高中高考數(shù)學知識點總結(jié)及公式

學

知

■

總

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灰

匯

總

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1:集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、黑函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個高中學生所必須學習的。

上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、

數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時,

進一步強調(diào)了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求。

此外，基礎內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內(nèi)容。

選修課程有4個系列：

系列1：由2個模塊組成。

選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數(shù)及其應用。

選修1一2：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修2—2：導數(shù)及其應用，推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)

選修2—3：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，統(tǒng)計案例。

系列3：由6個專題組成。

選修3—1：數(shù)學史選講。

選修3—2：信息安全與密碼。

選修3—3：球面上的幾何。

選修3—4：對稱與群。

選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。

選修3—6：三等分角與數(shù)域擴充。

系列4：由10個專題組成。

選修4一1：幾何證明選講。

選修4—2：矩陣與變換。

選修4—3：數(shù)列與差分。

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程。

選修4-5：不等式選講。

選修4一6：初等數(shù)論初步。

選修4一7：優(yōu)選法與試驗設計初步。

選修4一8：統(tǒng)籌法與圖論初步。

選修4一9：風險與決策。

選修4—10：開關電路與布爾代數(shù)。

2.重難點及考點：

重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數(shù)

難點：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關考點：

⑴集合與簡易邏輯：集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應用

⑷三角函數(shù)：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函

數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應用

⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數(shù)量積及其應用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應

用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應

用

⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

⑩排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用

(11)概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

?導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用

?復數(shù)：復數(shù)的概念與運算

高中數(shù)學必修1知識點

第一章集合與函數(shù)概念

K1.13集合

[1.1.1]集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或乂表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.

(3)集合與元素間的關系

對象。與集合M的關系是。eM,或者。走“，兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：｛xlx具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做

空集(0).

[1.1.2]集合間的基本關系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

A^B(DACA

(或A中的任一元素都(2)0cA

子集

屬于B(3)若A=B且B=則A=C

B^A)

(4)若AqB且3工4,則A=3或

AuB(1)0uA(A為非空子集)

*且B中至

真子集(或少有一元素不屬于

(2)若AuB且3uC,則AuC

A***

BoA)

*

A中的任一元素都

集合(DAcB

A=B屬于B,B中的任

相等(2)BcA

一元素都屬于A

(7)已知集合A有〃(〃21)個元素，則它有2"個子集，它有2"-1個真子集，它有2"-1個非空子集，它有2"-2

非空真子集.

[1.1.31集合的基本運算

(8)交集、并集、補集

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

⑴AA=A

｛工|不￡A,且

AB(2)A0=0

交集

(3)AB^A

XE：B]

AB口B

(1)AA=A

A或

AB(2)A0=A

并集

(3)AB^A

XGB}

AB^B

1A(Q,A)=0

{九且x任A}旗A8)=(0A)(多B)

補集

頗A3)=(,A)(”)2A&4)=u%Q

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

Ix\<a(a>0){x\-a<x<a]

|x|>a(a>0)x|xv-a或x〉Q}

把ax+b看成一個整體，化成|x|<Q,

\ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|>4(。>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0△=0A<0

A=Z?2-4ac

\4

二次函數(shù)4

y-ax2+hx+c(a>0)

0

的圖象十

一元二次方程-h±yjb2-4ac

%]7=-----------------

2,2ab

ax+bx+c=0(a>0)X\=X2=一丁無實根

2a

的根(其中玉<々)

ax2+hx+c>0(〃>0),b、

{x\x<x^x>x}{f九1元wR

i22a

的解集

axr+bx+c<0(。>0)

{x\x]<X<x2}00

的解集

K1.23函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設A、8是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則/,對于集合A中任何一個數(shù)x,在集合5中都有

唯一確定的數(shù)/(x)和它對應，那么這樣的對應(包括集合A,8以及A到6的對應法則/)叫做集合A到

B的一個函數(shù)，記作-8.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則.

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設是兩個實數(shù)，且。<6，滿足aWxWb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做切；滿足a<x<6的

實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(。,勿；滿足aWx(人，或的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，

分別記做口力)，(a,b]；滿足X244,a女，b的實數(shù)x的集合分別記做

[a,+co),(a,+8),(-00,b],(-co,b).

