高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)資料

高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)資料全套

一、集合與常用邏輯用語(理科數(shù)學(xué))

1.集合

(1)集合的運(yùn)算性質(zhì)：①②NC5=505=4；③力=5=[匕/

(2)子集、真子集個(gè)數(shù)計(jì)算公式：

對于含有"個(gè)元素的有限集合其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2"，2"—1,2"

-1,2"-2.

(3)數(shù)軸和Venn圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體計(jì)算時(shí)不要忘記集合本身和空集這兩種特殊

情況.補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題.

2.四種命題及其相互關(guān)系

(1)

(2)互為逆否命題的兩命題同真同假.

3.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假

(1)命題若p、q中至少有一個(gè)為真，則命題為真命題，簡記為：一真則真.

(2)命題pAq：若p、夕中至少有一個(gè)為假，則命題為假命題，p、g同為真時(shí)，命題才為真命題，簡記為：

一假則假，同真則真.

(3)命題^P與命題P真假相反.

4.全稱命題、特稱命題及其否定

⑴全稱命題p：VxGM,p(x),其否定為特稱命題^p：3x0G;W,^p(xo).

⑵特稱命題p：HxoSAf,p(x0),其否定為全稱命題i^p：VxG",㈱p(x).

5.充分條件和必要條件

⑴若p=q且q#p,則p是g的充分不必要條件；

(2)若p》q且q=p,則稱p是q的必要不充分條件；

(3)若pOg,則稱p是g的充要條件；

(4)若p#g且#>p,則稱p是夕的既不充分也不必要條件.

I易錯(cuò)提醒____________________________

1.描述法表示集合時(shí)，一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素.如：｛x[p=lgx｝——函數(shù)的定義

域；｛j4r=lgx｝-----函數(shù)的值域；｛(x,y)|y=lgx｝-------函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.

2.易混淆0,。，｛0｝：0是一個(gè)實(shí)數(shù)；。是一個(gè)集合，它含有0個(gè)元素；｛0｝是以0為元素的單元素集合，但

是0陣0,而?！辏?｝.

3.集合的元素具有確定性、無序性和互異性，在解決有關(guān)集合的問題時(shí)，尤其要注意元素的互異性.

4.空集是任何集合的子集.由條件N￡5,AC\B=A,ZU5=3求解集合N時(shí)，務(wù)必分析研究4=。的情況.

5.區(qū)分命題的否定與否命題，已知命題為''若p,則夕”，則該命題的否定為“若p,則^夕”，其否命題為

“若㈱P，則睇g”.

6.在對全稱命題和特稱命題進(jìn)行否定時(shí)，不要忽視對量詞的改變.

7.對充分、必要條件問題，首先要弄清誰是條件，誰是結(jié)論.

I回歸訓(xùn)練__________________________________

1.已知集合/={1,3,洞,B={\,nt},AUB=A,則/”等于（）

A.0或小B.0或3C.1或小D.1或3

答案B

解析：AUB=A,：.B^A,

3,yfiti},

'.m—1或/H=3或

由集合中元素的互異性易知/?—0或,"=3.

2.設(shè)集合N={x|la<2},B={x\x<a},若NU8,則“的取值范圍是（）

A.{a|a^2}B.{a|aWl}C.{a|a》l}D.{a|aW2}

答案A

解析若NU3,則a22,故選A.

3.已知集合"={x|-3aW5},N={4r<-5或x>5},則WUN等于（）

A.{x|-3<r<5}B.{x|-5<v<5}

C.{x|x<—5或x>—3}D.{x|x<—3或x>5}

答案c

解析在數(shù)軸上表示集合M、N,則MUN={x[x<-5或x>-3},故選C.

-5-305

4.滿足條件{a}UZ￡{a,b,c}的所有集合力的個(gè)數(shù)是()

A.lB.2C.3D.4

答案D

解析滿足題意的集合N可以為{a},{*b},{a,c},{a,h,c},共4個(gè).

5.已知集合U=R(R是實(shí)數(shù)集)，N={x|-IWXWI},5={x|f_2/0},則NU&￡)等于()

o]B.[i,2]C,[o,1]D.(-8,1|U|2,+8)

答案D

解析J?={X|X2-2X<0}=(0,2),

NU(Cu5)=[—1,1]U(—8,0]U[2,+oo)=(—co,)]U[2,+8),故選D.

6.下列命題正確的是()

(1)命題“VxGR,2A>0w的否定是“mxoGR,2%<0"；

(2)/為直線，a,4為兩個(gè)不同的平面，若/_1_夕，al.p,貝(!/〃〃；

(3)給定命題p,心若"p/\夕為真命題”，則是假命題；

1jr

(4)?sina=|w是％=表的充分不必要條件.

