光的折射物理學知識可知．從而可求得．①由上可在中推理求得；②求B，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）22.如圖1，在中，，．將線段繞點C順時針旋轉得到線段，過點D作，垂足為E，平分線與交于點F，與的延長線相交于點P，連接．（1）的度數(shù)是（用含的代數(shù)式表示）；（2）猜想與的數(shù)量關系，并加以證明；（3）如圖2，將沿折疊，在變化過程中，當點C恰好落在點E的位置時，連接．若，求長．23.如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線過B、C兩點．（1）分別求b、t的值；（2）如圖2，將直線向左平移若干單位，使之恰好過點A，分別取點A左側直線部分和點A右側拋物線部分（實線所示），記為圖象G，點，均在圖象G上．①若平面內一點P，滿足線段軸，（P在D的右側），當線段與圖象G有兩個交點時，求a取值范圍；②D，E之間（含D，E兩點）的圖象所對應函數(shù)的最大值與最小值均不隨a的變化而變化，直接寫出a的取值范圍．

2025年初中學業(yè)水平調研檢測數(shù)學試題注意事項：1．本試題分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共6頁．滿分120分．考試時間為120分鐘．2．答卷前務必將自己的姓名、考號等信息填寫在答題卡規(guī)定位置上．考試結束，本試卷和答題卡一并收回．3．第Ⅰ卷每小題選出答案后，必須用2B鉛筆把答題卡上對應題號的答案標號涂黑．如需改動，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其他答案．不涂在答題卡上，答在試卷上無效．4．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案須寫在答題卡各題目指定的區(qū)域內，在試卷上答題不得分；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案．第Ⅰ卷（選擇題30分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查無理數(shù)的識別．熟練掌握無理數(shù)的定義是解題關鍵．無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，分數(shù)，整數(shù)屬于有理數(shù)．利用無理數(shù)的定義逐個分析判斷即可．【詳解】A、是有理數(shù)，不合題意；B、是有理數(shù)，不合題意；C、，是有理數(shù)，不合題意；D、是無理數(shù)，符合題意．故選：D．2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的識別；一個圖形繞著某固定點旋轉后能夠與原來的圖形重合，則稱這個圖形是中心對稱圖形，這個固定點叫做對稱中心；如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠重合，則稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；根據(jù)這兩個概念判斷即可．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故該選項符合題意；B．不軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；C．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意；故選：A．3.隨著鄉(xiāng)村全面振興的全面推進，我國農(nóng)業(yè)強國建設不斷取得新成績，據(jù)悉，2024年我國糧食總產(chǎn)量70650萬噸，比上年增長．將70650萬用科學記數(shù)法表示應為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，正確確定的值以及的值是解決問題的關鍵．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于或等于時，是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于時，是負整數(shù)．【詳解】解：70650萬．故選：C．4.下列常見的幾何體中，主視圖和左視圖不同的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了簡單幾何體三視圖．分別分析四種幾何體的主視圖和左視圖，找出主視圖和左視圖不同的幾何體．【詳解】解：A、圓臺的主視圖和左視圖都是梯形，本選項不符合題意；B、圓柱的主視圖是長方形，左視圖是圓，本選項符合題意；C、圓錐的主視圖與左視圖相同，都是等腰三角形，本選項不符合題意；D、球的主視圖和左視圖相同，都是圓，本選項不符合題意．故選：B．5.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是合并同類項，同底數(shù)冪的乘法與除法，冪的乘方與積的乘方，根據(jù)合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法與除法法則，冪的乘方與積的乘方法則對各選項進行逐一計算即可．