第02講 玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題（五大題型）（原卷版）

第02講玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題【題型歸納目錄】題型一：異面直線所成的角題型二：線面角題型三：二面角題型四：距離問題題型五：體積問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1、求點(diǎn)線、點(diǎn)面、線面距離的方法（1）若P是平面外一點(diǎn)，a是平面內(nèi)的一條直線，過P作平面的垂線PO，O為垂足，過O作OA⊥a，連接PA，則以PA⊥a．則線段PA的長即為P點(diǎn)到直線a的距離（如圖所示）．（2）一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離叫直線與平面的距離．（3）求點(diǎn)面距離的常用方法：①直接過點(diǎn)作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個(gè)直角三角形來求解．②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點(diǎn)轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點(diǎn)到平面的距離來求解．③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解．知識(shí)點(diǎn)2、異面直線所成角的常用方法求異面直線所成角的一般步驟：（1）找（或作出）異面直線所成的角——用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，常考慮中位線．（2）求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．（3）結(jié)論——設(shè)（2）所求角大小為θ．若，則θ即為所求；若，則即為所求．知識(shí)點(diǎn)3、直線與平面所成角的常用方法求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟（1）確定斜線與平面的交點(diǎn)（斜足）；（2）通過斜線上除斜足以外的某一點(diǎn)作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；（3）求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形．知識(shí)點(diǎn)4、作二面角的三種常用方法（1）定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖①，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角．（2）垂直法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．（3）垂線法：過二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線，垂足為B，由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則為二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖③，為二面角的平面角．知識(shí)點(diǎn)5、求體積的常用方法選擇合適的底面，再利用體積公式求解．【典例例題】題型一：異面直線所成的角【例1】（2023·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，平面，底面是邊長為的正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┤鐖D，三棱錐中，平面平面ACD，，，，點(diǎn)為棱AD的中點(diǎn)，．(1)求證：平面平面BCD；(2)求異面直線AB與CE所成角的余弦值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┰诶忾L為2的正方體中，分別為棱和的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求異面直線與所成的余弦值；題型二：線面角【例2】（2023·河南·高一校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱中，為等邊三角形，，，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，在直三棱柱中，．

(1)證明：為直角三角形．(2)若為等腰三角形，且，求與側(cè)面所成角的正弦值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·吉林長春·高一長春市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在直三棱柱中，.

(1)求證：；(2)求與平面所成的角的大小.題型三：二面角【例3】（2023·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AA1，B1C1的中點(diǎn)．(1)求證：平面C1BD；(2)若DC1⊥BD，AC＝BC＝1，AA1＝2，求二面角B﹣DC1﹣C的正切值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，圓錐PO的母線長為，底面圓O的直徑AB＝2，C是圓O所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AC與圓O相切，連接BC交圓O于點(diǎn)D，連接PD，PC，CO，DO．(1)證明：平面PAC；(2)若，求二面角的正切值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·廣東茂名·高一統(tǒng)考期中）如圖，三棱錐中，平面，，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．題型四：距離問題【例4】（2023·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.

(1)證明：平面：(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐，四邊形正方形，平面．，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，，，求點(diǎn)到平面的距離.題型五：體積問題【例5】（2023·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學(xué)校考期末）如圖，在四棱錐中，平面是的中點(diǎn).

(1)證明：面(2)證明：平面平面；(3)求三棱錐的體積.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，且．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求三棱錐的體積．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）如圖，圓錐的底面半徑，母線的長為3，為上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，從點(diǎn)拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn).

(1)求繩子的最短長度；(2)過點(diǎn)作一個(gè)與底面平行的截面，將圓錐分為上、下兩部分，其體積分別為，，求.【真題演練】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（

）

A． B．C． D．3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿足，線段上的點(diǎn)滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．35．（多選題）（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為6．（多選題）（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為______．8．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．9．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.10．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·海南·高一海南華僑中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．B．平面SCDC．直線SA與平面SBD所成的角等于D．直線SA與平面SBD所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.2．（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）小明為了加強(qiáng)體育鍛煉，提高身體素質(zhì)，從網(wǎng)上購買了一對(duì)大小相同的健身啞鈴.啞鈴是由兩個(gè)全等的大圓柱和中間一個(gè)連桿圓柱構(gòu)成的，已知大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，則一只健身啞鈴的體積為（

）

A． B． C． D．3．（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．4．（2023·廣東深圳·高一校聯(lián)考期中）如圖，已知為正方體，則異面直線與所成角為（

）A． B． C． D．5．（2023·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中，有四個(gè)頂點(diǎn)A，，C，恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（

）

A． B． C． D．6．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D一，矩形中，，交對(duì)角線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則下列判斷一定成立的是（

）

A． B．平面C．平面 D．平面平面7．（2023·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則（

）

A． B． C． D．8．（2023·江蘇無錫·高一輔仁高中?？计谀┧睦馀_(tái)中，其上、下底面均為正方形，若，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，則該棱臺(tái)的體積為（）A．224 B．448 C． D．147二、多選題9．（2023·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中正確的有（

）

A．B．平面C．與平面所成角是D．與所成的角等于與所成的角10．（2023·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面ABCD中，，且，下列說法正確的是（

）

A．該圓臺(tái)軸截面面積為B．該圓臺(tái)的體積為C．該圓臺(tái)的表面積為D．沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為11．（2023·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱雉中，平面，底面為矩形，且，則（

）

A．平面平面 B．點(diǎn)到平面的距離為C．二面角的正切值為 D．若平面與平面的交線為直線，則12．（2023·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點(diǎn)M為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），平面．下列說法正確的有（

）A．異面直線AM與可能垂直B．直線BC與平面可能垂直C．AB與平面所成角的正弦值的范圍為D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為三、填空題13．（2023·安徽黃山·高一屯溪一中校考期中）如圖中，，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，交BC于點(diǎn)N），則圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為__________．

14．（2023·福建三明·高一校聯(lián)考期中）在正方體中，直線與所成的角是__________.15．（2023·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知在矩形ABCD中，，，M為邊BC的中點(diǎn)，將，分別沿著直線AM，MD翻折，使得B，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到平面MAD的距離為______．

16．（2023·江蘇徐州·高一徐州市第一中學(xué)校考期中）如圖，在長方形中，，是的中點(diǎn)，沿AE將向上折起，使到的位置，且平面平面，則直線與平面所成角的大小為____.

四、解答題17．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）如圖，斜三棱柱中，D，分別為AC，上的點(diǎn)．

(1)當(dāng)時(shí)，求證平面；(2)若平面平面，求的值，并說明理由．18．（2023·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)設(shè)直線與底面所成角的正切值為，，，求直線與平面所成角的正弦值.19．（2023·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）臺(tái)州黃巖被譽(yù)為“模具之鄉(xiāng)”，為市場對(duì)球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其內(nèi)壁恰好是球體的表面，且內(nèi)壁