河北省保定市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省保定市2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，解得，所以，所以.故選：D2.已知向量，且，則的值為（）A.4 B. C.4或 D.2【答案】C【解析】，，兩邊平方后化簡可得或.故選：C3.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C.12 D.14【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以.故選：A4.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，又，所以，故選：B5.函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值可以是（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】令得，當(dāng)時(shí)，，則，令，所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以函數(shù)在處取得極大值，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，則時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；綜上，與函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即函數(shù)有且只有三個(gè)零點(diǎn)時(shí).所以的取值可以是.故選：D6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，為的重心，且尚，則的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由題：，設(shè)，由拋物線定義知：，又為的重心，所以，所以，故選：B.7.已知三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球表面積（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，，，所以，所以.設(shè)外接圓半徑為，則.又平面，且，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則.所以三棱錐的外接球表面積為：.故選：D8.在中，，為邊的中點(diǎn)，且，則的最大值為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，兩邊平方可得，已知，，則，所以，即，設(shè)，，則，令，則，代入可得：，將其看作關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)榇嬖?，所以判別式，即，，，，解得，故的最大值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.設(shè)是隨機(jī)變量，若，則B.已知某組數(shù)據(jù)分別為1，2，3，5，6，6，7，9，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為6C.二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為D.設(shè)是隨機(jī)變量，若，則【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：若，則，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：1，2，3，5，6，6，7，9，這組數(shù)據(jù)已按從小到大排好序，共有8個(gè)數(shù)據(jù)，上四分位數(shù)是第百分位數(shù)，因?yàn)?，結(jié)果是整數(shù)，所以百分位數(shù)是這組數(shù)據(jù)中第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，解得，展開式的第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：若，則，所以中，，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)最小正周期為B.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱D.函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】函數(shù)，對(duì)于A選項(xiàng)：∵，∴，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：令，解得，∴是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)：平移后的函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，∴，要想函數(shù)不單調(diào)，則，∴，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個(gè)不等實(shí)根，它們分別為，，2，則（）A.實(shí)數(shù)為0 B.為定值C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以方程有兩個(gè)解：故A正確；其中一個(gè)根為0，即，另一根：.所以，又方程有3個(gè)不等實(shí)根，它們分別為，，2.所以.由為定值，故B正確.又.由.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以只有兩個(gè)根，與有3個(gè)不等實(shí)根矛盾，所以.因?yàn)?，因?yàn)椋?，無法確定，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分；共計(jì)15分.12.設(shè)是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則______．【答案】【解析】由題：，又是第二象限角，所以，所以，故答案為：.13.已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與其中一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作另一條漸近線的垂線，點(diǎn)恰在此垂線上，則雙曲線的離心率為______．【答案】2【解析】如圖，設(shè)為與漸近線的交點(diǎn)，由題意：，，所以Q是線段的中點(diǎn)，所以.