注意：對于集合｛x[a<x<M與區(qū)間(a,。)，前者a可以大于或等于。，而后者必須

a<h,(前者可以不成立，為空集；而后者必須成立).

(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①/(x)是整式時，定義域是全體實數(shù).

②/(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).

③/(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.

JI

⑤y=tanx中，k7r+—(keZ).

⑥零(負)指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

⑦若/(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義

域的交集.

⑧對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若己知/(x)的定義域為出,切，其復合函數(shù)/[g(x)]的定義域

應由不等式解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論.

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小

(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度

不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或

最值.

③判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關于x的二次方程a(y)/+b(y)x+c(y)=0,則

在a(y)#0時，由于為實數(shù)，故必須有A=/(y)-4a(y)-c(y)N0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函

數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對

應關系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

(6)映射的概念

①設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則/,對于集合A中任何一個元素，在集合8中都有唯一的

元素和它對應，那么這樣的對應(包括集合A,6以及A到8的對應法則/)叫做集合A到6的映射，記

作7:4-?8.

②給定一個集合4到集合B的映射，且awA/GB.如果元素a和元素b對應，那么我們把元素6叫做元

素a的象，元素。叫做元素b的原象.

K1.32函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個區(qū)間上的任意兩個]/(2)利用已知函數(shù)

自變量的值刈、X2,當個4f(x2)的單調(diào)性

X2時，都有f(Xl)<f(X2),(3)利用函數(shù)圖象

(在某個區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個區(qū)

x,xX象上升為增)

間上是增單弱.2

的(4)利用復合函數(shù)

單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個區(qū)間上的任意兩個Jy=f(x)(2)利用己知函數(shù)

的單調(diào)性

自變量的值XI、X2,當個4f(xj

(3)利用函數(shù)圖象

當時，都有f(Xl)>f(X2),

(在某個區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個區(qū)°

XjX;X象下降為減)

間上是誠明黎.

(4)利用復合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù),

減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).

③對于復合函數(shù)y=〃g(x)],令w=g(x),若y=/Q)為增，〃=g(x)為增，則y=〃g(x)]為增；若

y=/(〃)為減，“=g(x)為減，則y=/[g(x)]為增；若y=/(〃)為增，u=g(x)為減,則y=/[g(x)]為

減；若y=/(“)為減，〃=g(x)為增，則y=/［g(x)］為減.

(2)打“J"函數(shù)/'(x)=x+q(a>0)的圖象與性質(zhì)

X

分別在(fO,—JZ］、［G,+8)上為增函數(shù)，分別在

［-V^,o),(o,JZ］上為減函數(shù).

(3)最大(小)值定義

①一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M

滿足：(1)對于任意的無e/,都有

(2)存在x°e/,使得/(%)=〃.那么，我們稱"是函

數(shù)/(X)的最大值，記作/皿(x)=M.

②一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)加滿足：(1)對于任意的尤e/,都有/(x)2加;

(2)存在X°G/,使得/(%)=〃2.那么，我們稱加是函數(shù)/(x)的最小值，記作7max(x)=，〃.

［1.3.2］奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

V

域內(nèi)任意一個X,都有(a.f(a))先判斷定義域是否

g),那么函數(shù)關于原點對稱)

-a廠.

f(x)叫做奇重數(shù).oax(2)利用圖象(圖

象關于原點對稱)

(-a,f(-a))

函數(shù)的

奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

y

域內(nèi)任意一個X,都有先判斷定義域是否

(-a.f(-a))-(a,f(a))

*二也=￡⑶,那么函數(shù)關于原點對稱)

f(x)叫做假西藜.(2)利用圖象(圖

-ao二象關于y軸對稱)

②若函數(shù).“X)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/(())=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或奇函

數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).

K補充知識』函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點法作圖:

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式;

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性);④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、事函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函

數(shù)的圖象.