A.⑴⑷B.(2)⑶C.(l)(3)D.⑶(4)

答案C

解析命題“VxGR,2、>0”的否定是“mx°GR,2%WO”;/為直線，a,Z?為兩個(gè)不同的平面，若I邛,

a邛,則/〃a或/Ua；給定命題p,4,若“p/\g為真命題”；則p且g是真命題，㈱〃且㈱夕是假命題；

“sina=；”是的必要不充分條件，因此(1)(3)為真，選C.

7.設(shè)命題p：3x#eR,使xj+2xo+a=O(aGR),則使得p為真命題的一^充分不必要條件是()

A.a>—2B.a<2C.〃<1D.a<0

答案D

解析設(shè)外)=/+入+*則p為真命題o/(x)在R內(nèi)有零點(diǎn)c/20OaWl.

8.已知命題p：在△/8C中，AB<BC,貝ljsinCvsin/；命題/已知“GR,則“a>l”是“!<1”的必

要不充分條件.在命題pAg,pVq,(^p)Vq,(睇p)八q中,真命題的個(gè)數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

答案A

解析由題意得，在△ZBC中，AB<BC,即c<a,由正弦定理可得sinC<sinA,所以p真，又已知a

GR,則是“卜1”的充分不必要條件，所以"假，只有pVq為真命題，故選A.

9.已知命題p：V/nG[o,1],x+^2'",則^?為()

A.V，"G[o,i],x+~<2m

B.3/M0e[o,1],X+!22"M

C.B/H0G(-O°,O)U(1,+8),x+92"?

D.3/n0e[o,1],x+[v2""

答案D

解析根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可知命題p：V/WG[o,1],x+122"',則為“m,”oG[o,1],

x+&2%”,故選D.

10.下列結(jié)論正確的是.

(1孫)=/7+2(g0,且aWl)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)(1,3)；

Q

(2)已知x=log23,4，=§,則x+2y的值為3；

(3)若火》)=*3+奴-6,且人-2)=6,則{2)=18；

(4"(x)=x(j與一J為偶函數(shù)；

(5)已知集合4={-1,1},8={x|,"x=l},且8G/,則，”的值為1或一1.

答案(1)(2)⑷

解析(1)當(dāng)x=l時(shí)，_/U)=J+2=l+2=3,則函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)(1,3),故(1)正確；

88888

(2)已知x=log23,4，=§,則22>=丞2y=log2§,則x+2j=k)g23+log2j=log2qX3)=k>g28=3,故Q)正確;

(3)若/仇)=/+依一6,且八一2)=6,貝U(-2)3-2“-6=6,即°=一10,則/(2)=23-2X10—6=—18,

故(3)錯(cuò)誤；

(4)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x#0},關(guān)于原點(diǎn)對稱，

[11+2*

/幻=*(]_2、-，)=x'2(l—2xy

l+2~x2x+ll+2x

則/(-x)=-x-2(1_2-^=-X.布五=x.nE=/(x)，

即有益)為偶函數(shù)，則/(x)=K占為偶函數(shù)，故(4)正確；

(5)已知集合4={-1,1},J?={X|/MX=1},且6U4,

當(dāng),”=0時(shí)，B=0,也滿足條件，故(5)錯(cuò)誤，故正確的是(1)(2)(4).

11.已知M是不等式空堞近0的解集且5陣M,則“的取值范圍是

答案(一8,-2)U[5,+°0)

解析若5GM,則;￡氏0,；.(a+2)5—5)W0且aW5,：.-2^a<5,二5由M時(shí)，0<一2或

12.若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)小b,c滿足％則稱a,力，c,是調(diào)和的；若滿足a+c=26,則稱

a,h,c是等差的.若集合尸中元素a,從c既是調(diào)和的，又是等差的，則稱集合戶為“好集”，若集合M

={x||x|W2014,xGZ},集合P={a,b,c}UM,貝U(l)“好集"尸中的元素最大值為;(2)“好集”

P的個(gè)數(shù)為.

答案20121006

112

解析因?yàn)閍=-2b,c=4b,若集合尸中元素%b、c既是調(diào)和的，又是等差的，貝哈+戶(且。+。=2瓦

故滿足條件的“好集”為形如{一2仇h,4〃}(〃#0)的形式，則一2014/4〃42014,解得一503464503,

且P中元素的最大值為48=4X503=2012.符合條件的b值可取1006個(gè)，故“好集”P的個(gè)數(shù)為1

006.

13.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足f—4O￥+3Q2<0,其中”V0；命題飲實(shí)數(shù)x滿足f+2x—8>0,若夕是p的必要

不充分條件，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

答案(一8,-4]

解析由命題夕：實(shí)數(shù)x滿足f+2x-8>0,得x<—4或x>2,由命題p：實(shí)數(shù)x滿足f—4ar+3JvO,其

中?<0,得(x—3a)(x—a)v0,V^<0,,\3a<x<a,

■:q是P的必要不充分條件，

4,，?！?一8,—4j.

