2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題系列：銳角三角函數(shù)綜合

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題系列：銳角三角函數(shù)綜合1．如圖，某小區(qū)有南北兩個(gè)門，北門A在南門B的正北方，小紅自小區(qū)北門A處出發(fā)，沿西南方向前往小區(qū)居民活動(dòng)中心C處；小強(qiáng)自南門B處出發(fā)，沿正西方向行走300到達(dá)D處，再沿北偏西方向前往小區(qū)居民活動(dòng)中心C處與小紅匯合，兩人所走的路程相同，求該小區(qū)北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）2．臂架泵車（如圖）是一種用于建筑工程中混凝土輸送和澆筑的特種工程車輛，集混凝土泵送、臂架伸展和移動(dòng)功能于一體，廣泛應(yīng)用于高層建筑、橋梁、隧道等施工場(chǎng)景．圖2是其輸送原理平面圖，進(jìn)料口到建筑樓的水平距離為米，到地面的垂直距離為米，，，，為輸送臂，可繞，，，旋轉(zhuǎn)，已知輸送臂垂直地面且米，米，米，，．(1)的長約為________；（直接寫出答案）(2)求出料口到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，）3．在中，，點(diǎn)D為線段上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，求線段的長；(2)如圖2，以為邊作等邊，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)G．①取的中點(diǎn)O，連接，求證：；②若，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4．如圖，在中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)，，時(shí)，求的長．5．如圖，已知是的直徑，為的內(nèi)接三角形，為延長線上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線．(2)若，求的長．6．在中，，是邊上的高，射線與相交于點(diǎn)E，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與相交于點(diǎn)F，分別過E，F(xiàn)作，，交于點(diǎn)P，令．(1)證明推斷：如圖1，連接，若．①推斷：四邊形的形狀是________；②求證：；(2)類比探究：如圖2，若．探究是否仍然成立，并證明你的結(jié)論；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，在（2）的條件下，連接．若，，，求線段的長．7．如圖1，在四邊形中，，連接交于點(diǎn)，且滿足．(1)求證：；(2)如圖2，已知，過點(diǎn)作于點(diǎn)．①求的值；②如圖3，連接，若，求的長．8．已知：矩形的對(duì)角線與以為圓心為半徑的圓弧相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線分別與直線、、交于點(diǎn)、、．(1)當(dāng)點(diǎn)在邊延長線上時(shí)，如圖所示．①聯(lián)結(jié)，與交于點(diǎn)，求證：；②若，求的比值；聯(lián)結(jié)，若為等腰三角形，求的值．9．如圖，直角三角形中，以直角邊為直徑作圓交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，E為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F，．(1)求證：；(2)求．10．如圖，小明家在公寓樓中，小區(qū)中新修了高為的活動(dòng)中心樓，小明測(cè)得公寓樓與活動(dòng)中心樓的距離為，站在點(diǎn)A處測(cè)得活動(dòng)中心樓的頂端D的仰角為，公寓樓的頂端B的仰角為，小明的觀測(cè)點(diǎn)N距地面．求公寓樓的高度（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，，，，，11．在菱形中，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），關(guān)于的軸對(duì)稱圖形為．如圖，為的外接圓，直線與交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)若，則____________；(2)當(dāng)時(shí)，連接，判斷直線與位置關(guān)系，并說明理由；(3)直接寫出的外接圓的半徑的最小值．12．如圖，紅紅家后面的山坡上有座信號(hào)發(fā)射塔，塔尖點(diǎn)到地面的距離為．紅紅站在離房子的底端前方30米的點(diǎn)處，眼睛距離地面的高度米，抬頭發(fā)現(xiàn)恰好可以觀察到發(fā)射塔的塔尖，并且在此觀測(cè)位置測(cè)得塔尖的仰角為．紅紅家到山腳的水平距離米，山坡的坡度為（），山腳到塔尖的仰角為．(1)若米，則__________米，__________米（用含的代數(shù)式表示）；(2)求房子和塔的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，）13．如圖，在梯形中，，，，，，點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，與射線相交于點(diǎn)．連接，與直線相交于點(diǎn)，設(shè)，(1)求梯形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)若，求線段的長．14．如圖1，是大家非常熟悉的“一線三直角模型”，受到這模型的啟發(fā)，我們研究如下問題：如圖2，在中，，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長線于點(diǎn)E，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，(1)若，求線段的長；(2)在（1）的條件下，連接交于點(diǎn)N，求的值；(3)在（1）的條件下，在直線上找點(diǎn)P，使，直接寫出線段的長度．15．如圖，在中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在上的速度為每秒個(gè)單位長度，在上的速度為每秒個(gè)單位長度．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，以為邊在點(diǎn)的右上方作等邊，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒)，與重疊部分的面積為．(1)______(2)求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(3)取邊的中點(diǎn)，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫出的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題系列：銳角三角函數(shù)綜合》參考答案1．【分析】本題考查了解直角三角形：方位角的應(yīng)用；過點(diǎn)C作于M，過D作于N，則可得四邊形是矩形；設(shè)，則可表示出，利用兩人所走的路程相同建立方程，求得x，即可求出小區(qū)北門A與南門B之間的距離．