①平移變換

y-f(x)-居息臀、>y=/(x+A)y-f(x)―花:理?”今鬻l>y=fM+k

/J\/〃<0,右移|川個單位J''JJ''kO,下移|川個單位J\/

②伸縮變換

y=/a)-端署y=

③對稱變換

y=f(x)^^y=-fMy=/(x)y=f(-x)

y=.f(x)一必也ry=y=.f(x)直繩f>y=.fT(x)

去掉y軸左邊圖象

y=/(x)保留y軸右邊圖象，并作其關于)，軸對稱圖象

保留X軸上方圖象

y=f(x)將君由卜.方圖象翻折上去>y="(x)l

(2)識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值

域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系.

(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得

問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)(I)

K2.12指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)幕的運算

(1)根式的概念

①如果凡〃>1,且〃GN*,那么x叫做。的〃次方根.當及是奇數(shù)時，。的〃次方根

用符號標表示；當“是偶數(shù)時，正數(shù)。的正的〃次方根用符號標表示，負的〃次方根用符號-標表示；0

的〃次方根是0；負數(shù)a沒有〃次方根.

②式子板叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).當〃為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當〃為偶數(shù)

時，￡/>().

③根式的性質(zhì)：(折)"=a；當”為奇數(shù)時，V7=a；當〃為偶數(shù)時，(6，-0).

一。(a<0)

(2)分數(shù)指數(shù)基的概念

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)幕的意義是：=值9>。即，〃€—,且及>1).o的正分數(shù)指數(shù)幕等于o.

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)基的意義是：J=(-)"=/(，)"'(a>0,機,〃eN,,且”>1).0的負分數(shù)指數(shù)募

aVa

沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)

①=a'*s(a>0,r,seR)②(a)=a"(a>0,R)

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,reR)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a'(a>0且a41)叫做指數(shù)函數(shù)

a>l0<?<1

=|J

圖象

y=l(o,i)

J7]J

o]Z

X

定義域R

值域(0,田)

過定點圖象過定點(0,1),即當x=0時，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>1(x>0)a'<1(x>0)

函數(shù)值的

ax=\(x=0)ax=\(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>1(x<0)

。變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，。越大圖象越低.

(2.2】對數(shù)函數(shù)

[2.2.11對數(shù)與對數(shù)運算

(1)對數(shù)的定義

①若優(yōu)=N(a>0,且awl),則x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log“N,其中。叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).

②負數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log,,NoM=N(a>0,a片l,N>0).

(2)幾個重要的對數(shù)恒等式

h

loga1=0,log.a=1，log(,a=b.

(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即log“)N；自然對數(shù)：InN,即log,N(其中e=2.71828…).

(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0,a#l,M>0,N>0,那么

M

①加法：log“M+log?N=log,,(MN)②減法：log“M-log”N=log”—

③數(shù)乘：〃log“M=lognM'\n&R)④小凈=N

n

n⑥換底公式：log,,N=g&且S>(),且#1)

⑤loghM=-\ogaMSw0,力￡R)

ablog"

[2.2.2]對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log.x(a>0且aw1)叫做對數(shù)函數(shù)

a>\0<?<1

]X=11X=1

y=log。xyy=1啕x

廠

圖象

(1,0)

7

L(1,0)0

17x

定義域((),+8)

值域R

過定點圖象過定點(1,0),即當x=l時，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+00)上是增函數(shù)在(0,+00)上是減函數(shù)

logflX>0(x>l)log“尤<0(%>1)

函數(shù)值的

logaX=0(x=l)log.x=0(x=l)

變化情況

logax<0(0<x<1)logax>0(0<x<1)

。變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，。越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設函數(shù)y=/(x)的定義域為A,值域為C,從式子y=/(x)中解出x,得式子x=e(y).如果對于)，在

。中的任何一個值，通過式子x=Q(y),尤在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x=p(y)表示尤是y

的函數(shù)，函數(shù)x=p(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y),習慣上改寫成y=--十幻.

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(>)；

③將x=改寫成y=f-'(x),并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=f-'(x)的圖象關于直線y=x對稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/T(x)的值域、定義域.

③若P(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上，則P\b,a)在反函數(shù)y=f'(x)的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=f(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.32幕函數(shù)

(1)累函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x"叫做累函數(shù)，其中尤為自變量，a是常數(shù).

(3)累函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：哥函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.基函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二

象限(圖象關于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖

象只分布在第一象限.