14.已知命題p：^~~2~〈1'命題]：X2—2x+1—/H2<0(/H>0),若"是夕的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)〃1

的取值范圍是.

答案(2,+oo)

解析V—；.p：—1WXW3；

Vx2—2x+1—/H2<0(/H>0)<=>|x—(1—/?)]|x—(1+m)l<04*1—m<x<l+m,:.q：1—??<x<l+m.

,；p是q的充分不必要條件，.,.[-1,3]是(1-"?,1+,”)的真子集，

1—m<—1,

l+?z>3,

解得m＞2.

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)的定義域和值域

(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法

①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；

②若已知於)的定義域?yàn)棰呛危?)/卜(初的定義域?yàn)椴坏仁絘Wg(x)WZ＞的解集；反之，已知/以(切的定義

域?yàn)閇a,句，則外)的定義域?yàn)楹瘮?shù)j，=g(x)(xG[a,何)的值域；

③在實(shí)際問題中應(yīng)使實(shí)際問題有意義.

(2)常見函數(shù)的值域

①一次函數(shù))，=履+以〃。0)的值域?yàn)镽；

②二次函數(shù)U二仆之+以+儀〃#：。)：。＞0時(shí)，值域?yàn)?五一,+8〉q〈0時(shí)，值域?yàn)?一8,———；

③反比例函數(shù)y=((AWO)的值域?yàn)閃GR[prO}.

2.函數(shù)的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)，都有/(一x)=

一府)成立，則外)為奇函數(shù)(都有/(一尤)=/(x)成立，則兀0為偶函數(shù)).

(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對于函數(shù)兒回，如果對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x的值:

若/3+7)=/(尤)(7。0),則於)是周期函數(shù)，7是它的一個(gè)周期.

3.關(guān)于函數(shù)周期性'對稱性的結(jié)論

(1)函數(shù)的周期性

①若函數(shù)府)滿足/(x+a)=/(x—a),則於)為周期函數(shù)，2〃是它的一個(gè)周期.

②設(shè)於)是R上的偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=a(aWO)對稱，則9)是周期函數(shù)，2〃是它的一個(gè)周期.

③設(shè)/(x)是R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=a(a#O)對稱，則府)是周期函數(shù)，4a是它的一個(gè)周期.

(2)函數(shù)圖象的對稱性

①若函數(shù)j=/(x)滿足大a+x)=/3—x),

即/W=A2a—X)，

則的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

②若函數(shù)J=/(K)滿足+2=--X),

即/(r)=-/(2a—x)，

則於)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4,0)對稱.

③若函數(shù)y=/(*)滿足/(a+x)=/3—x),

則函數(shù)於)的圖象關(guān)于直線*=皇對稱.

4.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域上的局部性質(zhì).

①單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)*”X2G|?,b\,

那么8-必)儀方)一/2)]>0=/8)-**)>00")在加上是增函數(shù)；

X\一X2

8—X2)師1)一/2)]<0=整三等<oo“v)在M，加上是減函數(shù).

②若函數(shù)於)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，_/(x)+g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)作)和g(x)都是增函數(shù),

則在公共定義域內(nèi)，/(x)+g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)y=/|g(x)]的單調(diào)性.

5.函數(shù)圖象的基本變換

⑴平移變換：

//>0,右移

^=尺)/荷曰=及一〃)’

尸/出：*力=/")+隊(duì)

(2)伸縮變換：

“、0<31,伸“、

產(chǎn)/出,石尸"困'

尸

(3)對稱變換：

y=Ax)-^y=-fix),

尸/)-^尸/(一*),

y=Ax)-^*丁=-/(-x).

6.準(zhǔn)確記憶指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)

⑴定點(diǎn)：y=ax(a>0,且。#1)恒過(0,1)點(diǎn)；

y=lo婚(”>0,且“W1)恒過(1,0)點(diǎn).

(2)單調(diào)性：當(dāng)。>1時(shí)，y=/在R上單調(diào)遞增；j=l0glx在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<?<1時(shí)，j=a、在R上單調(diào)遞減；)=10堂在(0,+8)上單調(diào)遞減.

7.函數(shù)與方程

(1)零點(diǎn)定義：X。為函數(shù)/(x)的零點(diǎn)3/(Xo)=00(Xo,0)為/(x)的圖象與無軸的交點(diǎn).

(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的三種常用方法

①解方程判定法：即解方程/(x)=0.

②零點(diǎn)定理法：根據(jù)連續(xù)函數(shù)j，=/(x)滿足/5成6)<0,判斷函數(shù)在區(qū)間(a,6)內(nèi)存在零點(diǎn).

③數(shù)形結(jié)合法：尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同時(shí)多用此法求解.

