江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)唯亭校區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

南航蘇州附中唯亭校區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級三月陽光測試數(shù)學(xué)一、單選題1.下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的加減法法則計算．【詳解】；；；．故選：B．2.如果函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對稱中心列方程，解方程即可.詳解】由題意得，解得，所以的值可以是.故選：D.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先應(yīng)用二倍角余弦及正弦公式化簡，再應(yīng)用弦化切計算求解.【詳解】，故選:A．4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.【詳解】由已知可得，解得，所以，，故.故選：D.5.下列選項中，值為的是（）A.2sinsin B.－cos215°C.＋ D.cos72°·cos36°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式和輔助角公式依次討論各選項即可得答案.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，＝＝，故C錯誤；對于D，＝＝＝，故D正確.故選：D.6.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若函數(shù)周期為4，則B.當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為C.若函數(shù)在單調(diào)，則有最大值2D.若函數(shù)可以由先向右平移個單位長度，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到，則【答案】C【解析】【分析】利用周期公式計算可得A錯誤，再由對稱軸方程可判斷D錯誤，由余弦函數(shù)單調(diào)性計算可得C正確，根據(jù)平移規(guī)則可判斷D錯誤.【詳解】對于A，若函數(shù)周期為4，可得，解得，即A錯誤；對于B，當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸滿足，解得，即B錯誤；對于C，當(dāng)時，，所以，若函數(shù)在單調(diào)，可得，解得，即有最大值2，可得C正確；對于D，先向右平移個單位長度可得，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍可得，若能得到函數(shù)，可得，此時無解，即D錯誤.故選：C7.下列命題：①若，則或②的充要條件是且③若，，則；④起點相同的單位向量，終點必相同其中，真命題的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線，相等向量、單位向量的概念依次判斷各選項即可得答案【詳解】對于①，若，則模相等，方向不一定相同或相反，故錯誤；對于②，當(dāng)時也滿足且，故錯誤；對于③，當(dāng)時，滿足，但不一定成立；對于④，起點相同的單位向量，方向不一定相同，則其終點不一定相同，故錯誤.故真命題的個數(shù)是0個.故選：A8.已知函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)恰有3個零點，則正整數(shù)的取值可以是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】解方程得到的零點，然后列不等式求解.【詳解】，令，即，則，整理得，因為時函數(shù)恰有3個零點，所以，解得，所以正整數(shù)的取值可以是5、6.故選：A.二、多選題9.函數(shù)的部分圖象如圖，若的相鄰兩個零點間的距離為，則（）A.B.C.的零點形成的集合為D.的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由周期即可求解；對于B，由得，再結(jié)合且在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)即可得解；對于C，令結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求解；對于D，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性令并求解即可得解.【詳解】對于A，由已知得最小正周期，又，所以，故A正確；對于B，因為，所以，又因為，且由圖可知在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，故B正確；對于C，由選項A和B得，令得，，所以，故C錯誤；對于D，令，解得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.10.下列選項正確的是（）A.若，則B.若．且，則C.D.【答案】ABD【解析】【分析】對選項A，由分子分母同除以求解判斷；對選項B，利用兩角和的余弦公式求解判斷；對選項C，利用二倍角的正弦公式求解判斷；對選項D，利用兩角和的正切公式求解判斷.【詳解】對選項A，分子分母同除以得，即，故A正確；對選項B，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故B正確；對選項C，，，故C錯誤；對選項D，，，故D正確．故選：ABD.11.已知函數(shù)，若存在實數(shù)（）滿足，則正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】畫出的圖象，根據(jù)圖象可得的取值范圍，再根據(jù)圖象的局部對稱性可得，且，故可判斷各項的正誤.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖：令，得或或，由存在實數(shù)滿足，得直線與函數(shù)的圖象有4個不同交點，由圖象知，D正確；由與關(guān)于對稱，得，B正確；由，得，即，則，整理得，C正確；，由圖象得，于是，即，因此，A錯誤.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：分段函數(shù)的零點問題，可先刻畫其圖象，根據(jù)圖象的性質(zhì)可得各零點的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式等考慮目標(biāo)代數(shù)式的范圍等.三、填空題12.在平行四邊形中，．設(shè)，請用表示_______．【答案】【解析】【分析】利用平面向量的線性運算計算.【詳解】.故答案為：.13.若，則__________.【答案】##0.28【解析】【分析】令，代入，利用三角公式變形計算即可.【詳解】令，則，所以.故答案為：.14.近年來，淮安市依托地方資源優(yōu)勢，用風(fēng)能等清潔能源替代傳統(tǒng)能源，因地制宜實施新能源項目，在帶來了較好經(jīng)濟(jì)效益的同時，助力了本地農(nóng)戶增收致富．