【詳解】解：過點(diǎn)C作于M，過D作于N，又∵，∴四邊形是矩形，∴，；設(shè)，則；∵，∴，，∴；∵，∴，，∵兩人所走的路程相同，∴，即，解得：；∵，∴即小區(qū)北門A與南門B之間的距離為．2．(1)；(2)米【分析】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．過點(diǎn)作，利用銳角三角函數(shù)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得米；過點(diǎn)作，垂足為，利用勾股定理可以求出米，根據(jù)進(jìn)料口到建筑樓的水平距離為米，可得米，根據(jù)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得進(jìn)料口到地面的距離為（米）．【詳解】（1）解：如下圖所示，過點(diǎn)作，，，，，，(米)，故答案為：米；（2）解：如下圖所示，過點(diǎn)作，垂足為，在中，米，米，米，，在和中，，，到地面的距離為（米），到地面的距離為米．3．(1)(2)①見解析，②，理由見解析【分析】（1）在中根據(jù)，可得，再根據(jù)可得線段的長；（2）證為等邊三角形得，，再根據(jù)為等邊三角形得，，由此得，進(jìn)而可依據(jù)“”判定和全等得，進(jìn)而可證，據(jù)此即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，先證和全等得，，再證即可得出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：在中，，，，，，；（2）①證明：在中，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，即，，在和中，，，，，∴；②解：，，之間的數(shù)量關(guān)系是，理由如下：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如下圖所示：則，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，在（2）的條件下，，，，∴，，又，，，又，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵．4．(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）證，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)得，再證，得，即可得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出，，再證，則，得，求出，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）證明：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：在中，，設(shè)，則，由勾股定理得：，解得：或（舍去），，，由（1）得：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，設(shè)，則，，解得：或,（舍去），即．5．(1)詳見解析(2)2【分析】本題考查了切線的證明和解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線的判定定理進(jìn)行證明，利用圓的性質(zhì)得出等邊三角形，運(yùn)用三角函數(shù)求解；（1）連接，根據(jù)和證明即可；（2）根據(jù)得出，得出是等邊三角形，再根據(jù)三角函數(shù)求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，∴是的半徑，是的切線；．（2）解：在中，，，是等邊三角形，，是直徑，，在中，．6．(1)①正方形；②見解析(2)仍然成立(3)【分析】（1）①證明，得出，根據(jù)，，證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)，證明四邊形為菱形，根據(jù)，證明四邊形為正方形；②根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)，得出；（2）證明，得出，證明，得出，即，求出；（3）連接交于O，交于M，連接，在中，，解直角三角形得出，，證明，得出，，求出，，證明四邊形是矩形，得出，證明，說明垂直平分，求出，，，證明，得出，求出，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：①∵，∴，∵是邊上的高，∴，，，又∵，∴，∵將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與相交于點(diǎn)F，∴，∴，∴，∴，∴．

∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形，∵，∴四邊形為正方形；故答案為：正方形；②證明：∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴；（2）解：結(jié)論：仍然成立．理由如下：∵是邊上的高，，∴，，∴．∵將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與相交于點(diǎn)F，∴．∴，∴，∴，∴，

∵，，∴，∴，即，∴，由（1）①知，四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中，；（3）解：連接交于O，交于M，連接，如圖所示：在中，，∴設(shè)，，根據(jù)勾股定理得：，∵，∴，解得：，∴，，根據(jù)解析（2）可知：，∴，，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形，∴，又∵，∴，∵，∴垂直平分，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，作出輔助線．7．(1)見解析(2)①；②7【分析】（1）證明，即可由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）①先證明，得，從面可得，則，根據(jù)ABP，則，然后根據(jù)，則，即可求解；②過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，證明，得，則，再證明，則，然后證明，得，則，從而得，則，求得，則，由求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，即．（2）解：①∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由(1)知，∴，，∴，∴，即∵∴，∵于點(diǎn)，，∴，∴，∴，∵，∴；②過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接則，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，平行線間的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．(1)①見解析；②(2)或1或【分析】（1）證明，得出，即可證明；②根據(jù)，設(shè)，，那么，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，得出，證明，求出，在中，勾股定理求出，即可求出．