8.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1/(X))的幾何意義：曲線y=/(x)在點(diǎn)的，及0))處的切線的斜率，該切線的方程為7—/0)=/(x0)(x-

xo).

⑵切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線上；②在切線上.

9.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：①求函數(shù)/(x)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)，(x)；③由/'(x)>0的解集確

定函數(shù)加)的單調(diào)增區(qū)間，由，(x)〈0的解集確定函數(shù)外)的單調(diào)減區(qū)間.

⑵由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：①若可導(dǎo)函數(shù)/(x)在區(qū)間〃上單調(diào)遞增，則/'(x)》0(xGM)恒成

立；若可導(dǎo)函數(shù)府)在區(qū)間〃上單調(diào)遞減，則，(x)W0(xCM)恒成立；②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單

調(diào)遞增(減)區(qū)間，/(無)>0(或，(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；③若已知外)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/

中含有參數(shù)時(shí)，可先求出府)的單調(diào)區(qū)間，則/是其單調(diào)區(qū)間的子集.

10.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

(1)求函數(shù)的極值的一般步驟：①確定函數(shù)的定義域；②解方程/(x)=0；③判斷，(X)在方程，(2=0

的根X。兩側(cè)的符號變化：

若左正右負(fù)，則X。為極大值點(diǎn)；

若左負(fù)右正，則X。為極小值點(diǎn)；

若不變號，則xo不是極值點(diǎn).

⑵求函數(shù).")在區(qū)間［a,向上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)j=/(x)在(a,8)內(nèi)的極值；

②比較函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值人/、/(b)的大小，最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最

小值.

I易錯(cuò)提醒____________________________

1.解決函數(shù)問題時(shí)要注意函數(shù)的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則.

2.解決分段函數(shù)問題時(shí)，要注意與解析式對應(yīng)的自變量的取值范圍.

3.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“U”和“或”連接，可用“及”連接或用“，”隔

開.單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替.

4.判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，有時(shí)還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定

義域不受影響.

5.準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì).如函數(shù)y=/(a>0,aWl)的單調(diào)性忽視字母。的取值討論，忽

視。*>0;對數(shù)函數(shù)J=lo即x(a>0,。燈)忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件.

6.易混淆函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，不能把函數(shù)零點(diǎn)、方程的解、不等式解集的端點(diǎn)值進(jìn)行

準(zhǔn)確互化.

7.已知可導(dǎo)函數(shù)人幻在(a,Z0上單調(diào)遞增(減)，則，(x)》0(W0)對VxG(a,b)恒成立，不能漏掉“=”號，

且需驗(yàn)證“=”不能恒成立；而已知可導(dǎo)函數(shù)人外的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a,b),則，(x)>0(<0)的解集

為(a，b).

8./(2=0的解不一定是函數(shù)Ax)的極值點(diǎn).一定要檢驗(yàn)在x=xo的兩側(cè)，(X)的符號是否發(fā)生變化，若

變化，則為極值點(diǎn)；若不變化，則不是極值點(diǎn).

|回歸訓(xùn)練_______________________________

2x+2,xWO,

1.若函數(shù)外)=—則力3等于()

24,x>0,

A.-10B.10C.-2D.2

答案C

解析由/[/(i)]=/(2i_4)=/(_2)=2X(_2)+2=_2,故選C.

2.若函數(shù)/(k)=x)一據(jù)x+1在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(A—1,A+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)左的取值

范圍是()

3

A.|L+°°)B.[L

C.(1,2)D.2)

答案B

解析因?yàn)槲?的定義域?yàn)?0,+°°),y'=2x一七

由f(x)=0,得*=亍利用圖象可得，

IA—1<|<A+1,3

\2解得1WA《，故選B.

〔AT20,-

(3—G)X—3,x/7,

3,若函數(shù)/)=.6T單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

a，x>7

99

A?(不3)B,[不3)

C.(1,3)D.(2,3)

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)形)=jd-6x>7單調(diào)遞增，所以l<a<3且由人7)48)得，7(3-a)-3<a2,

得°<一9或心2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3),故選D.

4.函數(shù))一；；的圖象大致形狀是()

下:-

ABCD

答案A

V

解析尸L[2,、x,>x0<,0,

y=2'在(0,+8)上單調(diào)遞增，且y=2、>0,

排除B,D；

又y=-2?'在(-8,0)上單調(diào)遞減，排除C.

5.(2016?課標(biāo)全國甲)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10以的定義域和值域相同的是()

A.j=xB.j=lgxC.y=2'D.y=^j^

答案D

解析函數(shù)J，=io*'.的定義域?yàn)閧坤。0},值域?yàn)閣0>0},所以與其定義域和值域分別相同的函數(shù)為r=去,

故選D.

