山東省青島市青島第九中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月階段檢測 數(shù)學(xué)試題（含解析）

青島九中2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期階段檢測高一數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.第Ⅰ卷為選擇題，共73分；第Ⅱ卷為非選擇題，共77分，滿分150分，考試時間為120分鐘.2.第Ⅰ卷共3頁，每小題有一個正確答案，請將選出的答案標(biāo)號（A?B?C?D）涂在答題卡上.第Ⅱ卷共1頁，將答案用黑色簽字筆（0.5mm）寫在答題卡上.一?單選題（每題5分，滿分40分）1.的內(nèi)角的對邊分別為.已知，則（）A.6 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦定理直接列式計算求解.【詳解】在中，由余弦定理得：代入得：，整理得：，解得或（負(fù)值舍去）.故選：A2.已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案.【詳解】∵，，且，∵，∴，，∴在方向上的投影向量為，故選：D．3.函數(shù)（，，）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象求得函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，即，所以，所以，當(dāng)時，，可得，解得，因為，令，可得，所以，又由，所以為了得到的圖象，可以將的圖象向左平移個單位長度.故選：A.4.在中，點在邊上，且．點滿足．若，，則（）A. B. C.12 D.11【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)平面向量的線性運算將用表示，再根據(jù)數(shù)量積的運算律即可得解.【詳解】因為，所以，因為，所以為的中點，則，故.故選：A.5.如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，若，，，則的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18【答案】C【解析】【分析】由向量加法及數(shù)乘的幾何意義得，再由向量共線的結(jié)論有，最后應(yīng)用“1”的代換及基本不等式求最小值.【詳解】由題意，，又共線，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最小值為9.故選：C6.在中，若，且，則的外接圓的面積為（）A.4π B.8π C.16π D.64π【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理邊角化可得，即可求解余弦值，進(jìn)而可得正弦值，利用正弦定理即可得半徑求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，設(shè)，，，，則，由正弦定理得，，即，則外接圓面積為，故選：C．7.冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點繪制了△ABD，測得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點C恰好在邊BD上，請幫忙計算sin∠ACD的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在中，由余弦定理得，進(jìn)而求出，再在中，利用正弦定理得解.【詳解】由題意，在中，由余弦定理得；因為，所以，在中，由正弦定理所以，解得.故選：D8.質(zhì)點和在以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為的圓上逆時針做勻速圓周運動，同時出發(fā).的角速度大小為，起點為圓與軸正半軸的交點，的角速度大小為，起點為角的終邊與圓的交點，則當(dāng)與重合時，的坐標(biāo)不可以為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)時刻兩點重合，可得出，求出表達(dá)式，然后利用三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式判斷即可.【詳解】點的初始位置，銳角，設(shè)時刻兩點重合，則，即，此時點，即，當(dāng)時，，故A正確；當(dāng)時，，且，，即，故C正確；當(dāng)時，，且，，即，故D正確.由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點均與上述三點重合，故B錯誤.故選：B.二?多選題（每題6分，滿分18分）9.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）命題，其中真命題為（）A. B.C.z的共軛復(fù)數(shù)為 D.z的虛部為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的乘方及模的運算逐項判定即可.【詳解】由復(fù)數(shù)，則，所以A錯誤；因為，所以B正確；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以C正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念可得，復(fù)數(shù)的虛部為，所以D正確.故選：BCD.10.在中，角，，所對的邊分別為，，，，，為外接圓圓心，為的中點．則下列結(jié)論正確的有（）A.B.外接圓面積為C.D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角正弦求出角，再利用正余弦定理、三角形面積公式、數(shù)量積運算計算判斷各選項作答．【詳解】在中，由正弦定理及得：，而，則有，即，又，，則，所以，即，A正確；由正弦定理得外接圓半徑，該圓面積，B錯誤；如圖，，C正確；由余弦定理得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，，所以的最大值為，D正確．故選：ACD11.已知點為所在平面內(nèi)一點，滿足，（其中）（）A.當(dāng)時，直線過邊的中點B.若時，與的面積之比為C.若，且，則為等邊三角形D.若，且，則滿足【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)向量的線性運算結(jié)合向量數(shù)乘的含義可判斷A；對于B，利用作圖，結(jié)合向量加減法的幾何意義，可判斷與的面積之比，判斷B；對于C，由條件可判斷為的外心和重心，由此判斷C；對于D,由得，，平方后結(jié)合數(shù)量積的運算可推得結(jié)果，判斷D.【詳解】對于A，設(shè)的中點為，則當(dāng)時，有，即得，，三點共線，故直線過邊的中點，故A正確；對于B，延長至，使，延長至，使，連接，設(shè)其中點為，連接并延長至，使,連接，則四邊形是平行四邊形，所以，而時，，故，即三點共線，且，根據(jù)同底等高三角形面積相等，則,即與的面積之比為，故B錯誤；對于C，由于且時，，故為的外心和重心，所以點在線段上，為的中點，且，又，故，所以，，所以，所以故為等邊三角形，故C正確；對于D，因為，且，由得，，所以,即，故D正確，故選：ACD.三?填空題（每題5分，滿分15分）12.已知為四邊形外一點，且.則__________.【答案】44【解析】【分析】確定四邊形為平行四邊形，再由求得坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.【詳解】由，可得：，即，所以四邊形為平行四邊形，設(shè)，所以，所以，所以，所以，故答案為：4413.在中，，若O為內(nèi)部的一點，且滿足，則______．【答案】【解析】【分析】確定O的位置，利用基底法及數(shù)量積的運算法則計算即可.【詳解】取的中點，易知，同理有，所以O(shè)為的重心，則，.故答案為：14.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換關(guān)系求出的解析式，由條件可得的周期，結(jié)合周期公式求的范圍，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的遞減區(qū)間，列不等式求的范圍即可．【詳解】將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，得到，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，即，若在上單調(diào)遞減，則的周期，，即，得，由，，得，，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，若在上單調(diào)遞減，則，，即，，又，所以，此時，即的取值范圍是.故答案為：.四?解答題（滿分77分）15.在中，分別是角所對的邊，已知，，，且

