2025年高考數(shù)學一輪復習講練測 重難點突破07 函數(shù)零點問題的綜合應用（十大題型）（原卷版）

重難點突破07函數(shù)零點問題的綜合應用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結 202題型歸納總結 2題型一：判斷或討論函數(shù)零點的個數(shù) 2題型二：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍 3題型三：證明函數(shù)零點的個數(shù) 4題型四：證明函數(shù)零點的性質 5題型五：最值函數(shù)的零點問題 7題型六：同構法妙解零點問題 8題型七：零點差問題 10題型八：分離參數(shù)轉化為兩圖像交點解決零點問題 11題型九：零點問題之取點技巧 13題型十：零點與切線問題的綜合應用 1403過關測試 15

1、函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問題轉化為函數(shù)的零點問題，進而轉化為函數(shù)的圖像與軸(或直線)在某區(qū)間上的交點問題；第二步：利用導數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調性、極值、端點值等性質，進而畫出其圖像；第三步：結合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).2、函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．3、求函數(shù)的零點個數(shù)時，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過兩函數(shù)圖象的交點確定函數(shù)的零點個數(shù)；三、結合導數(shù)，求函數(shù)的單調性，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).4、利用導數(shù)研究零點問題：（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可用導數(shù)知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構造函數(shù)的方法，把問題轉化為研究構造的函數(shù)的零點問題；（3）利用導數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結合思想研究；③構造輔助函數(shù)研究.題型一：判斷或討論函數(shù)零點的個數(shù)【典例1-1】（2024·河南·三模）函數(shù)的圖象在處的切線為.(1)求的值；(2)求在上零點的個數(shù).【典例1-2】（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的極大值；(2)若，求在區(qū)間上的零點個數(shù)．【變式1-1】（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)設函數(shù)，討論零點的個數(shù).【變式1-2】已知，是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點(1)求，的值.(2)設函數(shù)的導函數(shù)，求的極值點.(3)設其中求函數(shù)的零點個數(shù).題型二：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍【典例2-1】（2024·廣東茂名·一模）設函數(shù)，.(1)當時，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【典例2-2】（2024·湖北·模擬預測）已知函數(shù)，，其中a為整數(shù)且.記為的極值點，若存在兩個不同的零點，，(1)求a的最小值；(2)求證：；【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，曲線在點處的切線平行于直線．(1)當時，求b的值；(2)當時，若在區(qū)間各內有一個零點，求a的取值范圍．【變式2-2】（2024·江西吉安·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)有2個零點，求的取值范圍.題型三：證明函數(shù)零點的個數(shù)【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．(1)求實數(shù)，的值；(2)證明：函數(shù)有兩個零點．【典例3-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求證：在上有唯一的極大值點；(2)若恒成立，求a的值；(3)求證：函數(shù)有兩個零點．【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)的兩個極值點分別為，證明：；(3)設，求證：當時，有且僅有2個不同的零點．（參考數(shù)據(jù)：）【變式3-2】（2024·上海閔行·二模）已知定義在上的函數(shù)的表達式為，其所有的零點按從小到大的順序組成數(shù)列（）.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間（）上有且僅有一個零點；題型四：證明函數(shù)零點的性質【典例4-1】（2024·全國·一模）已知(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)設是的兩個零點（），求證：①；②.【典例4-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，且有兩個相異零點．(1)求實數(shù)a的取值范圍．(2)證明：．【變式4-1】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若有兩個不同的零點，證明．【變式4-2】（2024·山東臨沂·二模）已知函數(shù).(1)當時，求證：存在唯一的極大值點，且；(2)若存在兩個零點，記較小的零點為，t是關于x的方程的根，證明：.【變式4-3】（2024·高三·河南鶴壁·期中）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若函數(shù)在上有2個極值點，求a的取值范圍；(2)設函數(shù)，），證明：的所有零點之和大于．【變式4-4】（2024·四川眉山·三模）已知函數(shù).(1)若過點可作曲線兩條切線，求的取值范圍；(2)若有兩個不同極值點.①求的取值范圍；②當時，證明：.題型五：最值函數(shù)的零點問題【典例5-1】（2024·湖北黃岡·三模）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在上的極值；(2)用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．【典例5-2】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)，．(1)當時，求函數(shù)在上的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．【變式5-1】（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，當時，討論函數(shù)在上的零點個數(shù).【變式5-2】（2024·江西九江·二模）已知函數(shù)，．(1)若直線與曲線相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，討論函數(shù)的零點個數(shù)．題型六：同構法妙解零點問題【典例6-1】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內存在零點，求實數(shù)的取值范圍【典例6-2】已知．（1）若函數(shù)在上有1個零點，求實數(shù)的取值范圍．（2）若關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求的取值范圍．【變式6-1】已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個零點，求的取值范圍．【變式6-2】（2024·上海嘉定·一模）已知．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；(2)請嚴格證明曲線有唯一交點；(3)對于常數(shù)，若直線和曲線共有三個不同交點，其中，求證：成等比數(shù)列．【變式6-3】（2024·四川·三模）已知函數(shù)和函數(shù)，且有最大值為．