【詳解】解：A、和不是同類項，不能合并，故此選項不合題意；B、，故此選項符合題意；C、，故此選項不合題意；D、，故此選項不符合題意．故選：B．6.如圖，已知銳角，按下列要求作圖：①在射線上取一點C，以點O為圓心，長為半徑作，交射線于點D，連接；②分別以點C，D為圓心，長為半徑作弧，交于點M，N；③連接．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結論中不成立的是（）A. B.C. D.若，則【答案】C【解析】【分析】本題考查圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，平行線的判定，由圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，平行線的判定，即可解決問題．【詳解】解：如圖，A、連接，，∴，故A不符合題意；B、連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故B不符合題意；C、連接，由作圖得，∴，∴，∴，∴不一定等于，故C符合題意．D、由，∴，∵，∴，故D不符合題意；故選：C．7.將3枚黑棋子2枚白棋子裝入一個不透明的空盒子里，這些棋子除顏色外無其他差別，從盒子中隨機取出一枚棋子后不放回，再從盒子中隨機抽出一枚棋子，則兩次取出的棋子都是黑棋子的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查等可能事件的概率，熟練畫出樹狀圖，展示所有等可能的結果，是解題的關鍵．根據(jù)題意，畫出樹狀圖，展示所有等可能的結果，再利用概率公式，即可求解．【詳解】解：畫樹狀圖如下：一共有20種等可能的結果，兩次摸出的恰好都是黑棋子有6種，∴兩次摸出的恰好都是黑棋子的概率，故選：A．8.如圖，已知直線交⊙O于A，B兩點，是的直徑，作的角平分線交于點D，過D作，垂足為E，且，，則的長等于（）A.4 B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊對等角，矩形的判定與性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先由以及角平分線的定義得，則，故，證明四邊形是矩形，根據(jù)，得出，最后根據(jù)勾股定理列式計算，即可作答．【詳解】解：過點O作，連接，如圖所示：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴∴，∵，∴，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，在中，，即，解得，∴，故選：D．9.若關于x的一元二次方程兩根為，，且與同號，則m可能的值為（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，根的判別式，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，進而結合已知條件求出，再結合一元二次方程的判別式，即可解答．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程兩根為、，∴，∵與同號，∴，∴，∴，當時，原方程為，則，方程無解，不符合題意；當時，原方程為，則，方程有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；∴可能的值為，故選：B．10.如圖①，在中，是對角線，動點P從點A出發(fā)，沿折線勻速運動至點D停止．若點P的運動速度為，設點P的運動時間為x（），的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖②所示．當恰好平分時，的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了動點函數(shù)圖象間關系，平行四邊形的性質，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，過點A作于點H，過點P作于點G，連接，由圖象可得，，利用三角形等面積法求出，解直角三角形求出，求出，進而求出，解直角三角形求出，進而求出，由角平分線的定義得到，設，則，求出，利用勾股定理建立方程求出的值，進而得到，即可求解．【詳解】解：過點A作于點H，過點P作于點G，連接，當點P在上運動時，的面積為定值，由圖象可得點P運動到點B時，運動時間為，的面積為，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵恰好平分，∴，設，則，∴，∵∴，即，解得：或（舍去）∴，∴．故選：C．第Ⅱ卷（非選擇題90分）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請將答案直接寫在答題卡相應位置上）11.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．【答案】且##且【解析】【分析】本題主要考查了函數(shù)的自變量的取值范圍及分式有意義的條件，根據(jù)分式的分母不為零和二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)，即可確定自變量的取值范圍，即可求解．【詳解】解：函數(shù)中，且，解得：且，故答案為：且．12.到x軸的距離是______．【答案】4【解析】【分析】本題考查點到坐標軸的距離．