（2）若為等腰三角形，分為當(dāng)時(shí)，可證為等邊三角形，求出，即可求解；當(dāng)時(shí)，可證四邊形為正方形，得出，即可求解；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，可證，得出，求出，在中，勾股定理列方程得出，即可求解．【詳解】（1）解：①四邊形為矩形，，，，在和中，，，，，在圓中，，；②，設(shè)，，那么，矩形的對(duì)邊相等，，∵，∴，，，，在中，，即，，．（2）解：若為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，在和，，，，又∵，，連接，由（1）①可知，，，即，在和中，，，，，，，∴為等邊三角形，，，；當(dāng)時(shí)，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴，則四邊形為正方形，，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，∴,∵，∴，∴，∴，∴，，，∴，在中，，，整理得：，，．綜上所述，的值為或1或．【點(diǎn)睛】該題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，角的正切，勾股定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，圓心角定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．9．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，可證，，得到，，由為的中點(diǎn)，即，得到即可求解；（2）連接，設(shè)，，可證明，則，而，由，得到，，則在中，由勾股定理得，解得，那么由即可求解．【詳解】（1）證明：∵根據(jù)題意，是直角三角形，，以直角邊為直徑作圓，，∴，∴，，∴，，∴，∵為的中點(diǎn)，即，∴；（2）解：連接，設(shè)，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，，，解得：，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，難度較大，正確合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．10．公寓樓的高度約為【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．則，，，，，在中，在中，解直角三角形得，由可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．則，，，，∵，∴，在中，，則，在中，，∴，∴公寓樓的高度約為．11．(1)15(2)直線與相切，理由見解析(3)r的最小值為【分析】（1）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓周角定理解答即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，利用菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)求得，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理得到，則為圓的直徑，利用等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，通過計(jì)算求得，則，最后利用圓的切線的判定定理解答即可；（2）利用點(diǎn)的軌跡得到的外接圓為以為弦，所對(duì)的圓周角為的圓，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的外接圓的半徑r取得最小值，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)得到的長，則結(jié)論可求．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的軸對(duì)稱圖形為，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：直線與相切，理由：過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，如圖，∵四邊形為菱形，∴，∵關(guān)于的軸對(duì)稱圖形為，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴為圓的直徑，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∵為圓的直徑，∴直線與相切；（3）解：的外接圓的半徑r的最小值為．由題意得：，∴的外接圓為以為弦，弦所對(duì)的圓周角為的圓，∴當(dāng)取得最小值時(shí)，的外接圓的半徑r取得最小值，∵點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，如圖，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)B重合，為的外接圓的直徑，∵，∴為等邊三角形，∴，∴的外接圓的半徑r的最小值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的判定定理，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．(1)，(2)房子的高度為米；塔的高度為米．【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角、坡度坡角問題，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）利用，可求得米，在中，利用正切函數(shù)的定義求得，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；（2）作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在中，利用正切函數(shù)的定義列式得到，求得，在中，利用正切函數(shù)的定義列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵米，，∴，∴米，在中，，∴，∴，∴米，故答案為：，；（2）解：作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形和四邊形是矩形，設(shè)米，在中，，∴，在矩形中，，，∴，在中，，，即，∴，解得，由（1）得米，米，∵四邊形是矩形，，，在中，，，，∴，∴米．答：房子的高度約為米；塔的高度約為米．13．(1)24；(2)，定義域：；(3)．【分析】（1）過點(diǎn)、作，，由梯形的性質(zhì)得，，由求出，然后根據(jù)梯形面積公式計(jì)算即可；（2）由得，，，證明得，由得，設(shè)，，代入整理可得；（3）由，得，過點(diǎn)作，設(shè)面積為，由相似的面積為，然后分兩種情況求解即可．【詳解】（1）過點(diǎn)、作，∵梯形中，，，，∴，，∴，∵∴，∴梯形面積；（2）由得，，，設(shè)，則解得∵，∴∴定義域：（3）由，得過點(diǎn)作，設(shè)面積為，∵，，∴，，∴，∴∴，①若點(diǎn)在邊上，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；②若點(diǎn)在邊延長線上，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．綜上可知，段的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，求函數(shù)解析式