．（1）求角A的大小；（2）若面積為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量垂直則數(shù)量積為0得到方程，解得，即可得到角A的大?。唬?）由三角形面積公式求得，結(jié)合余弦定理得到，從而得到，即可求出的值.【小問1詳解】因為且，，

又因為，所以【小問2詳解】由題意得，得，又因為在三角形ABC中，

由余弦定理得，所以，

又因為，，所以16.已知向量，函數(shù).（1）求使成立的x的集合；（2）若先將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間內(nèi)的所有零點之和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利于向量的數(shù)量積、三角恒等變換化簡函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可；（2）利用三角函數(shù)圖象變換及性質(zhì)數(shù)形結(jié)合計算即可.【小問1詳解】由已知可得，所以【小問2詳解】結(jié)合（1）可知將函數(shù)的圖象向左平移個單位得，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)，所以，如下圖所示，函數(shù)與在上有4個交點，記該四個交點的橫坐標(biāo)依次為，則由正弦函數(shù)的對稱性可知.17.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．（1）求；（2）求的長．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)連接BD，在中，利用三角形內(nèi)角和定理及和角的余弦公式計算即得；(2)在中，利用正弦定理求出BD長，再在中利用余弦定理求解即可.【詳解】(1)由AB∥CD可得，則，即，而，即有，在中，，所以；(2)由(1)知，，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得或(舍去)，所以的長為.18.在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b＝3，sinA+asinB＝2．（1）求角A的大?。唬?）求△ABC周長的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理將sinB轉(zhuǎn)換成sinA，即可得到角A；（2）利用正弦定理將邊a，c轉(zhuǎn)換成與sinB有關(guān)系的量，然后根據(jù)角B的范圍求三角形周長即可．【詳解】解：（1）∵，∴asinB＝bsinA，∴sinA+asinB＝sinA+bsinA＝4sinA＝2，∴，△ABC為銳角三角形，于是．（2）由正弦定理：可得，，∴周長，又∵△ABC為銳角三角形，，，∴∴，∴，∴周長的取值范圍為．【點睛】思路點睛：利用正弦定理求解三角形周長的一般步驟（已知一邊及其對角）：（1）先根據(jù)正弦定理將另外兩邊表示為其對角的正弦值形式；（2）根據(jù)周長的計算公式將周長表示為角的正弦形式，根據(jù)角度關(guān)系將周長公式中的角轉(zhuǎn)化為同一個角；（3）根據(jù)三角形的形狀確定出（2）“同一個角”的范圍，結(jié)合三角恒等變換的公式求解出周長的范圍.19.如圖，設(shè)、是平面內(nèi)相交成的兩條射線，、分別為、同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，若，則記.（1）在仿射坐標(biāo)系中，若，求；（2）在仿射坐標(biāo)系中，若，，且與夾角為，求；（3）如圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，、分別在軸、軸正半軸上，，，、分別為、中點，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意可知，，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值；（2）計算出、、，利用平面向量的夾角公式可得出關(guān)于的方程，解之即可；（3）設(shè)、，利用平面向量的線性運算得出、關(guān)于、的關(guān)系式，利用余弦定理可得出和平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)化簡得出，設(shè)，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等變換以及正弦函數(shù)的有界性可求得的最大值.【小問1詳解】由題意可知，、的夾角為，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因為，則