根據(jù)點到x軸的距離為縱坐標的絕對值，求解即可．【詳解】解：到x軸的距離是，故答案為：4．13.等腰三角形兩邊長分別為6和2，則第三邊長為________．【答案】6【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形三邊關系，熟練掌握分類討論思想是解題的關鍵．分兩種情況討論：當6為一腰長時；當2為一腰長時；分別求出第三條邊長，并根據(jù)三角形三邊關系判斷是否能構成三角形，即可得出答案．【詳解】解：當6為一腰長時，則另一腰長為6，底邊長為2，，能構成三角形，第三邊長為6；當2為一腰長時，則另一腰長為2，底邊長為6，，不能構成三角形，舍去；綜上，第三邊長為6，故答案為：6．14.如圖，已知正六邊形的邊長為2，以點E為圓心，長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了正多形的內角和和內角以及弧長公式，根據(jù)六邊形是正六邊形，根據(jù)正多邊內角和等于，求出內角，再根據(jù)弧長公式即可得出答案．【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴，∴，故答案為：．15.如圖，在正方形中，點是上一點，．連接，過點作，垂足為，連接，過點作，交于點，則___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解體的關鍵．先求出，得出，再由，得出，再根據(jù)，得出．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，∴，即，∵，，∴，∴，故答案為：．16.一個各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)，若滿足，則稱這個四位數(shù)為“成雙數(shù)”．對于“成雙數(shù)”M，任意去掉一個數(shù)位上的數(shù)字，得到四個三位數(shù)，這四個三位數(shù)的和記為．例如“成雙數(shù)”3412，．若“成雙數(shù)”M千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和為7，且能被3整除，則滿足條件的“成雙數(shù)”中的最大數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的新定義問題，整式加減的應用，二元一次方程的應用，正確理解新定義是解題的關鍵．根據(jù)題意表示出各個數(shù)位上的數(shù)，求出，根據(jù)能被3整除，進而分類討論即可．【詳解】解：根據(jù)題意：M千位上的數(shù)字為a，百位上的數(shù)字為b，十位上的數(shù)字為，個位上的數(shù)字為，則，∴，∵能被3整除，∴是整數(shù)，∵，∴是27的倍數(shù)，∵，∴，∴，∴，當時，（不能同時為整數(shù)，舍去，不符合題意）；當時，，解得：，則，；當時，，解得：，則，；當時，，解得：（舍去）或（舍去）；∵，∴滿足條件的“成雙數(shù)”中的最大數(shù)為故答案為：．三、解答題（本大題共7小題，滿分72分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）解不等式組．（2）先化簡，再從，0，1，2中選取一個適合的數(shù)代入求值．【答案】（1）；（2），當時，原式，當時，原式．【解析】【分析】本題考查的是分式的化簡求值和解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集和掌握分式的混合運算順序與運算法則是解答此題的關鍵．（1）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．（2）先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再選取使分式有意義的a的值代入計算即可．【詳解】解：（1），由①得；由②得；∴不等式組的解集為；（2），由題意得：且，當時，原式，當時，原式．18.每年的4月24日是中國航天日，某市計劃在今年4月份開展中學生航模比賽，比賽組織方需要購買一批A，B兩種型號的動力部件，購買記錄如下表：A型號（件）B型號（件）合計金額（元）第一次3020720第二次2015510（1）分別求A，B兩種型號動力部件的單價；（2）若組織方計劃再次購買A，B兩種型號的動力部件共30件，恰逢A型號動力部件7.5折促銷，B型號動力部件單價不變，若計劃購買金額不超過400元，則最多可購買B型號動力部件多少件？【答案】（1）A，B兩種型號動力部件的單價分別為12元、18元．（2）最多可購買B型號動力部件件．【解析】【分析】本題考查的是二元一次方程組的應用；一元一次不等式的應用；（1）設A，B兩種型號動力部件的單價分別為x元、y元．根據(jù)表格信息建立方程組即可；（2）設購買B型號動力部件m件，則購買A型號動力部件件，由計劃購買金額不超過400元，列出一元一次不等式求解，結合為正整數(shù)，即可解答．【小問1詳解】解：設A，B兩種型號動力部件的單價分別為x元、y元．則解得答：A，B兩種型號動力部件的單價分別為12元、18元．【小問2詳解】解：設購買B型號動力部件m件，則購買A型號動力部件件，根據(jù)題意：，解得：，∵為正整數(shù)，∴最多可購買B型號動力部件件．19.學生視力健康問題引起社會廣泛關注．某學習小組為了解本校七年級學生視力情況，開展了一次調查研究．