6.已知定義在R上的奇函數(shù)八丫)滿足{r+2)=一加)，且/(-1)=2,則/(2017)的值是()

A.2B.0C.-1D.-2

答案D

解析由題意得了(*+4)=—/+2)=/(幻，所以函數(shù)是以7=4的周期函數(shù)，所以"2017)=/(1)=-/(一1)

——2,故選D.

7.已知函數(shù)八x)=0'-logK，若X)是函數(shù)y=/(w)的零點(diǎn)，且OVxi<Xo,則月⑴的值()

A.恒為正值B.等于0

C.恒為負(fù)值D.不大于0

答案A

解析由題意知作)為(0,+8)上的減函數(shù)，

又Xl〈Xo，

?\Axi)>/(xo)=O,故選A-

8.設(shè)a=loga2,Z?=logs2,c=log23,貝！J()

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

答案D

解析易知log23>l,log32,log52e(0,l).在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=logjX與y=k)g5X的圖象,

觀察可知logQlogsZ.所以c>a>b.比較a,b的其他解法：10832>10歐\/5=：,logsZvlogsM^：,得a>b；

0<log23<log25,所以結(jié)合換底公式得Iog32>log52,即

9.若函數(shù)及)定義域?yàn)閇-2,2],則函數(shù)j=/(2x)-ln(x+l)的定義域?yàn)?

答案(一1,1]

一2W2xW2,

解析由題意可得|

[x+l>0,

即函數(shù)y=/(2x)-ln(x+l)的定義域?yàn)?-1,1].

10.(2016?天津)已知函數(shù)/(x)=(2x+l)e、，f(x)為外)的導(dǎo)函數(shù)，則/(0)的值為.

答案3

解析因?yàn)?(x)=(2x+1)e*,

所以，(x)=2e*+(2x+l)e*=(2x+3)e*,

所以，(0)=3e°=3.

11.設(shè)奇函數(shù)y=/(x)(xGR),滿足對任意fGR都有大。=/(1一。，且xG[O,3時(shí)兀0=-*2,則大3)+/(一

|)的值等于.

答案一；

解析由于j=/(x)為奇函數(shù)，根據(jù)對任意/GR都有/⑺

可得八一。=/(1+/)，

所以函數(shù)y=/(x)的一個(gè)周期為2,

故人3)=/(1)=/(0+1)=-/(0)=0,

3)=#)=-；，

31

?\A3)+/(_5)=_不

12.函數(shù)在工=1處有極小值io,則〃+力的值為.

答案一7

2

解析?:f(x)=3x+2ax+b9

上己―(1)=3+2Q+5=0，

由已知可得<,

/(1)=1+〃+6+〃2=10,

解得4=4,〃=—11或a=—3,b=3,

經(jīng)驗(yàn)證，。=4,8=—11符合題意，

故"+〃=—7?

丫+1

13.已知函數(shù)於)=『(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)_Ax)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)0(x)=M；x)+斤(*)+/，存在實(shí)數(shù)X”x2G[0,1],使得2MX1)<0(X2)成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

解(1;?函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(x)=一5,

二當(dāng)x<0時(shí)，/(x)>0,當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<0,

...人幻在(-8,0)上單調(diào)遞增，

在(0,+8)上單調(diào)遞減.

(2)存在X1,X2G[O,I],使得20(*1)<9(*2)成立，

則2[^W]min<[^W]max.

,.,?x2+(l_/)x+l

?(p(x)=xf(x)+tf(x)+e-=,

?,<、.(x-f)(x-l)

?*(P(x)-a*——-

①當(dāng)必1時(shí)，/(x)WO,奴x)在［0,1］上單調(diào)遞減,

.?.29>(1)<^(0),即/>3一11；

②當(dāng)fWO時(shí),“(2>0,Mx)在［0,1］上單調(diào)遞增，

.,.29(0)3(1),SPZ<3-2c<0；

③當(dāng)Oqvl時(shí)，若XW|O,t),“(x)<0,p(x)在［0,。上單調(diào)遞減，

若“(x)>0,9(x)在《,1)上單調(diào)遞增，

/.2^(0<max{^(0),

Du，+13—/

即2—<max{l,—}.(*)

由⑴知，g?)=2?平■在［o,i］上單調(diào)遞減，

故*2?號<2,而*TV,

二不等式(*)無解.

綜上所述，存在fG(-8,3-2e)U(3-f,+°°),使得命題成立.

三、三角函數(shù)、平面向量

1.準(zhǔn)確記憶六組誘導(dǎo)公式

對于埠a,AGZ”的三角函數(shù)值，與?角的三角函數(shù)值的關(guān)系可按口訣記憶：奇變偶不變，符號看象

限.