又直線，是雙曲線的漸近線，由雙曲線對(duì)稱性知，所以，所以，所以，所以離心率故答案為：214.現(xiàn)有n個(gè)串聯(lián)的信號(hào)處理器單向傳輸信號(hào)，處理器的工作為：接收信號(hào)——處理并產(chǎn)生新信號(hào)——發(fā)射新信號(hào)．當(dāng)處理器接收到一個(gè)A類信號(hào)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)A類信號(hào)和一個(gè)B類信號(hào)并全部發(fā)射至下一個(gè)處理器；當(dāng)處理器接收到一個(gè)B類信號(hào)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)A類信號(hào)和兩個(gè)B類信號(hào)，產(chǎn)生的B類信號(hào)全部發(fā)射至下一個(gè)處理器，但由接收B類信號(hào)直接產(chǎn)生的所有A類信號(hào)只發(fā)射一個(gè)至下一個(gè)處理器．當(dāng)?shù)谝粋€(gè)處理器只發(fā)射一個(gè)A類信號(hào)至第二個(gè)處理器，按上述規(guī)則依次類推，若第n個(gè)處理器發(fā)射的B類信號(hào)數(shù)量記作，即，則______，數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【答案】①.②.【解析】設(shè)第個(gè)處理器發(fā)射的類信號(hào)數(shù)量記作，則，由題意，當(dāng)時(shí)，第個(gè)處理器發(fā)射的類信號(hào)數(shù)量為，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，故當(dāng)時(shí)，，可得，又，所以數(shù)列從第二項(xiàng)開始是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，上式不成立，所以.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在四棱錐中，底面菱形，．（1）若，證明：平面平面；（2）若平面平面，且二面角的大小為，求的值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，四邊形是菱形，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）解：過作于點(diǎn)，連接，由（1）可知，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，又二面角的大小為，所以，在中，可得，所以，在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）函數(shù)定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.為測(cè)試某人工智能機(jī)器人在動(dòng)態(tài)環(huán)境中執(zhí)行路徑規(guī)劃的能力，命令該人工智能機(jī)器人在動(dòng)態(tài)環(huán)境中執(zhí)行路徑規(guī)劃任務(wù)，任務(wù)規(guī)則如下：該機(jī)器人需要依次通過5個(gè)關(guān)鍵區(qū)域，成功通過3個(gè)區(qū)域即認(rèn)為其完成任務(wù)，每個(gè)區(qū)域存在動(dòng)態(tài)障礙物，機(jī)器人成功通過一個(gè)區(qū)域的概率為，被障礙物阻擋的概率為．每成功通過一個(gè)區(qū)域得6分，每被障礙物阻擋一次扣3分，每個(gè)區(qū)域的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，若機(jī)器人累計(jì)成功通過3個(gè)區(qū)域，任務(wù)提前結(jié)束，若機(jī)器人被障礙物阻擋的次數(shù)達(dá)到3次，則任務(wù)無法完成，任務(wù)結(jié)束．（1）若任務(wù)在過第4個(gè)區(qū)域后終止且人工智能機(jī)器人完成任務(wù)，求此事件的概率；（2）記任務(wù)結(jié)束時(shí)該人工智能機(jī)器人的總得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）在過第4個(gè)區(qū)域后終止任務(wù)且人工智能機(jī)器人完成任務(wù)，所以機(jī)器人通過了第4個(gè)區(qū)域，且前3個(gè)區(qū)域通過2個(gè)區(qū)域、被阻擋1區(qū)域，故事件概率為.（2）由題意，總得分X的可能值為，前3次都成功通過，此時(shí)，則；前3次有2次成功通過、1次被阻擋，第4次成功通過，此時(shí)，則；前4次有2次成功通過、2次被阻擋，第5次成功通過，此時(shí)，則；前4次有2次成功通過、2次被阻擋，第5次被阻擋，此時(shí)，則；前3次有1次成功通過、2次被阻擋，第4次被阻擋，此時(shí)，則；前3次都被阻擋，此時(shí)，則；所以分布列如下，1815123則.18.已知橢圓過兩點(diǎn)，橢圓的所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓上，稱此圓為橢圓的蒙日?qǐng)A．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）矩形為橢圓的外切矩形，求矩形面積的取值范圍；（3）過橢圓的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且直線的斜率都存在，證明：為定值．（1）解：由題得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：當(dāng)外切矩形四邊所在切線存在斜率不存在時(shí)，此時(shí)矩形面積為；當(dāng)外切矩形四邊所在切線斜率都存在時(shí)，則可設(shè)切線，聯(lián)立，則，由題可設(shè)切線，同理可得，切線和距離為；由題可設(shè)切線，聯(lián)立，則，由題可設(shè)切線，同理可得，切線和距離為；所以由對(duì)稱性可得矩形面積為，令，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立時(shí)，所以，則，綜上，矩形面積的取值范圍為.（3）證明：設(shè)切線，聯(lián)立，則，此時(shí)，所以斜率，同理可得，所以為定值.19.數(shù)學(xué)中的數(shù)除了實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)之外，還有四元數(shù).一般地，形如的數(shù)為四元數(shù)，其中都是實(shí)數(shù)，都是虛數(shù)單位，這些虛數(shù)單位滿足.其中的模為，的