七年級學生右眼視力情況頻率分布表右眼視力頻率m合計1（1）小組計劃從本校七年級抽取50名同學的視力情況作為樣本，下面的抽樣調查方式合理的是；（只填序號）①抽取七年級一班50名同學視力情況作為樣本；②抽取喜歡跑步的50名同學視力情況作為樣本；③隨機抽取50名同學視力情況作為樣本．（2）小組采用合理的調查方式獲得該年級50名同學的視力情況，并數(shù)據(jù)整理如上，根據(jù)以上圖表信息，解答下列問題：①頻率分布表中的；②請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（畫圖后請標注相應數(shù)據(jù)）（3）視力范圍在“”的數(shù)據(jù)為：，，，，，，，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；（4）若該校七年級共有800名學生，請你估計視力范圍在“”的學生人數(shù)．【答案】（1）③（2）①；②見解析（3）（4）112人【解析】【分析】（1）根據(jù)樣本選取的標準進行解答即可；（2）①用1減去其他項的頻率，求出m的值即可；②先求出的頻數(shù)，然后補全條形統(tǒng)計圖即可；（3）根據(jù)中位線的定義進行求解即可；（4）用樣本估計總體即可．【小問1詳解】解：因為樣本應該具有代表性，所以隨機抽取50名同學視力情況作為樣本是比較合理．【小問2詳解】解：①頻率分布表中的；②的頻數(shù)為：，補全條形統(tǒng)計圖，如圖所示：【小問3詳解】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大進行排序為：，，，，，，，排在中間位置的數(shù)為，所以中位數(shù)為．【小問4詳解】解：（人），答：視力范圍在“”的學生人數(shù)為112人．【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，頻數(shù)分布表，用樣本估計總體，求中位線，熟練掌握樣本的特點，相關的定義，是解題的關鍵．20.如圖1，在平面直角坐標系中，點B，D是直線上第一象限內的兩個動點，點B，D的橫坐標分別為m，n（），以線段為對角線作矩形，軸．（1）求證：四邊形是正方形；（2）如圖2，若反比例函數(shù)的圖象過點A．以點O為圓心，長為半徑作．①（用含m，n的代數(shù)式表示）；②若，當與相切時，求k的值．【答案】（1）見解析（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，由矩形的性質結合軸，求出，再求出，即可證明；（2）①由（1）得，即可求出k的值；②根據(jù)題意，設中點為，則，根據(jù)，可得當與相切時，切點為T，則，求出，求出，建立方程求出，即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形是矩形，且軸，∴軸，∵點B，D是直線上，點B，D的橫坐標分別為m，n（），∴，∴，∴，∴矩形是正方形；【小問2詳解】解：①由（1）得，∵反比例函數(shù)的圖象過點A，∴，∴；②根據(jù)題意，設中點為，則，∵，∴當與相切時，切點為T，則，∴，∵，∴，整理得：，解得：，∴．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)與幾何的綜合，一次函數(shù)，切線的性質、正方形的判定與性質、勾股定理，掌握切線的判定定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．21.綜合與實踐：數(shù)學興趣小組的同學結合光的折射規(guī)律進行了如下綜合性學習．【實驗操作】將一束光線從游泳池邊點A處發(fā)出，經(jīng)水面點C折射到池底B處．【測量數(shù)據(jù)】點A，D，E在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平面內，是法線，點N在上．記入射角為，折射角為．測得點A到水面的距離，水深，入射角．【問題解決】根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求的長；（2）小組的同學發(fā)現(xiàn)，根據(jù)光的折射物理學知識可知．從而可求得．①由上可在中推理求得；②求B，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）（2）①；②B，E之間的距離為【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定與性質：（1）利用正切的定義即可求解；（2）①根據(jù)，求出，由題意可得，利用勾股定理求出，再利用正切的定義即可解答；②由①知，四邊形是矩形，由（1）知，推出，由即可求解．小問1詳解】解：由題意可得，則，∴，∵，∴；【小問2詳解】解：①∵在中，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴∴，∴，∴；②由①知，四邊形是矩形，由（1）知，∴，∴，答：B，E之間的距離為．22.如圖1，在中，，．將線段繞點C順時針旋轉得到線段，過點D作，垂足為E，的平分線與交于點F，與的延長線相交于點P，連接．（1）的度數(shù)是（用含的代數(shù)式表示）；（2）猜想與的數(shù)量關系，并加以證明；（3）如圖2，將沿折疊，在變化過程中，當點C恰好落在點E的位置時，連接．若，求長．【答案】