目前利用風(fēng)能發(fā)電的主要手段是風(fēng)車發(fā)電．如圖，風(fēng)車由一座塔和三個葉片組成，每兩個葉片之間的夾角均為，現(xiàn)有一座風(fēng)車，塔高90米，葉片長40米．葉片按照逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，并且每6秒旋轉(zhuǎn)一圈，風(fēng)車開始旋轉(zhuǎn)時某葉片的一個端點P在風(fēng)車的最低點（此時P離地面50米）．設(shè)點P轉(zhuǎn)動t（秒）后離地面的距離為S（米），則S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為________，葉片旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)點P離地面的高度不低于70米的時長為________秒．【答案】①.②.4【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)物理意義，結(jié)合三角函數(shù)定義得，待定系數(shù)即可；（2）解不等式即得.【詳解】（1）由題意，塔高即風(fēng)車中心距地面的高度，風(fēng)車半徑，風(fēng)車轉(zhuǎn)動一圈為秒，則角速度，如圖，以風(fēng)車中心為坐標(biāo)原點，以與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)時，風(fēng)車開始旋轉(zhuǎn)時某葉片的一個端點P在風(fēng)車的最低點，設(shè)，以為始邊，為終邊的角不妨取，那么經(jīng)過（秒）后，運動到點，于是，以為始邊，為終邊的角為，由三角函數(shù)定義知，則，所以.（2）令，所以,所以.當(dāng)時，，所以葉片旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)點P離地面的高度不低于70米的時長為4秒.故答案為：；.四、解答題15.已知，且均為銳角.（1）求的值；（2）求的值；（3）求值.【答案】（1）（2）（3）2【解析】【分析】（1）直接由弦化切化成的方程即可得解.（2）直接由二倍角公式、平方關(guān)系化成齊次式即可得解（3）首先由平方關(guān)系結(jié)合角的范圍得，結(jié)合兩角差的正切公式即可得解.【小問1詳解】由，可得，解得.【小問2詳解】.【小問3詳解】，因為，所以，又因為均為銳角，所以，而，所以，故，所以，所以.16.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求．（2）在圖中給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，并根據(jù)圖象寫出其在上的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1）（2）圖象見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)周期得到，然后計算函數(shù)值即可；（2）利用五點法畫圖，然后寫單調(diào)區(qū)間即可.【小問1詳解】由題意得，又，所以，，則.【小問2詳解】因為，所以，列表如下：畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下：所以圖象在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.17.已知函數(shù)為奇函數(shù)．且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為．（1）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的值域．（2）設(shè)，若恒成立，求實數(shù)c的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)圖象的平移變換得到，最后求值域即可；（2）利用換元法得到的最大值，即可得到的范圍.【小問1詳解】,因為為奇函數(shù)，所以，解得，又，所以，因為圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以的最小正周期為，所以，解得，所以，由題意得，當(dāng)時，，則，所以的值域為.【小問2詳解】，令，則，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，因為恒成立，所以，所以的最小值為.18.已知函數(shù),的最小正周期為.(1)求的單調(diào)增區(qū)間;(2)方程在上有且只有一個解,求實數(shù)的取值范圍;(3)是否存在實數(shù)滿足對任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.【答案】(1);(2)或;(3)存在,.【解析】【分析】（1）利用降冪公式和輔助角公式化簡得，再利用周期公式求得的值，從而得到的解析式，再利用整體代入求單調(diào)區(qū)間；（2）方程;在上有且有一個解,轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)只有一個交點；（3）由(1)可知,則；實數(shù)滿足對任意,都存在,使得成立，即成立，再將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題.【詳解】(1)函數(shù)∵最小正周期為.∴,∴.那么的解析式令得:∴的單調(diào)增區(qū)間為.(2)方程;在上有且有一個解,轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)只有一個交點.∵,∴因為函數(shù)在上增,在上減,且，∴或,所以或.(3)由(1)可知,∴.實數(shù)滿足對任意,都存,使得成立.即成立令設(shè),那么∵,∴,可得在上恒成立.令,其對稱軸，∵上,∴①當(dāng)時,即,,解得;②當(dāng),即時,,解得;③當(dāng),即時,,解得;綜上可得,存在,可知的取值范圍是.【點睛】本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的圖象、不等式的恒成立問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意換元法的應(yīng)用.19.已知函數(shù)的圖象與x軸的兩個相鄰交點之間的距離為，直線是的圖象的一條對稱軸.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若對于任意的，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)m的最大值.（3）若，方程存在4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，求解函數(shù)的解析式；（2）首先求函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.（3）先解方程，再根據(jù)方程有4個根，再根據(jù)交點個數(shù)求參.【小問1詳解】由條件