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2a+cos2a=l,tan“=①々cosa#0).

coscc7

3,兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(l)§in((z3)=sinacos夕土cos以sin(L

(2)cos(a±y?)=cosacos伊sinasin夕.

tana±tan0

=

(3)tan(ai/0ITtanatan/?,

(4)〃sina+AcosQ=^/^TP§in(Q+e)(其中tan9=［).

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa.

(2)cos2a=cos2a-7sina=2cos2a_1=1—2sin2a.

-、_2tana

(3)tan2a=~~~i~.

''1-tana

5.三種三角函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)j=sinxp=co§xy=tanx

圖象A冢J

在［―］+24兀，^+2kn］(kg

在［―兀+2履，2kn.］(kSZ)在(-/+AK,J+

單調(diào)性Z)上單調(diào)遞增;在應(yīng)+2A7T有上單調(diào)遞增；在［2玩，7T

AJT)(AGZ)上單調(diào)遞

沅］上單調(diào)遞減

+2(RGZ)增

+2AR(AGZ)上單調(diào)遞減

對稱中心：C+ATT,0)(*

對稱中心：(；對號,

An,())(AGZ)對稱中心:0)(*

對稱性

稱軸：x=^+kn(AGZ)GZ)；對稱軸：x=kn(k

GZ)

GZ)

6.函數(shù)j，=Zsin?x+9)?>0,4>0)的圖象

(1)“五點(diǎn)法”作圖：

設(shè)2="*+如令z=0,p兀，y,In,求出相應(yīng)的x的值與j的值，描點(diǎn)、連線可得.

(2)由三角函數(shù)的圖象確定解析式時(shí)，一般利用五點(diǎn)中的零點(diǎn)或最值點(diǎn)作為解題突破口.

(3)圖象變換:

向左3>o)或向右3<0)

y=sinx平移勿個(gè)單位*y=sin(x+e)

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼奶?gt;0)倍

---------------卬-----^y=sin(cox+(o)

縱坐標(biāo)不變了'邛'

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?4>0)倍

*^=Jsin(ryx+^).

橫坐標(biāo)不變

7.正弦定理及其變形

看=癮=.=2/?(2尺為△NSC外接圓的直徑).

變形：a=2Rs\nA,h=2Rs\nB9c=2Rs\nC.

?/a.b.cc

sm力=赤，smB=礪，sinC=赤.

a：b：c=sin4：sin6：sinC.

8,余弦定理及其推論、變形

a1=b2+c2—IbccosA,ft2=fl2+c2—laccosB,c2=a2+b2—labcosC.

22-2222222

田、人/>+caa+c-ba+/>—c

推論：cos^=~痂—,cos5=-玄—,cosC=—赤一".

222222222

變形：b-^c—a=IbccosA,a+c—b=2accosB9a+b—c=labcosC.

9.面積公式

S^ABC=~jb^\nA=^acs\n8=prbsinC.

10.解三角形

(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解.

(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一.

(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解.

(4)已知三邊，利用余弦定理求解.

11.平面向量的數(shù)量積

⑴若“，6為非零向量，夾角為仇則”協(xié)=同例cos，.

(2)設(shè)“=(x”J。，6=(X2，㈤，貝！1。4=XM2+yij2?

12.兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件

若。=(*1，Jl)>b=(X2,J2)，貝U

m(3W0)QXU，2—x*i=0.

(2)a_L8C<rb=0。乂陽+yg=0.

13.利用數(shù)量積求長度

(1)若a=(x,y),則同=迎^=,*2+了.

(2)若N(x”弘)，5(x2，)2)，則

\AB\=7(X2-X1)2+&2171)2.

14.利用數(shù)量積求夾角

若。=(x”J1),6=(X2，力)，。為a與b的夾角,貝!jcos0=部|=耳煞;"臂+.中

15.三角形“四心”向量形式的充要條件

設(shè)。為△Z5C所在平面上一點(diǎn)，角4,B,C所對的邊長分別為a,b,c,則

⑴。為△N8C的外心屈|=|油|=］沆尸前》

(2)0為AABC的重心e蘇+油+注=0.

(3)。為△N5C的垂心"晶

(4)0為△NSC的內(nèi)心O”晶+6加+c擊=0.

I易錯(cuò)提醒____________________________

1.利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式求值時(shí)，不要忽視角的范圍，要先判斷函數(shù)值的符號.

2.在求三角函數(shù)的值域(或最值)時(shí)，不要忽略比的取值范圍.

3.求函數(shù)/(x)=/lsin(3x+o)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意4與3的符號，當(dāng)。<0時(shí)，需把的符號化為正值后

求解.

4.三角函數(shù)圖象變換中，注意由j=sinmx的圖象變換得y=sin?x+°)時(shí)，平移量為J,而不是夕.

5.在已知兩邊和其中一邊的對角時(shí)，要注意檢驗(yàn)解是否滿足“大邊對大角“，避免增解.

