貴州省銅仁市2025屆高三下學(xué)期第三次模擬考試（4月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1貴州省銅仁市2025屆高三下學(xué)期第三次模擬考試（4月）數(shù)學(xué)試題一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于不等式，可得，解得，所以，，元素個(gè)數(shù)為.故選：B2.若復(fù)數(shù)純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】已知是純虛數(shù)，則實(shí)部，解得，且虛部，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足，故選：D3.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向量在上的投影向量為．，，則故選：A．4.在處理一組數(shù)據(jù)時(shí)，若未計(jì)入數(shù)值9，計(jì)算所得的平均值為9，方差為3．若將數(shù)值9納入分析，則該組數(shù)據(jù)（）A.平均數(shù)等于9，方差等于3 B.平均數(shù)等于9，方差小于3C.平均數(shù)大于9，方差小于3 D.平均數(shù)小于9，方差大于3【答案】B【解析】設(shè)末計(jì)入9時(shí)的數(shù)據(jù)有個(gè)，這些數(shù)的和為，那么加入9后，數(shù)據(jù)總和為，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)變?yōu)?，新的平均?shù)為．根據(jù)方差公式，加入9后，，且分母增大，所以方差變小.故選：B．5.隨機(jī)變量，若，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.12 B.15 C.16 D.20【答案】B【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由，可得，即，解得．則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以的系數(shù)為.故選：B．6.在三棱錐中，已知平面，，．若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槠矫?，，，，所以，即．把三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)就是外接球的直徑．根據(jù)長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)公式，則，球的體積.故選：C．7.已知是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)．若，且，則的漸近線(xiàn)夾角的正切值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)?，，，在中，，所以，，則由雙曲線(xiàn)定義可得，，又，即，，聯(lián)立可解得：，．由勾股定理可知：，即，由平方關(guān)系可知：，雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為，設(shè)的傾斜角為，則，漸近線(xiàn)夾角（指銳角）的正切值為：.故選：C．8.已知函數(shù)，．用表示的最大值，記．若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，故，從而對(duì)和均有.這表明在和上均單調(diào)遞增，從而在上遞增.由于，故.①若，則，且等號(hào)至多對(duì)成立，所以在上單調(diào)遞減.這就意味著對(duì)有，對(duì)有，從而始終有成立，滿(mǎn)足條件；②若，取，使得，則對(duì)有，從而在上遞增.這就意味著有，，所以，不滿(mǎn)足條件.綜合①②兩個(gè)方面可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.是的對(duì)稱(chēng)軸C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.是有實(shí)根的充要條件【答案】AC【解析】對(duì)于進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)平方差公式可得．對(duì)于A，根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式，可得最小正周期，故A正確．對(duì)于B，，而余弦函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸處函數(shù)值應(yīng)為，所以不是的對(duì)稱(chēng)軸，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確．對(duì)于D，的值域是，所以是有實(shí)根的充要條件，故D錯(cuò)誤．故選：AC.10.已知圓，圓，則（）A.B.若，則圓與圓有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)C.若圓與圓的相交弦長(zhǎng)為4，則D.當(dāng)時(shí)，若動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡方程為【答案】ABC【解析】對(duì)于圓，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，因?yàn)榘霃?，所以，A正確,若，圓，圓心，半徑,圓，圓心，半徑．兩圓心間距離，則兩圓外切，所以?xún)蓤A有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，B正確，若圓與圓的相交弦長(zhǎng)為4，因?yàn)閳A的直徑為4，所以相交弦為圓的直徑，即兩圓的公共弦所在直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，由兩式相減可得，，將代入得，C正確，當(dāng)時(shí)，圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑．設(shè)動(dòng)圓的半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則，，所以，根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，，可得，其軌跡方程為，D錯(cuò)誤．故選：ABC.11.已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)上，其中是各項(xiàng)均不為零的數(shù)列且．若，則（）A. B.數(shù)列為等差數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，，拋物線(xiàn)方程為，又在拋物線(xiàn)上，則，，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，則，即，又，，則，A正確．對(duì)于數(shù)列，，不是常數(shù)，數(shù)列不是等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，故C正確，，故D正確．故選：ACD三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為3，則的單調(diào)減區(qū)間是______．【答案】【解析】已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為3，所以將代入函數(shù)得，即，解得．所以，所以，令，即，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間是.故答案：.13.數(shù)列滿(mǎn)足，若，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則，不妨取，．由，可得，，，，可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列．，所以，則．故答案為：14.一袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，現(xiàn)從中任意取出一球，然后放回并放入2個(gè)與取出的球顏色相同的球，再?gòu)拇腥我馊〕鲆磺?，然后放回并再放?個(gè)與取出的球顏色相同的球，一直重復(fù)相同的操作，則第二次取出的球是黑球的概率為_(kāi)_____；在第一次取出的球是紅球的條件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率為_(kāi)_____．【答案】①.②.【解析】記表示第次取到黑球，，；，，，.故答案為：.四、解答題（共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知在中，，其中內(nèi)角的對(duì)邊分別為．（1）求角的大小；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的最大值．解：（1）由正弦定理（為外接圓半徑），將，代入，可得，化簡(jiǎn)后得到，即．根據(jù)余弦定理，把代入可得．因?yàn)?，所以；?）在中，根據(jù)余弦定理．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，設(shè)，已知，則，即．根據(jù)基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．將代入，可得，解得，，滿(mǎn)足條件，所以的最大值為18．16.已知函數(shù)．（1）若，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）若函數(shù)有極小值，且極小值不大于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程：當(dāng)時(shí)，．對(duì)求導(dǎo)，可得．把代入和．切線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式為（其中為切點(diǎn)坐標(biāo)，為切線(xiàn)斜率），所以切線(xiàn)方程為，即．（2）對(duì)求導(dǎo)得．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意．當(dāng)時(shí)，令，即，解得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以在處取得極小值，．因?yàn)榈臉O小值不大于0，即．令，對(duì)求導(dǎo)得．令，解得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以在處取得最大值．且當(dāng)或時(shí)，，因此對(duì)于，均有所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．17.如圖，在三棱柱中，四邊形是棱長(zhǎng)為2的菱形，，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，恒成立．（1）若分別為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)平面；（2）已知三棱柱的體積為2，求面與面夾角的余弦值．（1）證明：連接、，在三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則為與的交點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以直線(xiàn)平面；（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，恒成立，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槿庵捏w積為，設(shè)三棱柱的高為，所以，因?yàn)樗倪呅问抢忾L(zhǎng)為2的菱形，，所以，所以，所以平面，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，所以，設(shè)平面的法向量，則，取，所以，設(shè)面與面夾角為，則，所以面與面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為6，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，（?。┊?dāng)時(shí)，求面積的取值范圍；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：．解：（1）因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)，所以．又離心率，且，把代入，得，再結(jié)合，即，可得，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（?。┊?dāng)時(shí)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，．聯(lián)立，消去得．，則，．．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．．令，則，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)），所以．（ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)，，則，則；當(dāng)直線(xiàn)的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，由（i）知，，，則，，則，令，由，則該函數(shù)是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，則，所以恒成立，又，則.綜上所述，.19.近年來(lái)，睡眠質(zhì)量對(duì)健康的影響備受關(guān)注，研究表明，良好的睡眠習(xí)慣可以顯著降低焦慮和抑郁的發(fā)生率，同時(shí)提高免疫力．（1）某社區(qū)為推廣健康睡眠，開(kāi)展了“早睡一小時(shí)”活動(dòng)，鼓勵(lì)居民每晚提前一小時(shí)入睡．下表為活動(dòng)開(kāi)展后近5個(gè)月社區(qū)居民的睡眠改善情況統(tǒng)計(jì)．月份12345睡眠質(zhì)量顯著改善人數(shù)280250200160110若睡眠質(zhì)量顯著改善人數(shù)與月份變量()具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系(月份變量依次為)，請(qǐng)預(yù)測(cè)第6個(gè)月睡眠質(zhì)量顯著改善的大約有多少人？（2）該社區(qū)將參加“早睡一小時(shí)”活動(dòng)的居民分成了甲、乙、丙三組進(jìn)行挑戰(zhàn)賽，其規(guī)則如下：挑戰(zhàn)權(quán)在任何一組，該組都可向另外兩組發(fā)起挑戰(zhàn)，首先由甲組先發(fā)起挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)乙組、丙組的概率均為，若甲組挑戰(zhàn)乙組，則下次挑戰(zhàn)權(quán)在乙組．若挑戰(zhàn)權(quán)在乙組，則挑戰(zhàn)甲組、丙組的概率分別為；若挑戰(zhàn)權(quán)在丙組，則挑戰(zhàn)甲組、乙組的概率分別為．(ⅰ)經(jīng)過(guò)3次挑戰(zhàn)，求挑戰(zhàn)權(quán)在乙組的次數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；(ⅱ)定義：已知數(shù)列，若對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么小)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，(是一個(gè)確定的實(shí)數(shù))，則稱(chēng)數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，稱(chēng)為數(shù)列的聚點(diǎn)．經(jīng)過(guò)次挑戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權(quán)在甲組的概率為，證明數(shù)列為“聚點(diǎn)數(shù)列”，并求出聚點(diǎn)的值．附：回歸方程中斜率和截距