(1)求實數(shù)a的值；(2)直線y＝m與兩曲線和恰好有三個不同的交點，其橫坐標分別為，，，且，證明：．【變式6-4】（2024·河北邯鄲·二模）已知函數(shù)．(1)是否存在實數(shù)，使得和在上的單調區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．(2)已知是的零點，是的零點．①證明：，②證明：．題型七：零點差問題【典例7-1】（2024·重慶·模擬預測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．具體做法如下：如圖，設r是的根，首先選取作為r的初始近似值，若在點處的切線與軸相交于點，稱是r的一次近似值；用替代重復上面的過程，得到，稱是r的二次近似值；一直重復，可得到一列數(shù)：．在一定精確度下，用四舍五入法取值，當近似值相等時，該值即作為函數(shù)的一個零點．(1)若，當時，求方程的二次近似值（保留到小數(shù)點后兩位）；(2)牛頓法中蘊含了“以直代曲”的數(shù)學思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)在點處的切線，并證明：；(3)若，若關于的方程的兩個根分別為，證明：．【典例7-2】（2024·河南·模擬預測）已知，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.(1)求a，b的值;(2)若方程（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個實數(shù)根，且，證明：【變式7-1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．【變式7-2】（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求證：；(2)若是的兩個相異零點，求證：．【變式7-3】（2024·河南信陽·三模）已知函數(shù)(1)若恒成立，求a的值；(2)若有兩個不同的零點，且，求a的取值范圍.【變式7-4】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調性；(2)設，若存在兩個不同的零點，，且.（i）證明：；（ii）證明：.題型八：分離參數(shù)轉化為兩圖像交點解決零點問題【典例8-1】（2024·天津·模擬預測）已知函數(shù)(1)求曲線在處的切線方程；(2)求證：；(3)函數(shù)有且只有兩個零點，求a的取值范圍．【典例8-2】（2024·廣東廣州·二模）已知函數(shù)．討論的零點個數(shù)；【變式8-1】（2024·浙江·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)當時，判斷的零點個數(shù).【變式8-2】已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若恰有三個零點，求a的取值范圍．【變式8-3】（2024·湖北·模擬預測）函數(shù)．(1)當時，證明：；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)．【變式8-4】（2024·廣西河池·模擬預測）已知函數(shù)，定義域為.(1)討論的單調性；(2)求當函數(shù)有且只有一個零點時，的取值范圍.題型九：零點問題之取點技巧【典例9-1】（2024·陜西商洛·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)討論的單調性；(2)當時，證明：函數(shù)有兩個不同的零點．【典例9-2】（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，（ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個零點．【變式9-1】（2024·陜西銅川·三模）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【變式9-2】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.題型十：零點與切線問題的綜合應用【典例10-1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù).(1)判斷的零點個數(shù)；(2)求曲線與曲線公切線的條數(shù).【典例10-2】（2024·江西·模擬預測）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若，證明：對任意，存在唯一實數(shù)，使得【變式10-1】（2024·四川遂寧·模擬預測）已知函數(shù)，，直線為曲線與的一條公切線.(1)求；(2)若直線與曲線，直線，曲線分別交于三點，其中，且成等差數(shù)列，證明：滿足條件的有且只有一個.【變式10-2】（2024·四川瀘州·三模）設函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若總存在兩條直線和曲線與都相切，求的取值范圍.【變式10-3】（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)已知，，（其中且，，成等比數(shù)列）是曲線上三個不同的點，判斷直線AC與曲線在點B處的切線能否平行？請說明理由.1．（2024·福建寧德·三模）已知函數(shù)的圖象在處的切線過點.(1)求在上的最小值;(2)判斷在內零點的個數(shù)，并說明理由.2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù)．(1)證明：當時，；(2)求在區(qū)間上的零點個數(shù)．3．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，證明：；(2)當時，，求的最大值；(3)若在區(qū)間存在零點，求的取值范圍.4．（2024·安徽·三模）已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)若函數(shù)有2個零點，試比較與的大小關系.5．（2024·陜西商洛·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當時，若函數(shù)和的圖象在上有交點，求實數(shù)的取值范圍．6．（2024·湖北黃石·三模）已知函數(shù)有兩個零點，.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)如果，求此時的取值范圍.7．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的零點個數(shù)；(2)若有兩個零點，證明：兩個零點之和大于4．8．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)當時，求的最小值；(2)討論函數(shù)和的圖象在上的交點個數(shù)．9．（2024·全國·模擬預測）當時，總有不等式成立．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)設方程，試確定該方程實根的個數(shù)，并證明你的結論．10．（2024·青海海南·一模）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調遞增，求的取值范圍；(2)若函數(shù)的兩個零點分別是且，證明：．11．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，討論曲線與曲線的交點個數(shù)．12．已知函數(shù)．(1)若恰有兩個零點，求a的取值范圍；(2)若的兩個零點分別為（），求證：．13．（2024·江西贛州·一模）已知函數(shù).(1)求的單調區(qū)間，(2)已如.若函數(shù)有唯一的零點.證明，.14．（2024·廣西·模擬預測）已知函數(shù)有三個零點，.(1)求的取值范圍；(2)記三個零點為，且，證明：.15．（2024·四川南充·一模）設函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱.(1)設函數(shù)，若時，恒成立，求的取值范圍；(2)證明：與有且僅有兩條公切線，且圖象上兩切點橫坐標互為相反數(shù).16．（2024·廣東·二模）已知.(1)求的單調區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由.17．（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)若過點可作圖象的三條切線，證明：.18．已知函數(shù)最小值為(1)求；(2)若，且，過