6.要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0,方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行.

7。6>0是Q,b)為銳角的必要不充分條件；

〃協(xié)<0是<a,b)為鈍角的必要不充分條件.

I回歸訓(xùn)練__________________________________

1.2sin45°cos15°—sin30。的值等于()

A.1B.乎C坐D.l

答案C

解析2sin45°cos15°—sin30°=2sin45°cos15°—sin(45°—15°)=2sin45°cos15°—(sin45°cos15°—cos

45°sin15°)=sin45°cos150+cos45°sin15°=sin60°=乎.故選C.

2.要得到函數(shù)j，=sin2x的圖象，可由函數(shù)j，=cos(2x-/)()

A.向左平移烹個(gè)單位長度得到

B.向右平移彥個(gè)單位長度得到

C.向左平移各個(gè)單位長度得到

D.向右平移:個(gè)單位長度得到

答案D

解析由于函數(shù)7=S皿2x=cos(j—2x)=cos(2x—=cos[2(x-yj)—j|,所以可由函數(shù)尸cos(2x—§向右

平移各個(gè)單位長度得到函數(shù)尸sin2x的圖象，

故選D.

3.在NVIBC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別是a,b,c.若《2=("一方)2+6,C=p則△N5C的面積是()

A.3B.乎C.乎D.3小

答案C

解析c2=(a—力『+6,即，=/+力2—2/必+6,①

VC=j,由余弦定理得/=/+戶一岫，②

由①和②得岫=6,

.?_1,.「3s

??S4ABe-2%加C—2X6X2一)，

故選C.

4.(1+tan18°)(1+tan27。)的值是()

A.巾B.1+V2C.2D.2(tan180+tan27°)

答案C

_,_.,tan180+tan27°

解析由題意得，tan(180+27°)=Ltanl80tan2k

??tan180+tan27°

即----------------=1

rl-tan18°tan27°

所以tan180+tan270=1-tan18°tan27°,

所以(1+tan18°)(l+tan27°)=1+tan180+tan270+tan18°tan27°=2,故選C.

5.設(shè)△N5C的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若加osC+ccos8=asinN,則△/BC的形狀為()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

答案B

解析,.,bcosC+ccosB=a^\nA,

sinBcosC+cos8sinC=sin2/1,

.*.sin(B+Q=sin2/l,/.sin/I=1,三角形為直角三角形.

6.已知4B,C是銳角△/5C的三個(gè)內(nèi)角，向量p=(sin/,1),q=(l,-cosB),則p與夕的夾角是()

A.銳角B.鈍角C.直角D.不確定

答案A

解析?.，/、B、C是銳角△NSC的三個(gè)內(nèi)角，二4+皮彳，即N片一8>0,；.sinN>sing-5)=(：0§8,

，P，4=sinZ-cos8>0.再根據(jù)p,夕的坐標(biāo)可得p,夕不共線，故,與g的夾角為銳角.

7./(x)=；sin(2x—鼻)+半cos(2x—§是()

A.最小正周期為27r的偶函數(shù)B.最小正周期為2兀的奇函數(shù)

C.最小正周期為rt的奇函數(shù)D.最小正周期為7T的偶函數(shù)

答案C

解析_/(x尸;sin(2x—*)+#cos(2xT)=sin(2xT+3=sin2x,是最小正周期為7r的奇函數(shù)，故選C.

8.已知a,6為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，且”=(1,2),回=：同，若a+26與2“一/)垂直，則。與〃的夾角

為()

A.OC號D.n

答案D

解析|〃|=；|。|=坐，而(。+2妙(2〃-5)=0=2〃2—2/2+3b?a=0=5?q=—會從而cos⑸〃〉=,.謁=一

1,〈瓦a)=n,故選D.

9.在△Z5C中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別是a,b,c有下列命題：

①若A>B>Cf則sinA>sinB>sinC;

②若F1=一1=一工一，則△43C為等邊二角形；

③若sin2/1=sinIB,則△/5C為等腰三角形；

④若(1+tan4)(1+tan5)=2,則△/5C為鈍角三角形；

⑤存在4B,C使得tanNtanBtanC<tan/+tan5+tanC成立.

其中正確的命題為.(寫出所有正確命題的序號).

答案①②④

解析若A>B>C9貝!]〃>〃>c=sin力,sinjB>sinC；

4cos力cosBcosCf]C0s力cosB.,,六、八,,ip—小匕一、)八，六八7g

右一^-=F-=~^,則而彳=而萬=sm(N-5)=0=Z=5=〃=6,同理可得。=c,所以△力5c為等

邊三角形；若$in2/=sin25,則24=28或24+26=冗，因此△/呂。為等腰或直角三角形；若(l+tanZ)(l

37r.