②過定點：所有的事函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都通過點(1,1).

③單調(diào)性：如果a>0,則幕函數(shù)的圖象過原點，并且在［0,+8)上為增函數(shù).如果。<0,則幕函數(shù)的圖象在

(0,+8)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.

④奇偶性：當。為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當a為偶數(shù)時，基函數(shù)為偶函數(shù).當。=幺(其中”,g互質(zhì)，p

P

1旦

和qeZ),若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則y=x0是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則,=%,是偶函數(shù)，若p為

偶數(shù)q為奇數(shù)時，則y=x0是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：募函數(shù)y=xa,xe(0,+oo),當a>l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若尤>1,其圖

象在直線y=x上方，當a<l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若x>l,其圖象在直線y=x下方.

工補充知識】二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/(幻=62+笈+c(a70)②頂點式：/0)=。(％-〃)2+女(。/0)③兩根式：

/(x)=a(x-x1)(x-x2)(a^0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式.

③若已知拋物線與X軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求/(X)更方便.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/（x）=axi2+bx+c（a豐0）的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x=-二b，頂點坐標是

la4a'

②當a>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在（-8,-2］上遞減，在［_2,+oo）上遞增，當x=-2時，

2a2a2a

=—4cic——h~；當。<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在（-8,-h2］上遞增，在［一2h,+oo）上遞減，當工=一上h_

.〃/、4tzc-b2

時，/max（X）=-；----

③二次函數(shù)/（x）=or?+云+C（Q70）當△=〃-4?c>0時，圖象與x軸有兩個交點

以。,0）,%（積0）,|耳再F|=「.

'㈤

（4）一元二次方程依2+灰+，=0（。/（））根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)

和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理（韋達定理）的運用，下面結(jié)合二次

函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.

設一元二次方程如2+阮+。=0（。彳0）的兩實根為百,％2，且f（x）=ax2+bx+c,從以下四個

h

方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：%=--③判別式：A④端點函數(shù)值符號.

/（外>0

f（k次0

③OofU）<0

⑤有且僅有一個根Xi(或范)滿足或X2)〈他。<0,并同時考慮，優(yōu))=0或/優(yōu))=0

這兩種情況是否也符合

@k\<xt<k2^p\<x2<piQ

此結(jié)論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)+Z?x+c(a力0)在閉區(qū)間［p,g］上的最值

設/(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值為A7,最小值為〃2,令x()=g(p+q).

(I)當。>0時(開口向上)

hI)bb

①若----<p,則m=/(p)②若p<----Wq,則加=/(-----)③若---->q,則加=/(〃)

2a2a2a2a

(II)當a<0時(開口向下)

hhhh

①若一一<〃，則"=/(〃)②若〃<——<q則M=-一)③若——>q,則M=

2a2a92a2a

第三章函數(shù)的應用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù)y=f(x)(xeD),把使f(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(xGD)

的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0實數(shù)根，亦即函數(shù)丁=/(x)的圖象與x軸

交點的橫坐標。即：

方程/(%)=0有實數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點o函數(shù)y=f(x)有零點.

3,函數(shù)零點的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實數(shù)根；

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的

性質(zhì)找出零點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)y=ax2+hx+c{a豐0).

1)△>0,方程a/+法+c=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與X軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個

零點.

2)△=0,方程G?+6x+c=o有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次

函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

3)△<0,方程內(nèi)2+云+。=0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點.

高中數(shù)學必修2知識點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

頂點

底面

(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這

些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCDE-AECDE'或用對角線的端點字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的

截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐P-AZ'C萬E'

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的

平方。

(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺P-A'B'C'DZ'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行：③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。

(6)圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

(1).平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸：

(2).平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

(3).畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(-)空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積S=2m7+2m，3圓錐的表面積S=+

4圓臺的表面積S="/+"2+成/+成25球的表面積5=4成2

(-)空間幾何體的體積

1柱體的體積丫=5底*〃2錐體的體積V=底X"

3臺體的體積3=；(5卜下+S〉)xJ4球體的體積

43

V=—獻

第二章直線與平面的位置關系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂

點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，

符號表示為