+tanB)=2,則tan力+tan3=1—tanNtanB,因此匕11(/4+4)=1=。=彳，A45c為鈍角三角形；在^

ABC中，tan/4tanBtanC=tanN+tan5+tanC恒成立，

因此正確的命題為①②④.

10.若△45c的三邊a,b,c及面積S滿足5=/一(力一c)2,則§加力=.

fg8

答案17

解析由余弦定理得S=J一(A—c/=2)c—2bcco$/=，csin力，所以sin4+4cos4=4,由sin'+cos'

=1,解得sh?力+(1—普4『=1,sin4=*0舍去).

11.若tan6=3,貝!Jcos2^+sin僅o§0=.

答案5

解析Vtan0=39

.2.co§2，+sin夕cos81+tan81+32

==2=

,?cos'+sinecos0=tan^+l3+l5-

12.已知單位向量"，h,c,且alb,若，=勿+(1—。仇則實(shí)數(shù)，的值為.

答案1或()

解析C=s+(1—。〃=《2=/+(1—f)2=|c『=l=f=0或r=l.

13.在△/呂。中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足灰osZ=(2c+〃)cos(4+C).

(1)求角B的大??；

(2)求函數(shù)Hx)=2$in2x+sin(2x—8)(x￡R)的最大值.

解(1)由已知，ftcosA=(2c+?)cos(n—B),

即sin5COST4=—(2sinC+sin/4)cosB,

即sin(/l+J?)=-2sinCeosB,

則sinC=_2sinCeosB,

cosB=-I，即5=竽?

27r27r

(2)/(x)=2sin2x+sin2xcoscos2xsin§

=jsin2x―乎cos2x=^/3sin(2x-,

即*=胃+4兀，時(shí)，./(x)取得最大值小.

14.已知函數(shù)/(x)=2cosx(sinx_cosx)+L

⑴求函數(shù)/a)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;

(2)在△45C中，角4B,C的對邊分別是〃，b,c,且銳角力滿足加)=1,b=巾，c=3,求。的值.

解(1)f(x)=2sinxcosx—2cos2x+1

=sin2x-cos2x=^/2sin(2x-,

所以作)的最小正周期為兀

由一T+2ATTW2X—￡W/+2ATT(A￡Z),

得ATT—，WxWA?r+.(A￡Z),

oo

所以/(x)的單調(diào)增區(qū)間為四一會Ak+小(AGZ).

(2)由題意知兒4)=也sin(2N-f)=l,

sin(24-￡)=乎，

又：工是銳角，

由余弦定理得J=2+9-2XdiX3Xcos：=5,

.'.a=y[5.

四、數(shù)列

1.牢記概念與公式

等差數(shù)列、等比數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)公式%=Qi+(〃-1)〃%=。1夕"?(夕W0)

,〃i(l一夕〃)a\—aq

⑴k1,S〃-；一：n

?"3+。").

前n項(xiàng)和nu\\—q1—q

Sn-2-\『2〃

(2)夕=1,Sn=n(i\

2.活用定理與結(jié)論

(1)等差、等比數(shù)列｛%｝的常用性質(zhì)

等差數(shù)列等比數(shù)列

①若"1,〃，p,夕WN*,且〃i+〃=p+g,①若，"，",p,gGN*,且，〃+〃=p+q,

則一%+%貝！1a-a—aa

性mnpq

②%=4”+(〃一⑼〃②%

質(zhì)

③，一品?，…仍成等比

③Sm，S2m—Sm9S3加一S2””…仍成等差數(shù)S"S2m-Sm,53",

列數(shù)列(S“#0)

(2)判斷等差數(shù)列的常用方法

①定義法：

(常數(shù))("GN*)=｛%｝是等差數(shù)列.

②通項(xiàng)公式法：

an=pn-\-q(p,夕為常數(shù)，〃GN*)<=>｛%｝是等差數(shù)列.

③中項(xiàng)公式法：

2an+i=a?+a?+2("eN*)o｛%｝是等差數(shù)列.

④前n項(xiàng)和公式法：

S^A^+Bn(A,8為常數(shù)，"GN*)=｛%｝是等差數(shù)列.

(3)判斷等比數(shù)列的三種常用方法

①定義法：^是不為0的常數(shù)，"GN*)3｛%｝是等比數(shù)列.

②通項(xiàng)公式法：%=""(c,4均是不為0的常數(shù)，〃GN*)e｛%｝是等比數(shù)列.

③中項(xiàng)公式法：片+i=a,「a"+2(a"S+ra"+2W0，"GNj=｛%｝是等比數(shù)列.

3.數(shù)列求和的常用方法

⑴等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和，直接利用公式求和.

(2)形如｛%小,,｝(其中｛%｝為等差數(shù)列，｛瓦｝為等比數(shù)歹IJ)的數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和.

通項(xiàng)公式形如%上0A、(其中用加