2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：三角形及全等三角形 （原卷版）

專題08三角形及全等三角形

目錄

01理?思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤.基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一：三角形

知識(shí)模塊二：全等三角形

03究?考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：三角形的穩(wěn)定性

考點(diǎn)二：與五線有關(guān)的計(jì)算

考點(diǎn)三：與五線有關(guān)的作圖問(wèn)題

考點(diǎn)四：利用三角形三邊關(guān)系求解

考點(diǎn)五：三角形內(nèi)角和定理與外角和定理的綜合考點(diǎn)六：利用全等三角形的性質(zhì)求解【熱考】

考點(diǎn)七：全等三角形證明方法的合理選擇

考點(diǎn)八：利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題考點(diǎn)九：利用全等三角形解決實(shí)際問(wèn)題

考點(diǎn)十：全等三角形與相似三角形綜合

04破,重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（5大重難點(diǎn)）

重難點(diǎn)一：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-構(gòu)造平行線

重難點(diǎn)二：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-構(gòu)造垂線

重難點(diǎn)三：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-倍長(zhǎng)中線法

重難點(diǎn)四：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-截長(zhǎng)補(bǔ)短法

重難點(diǎn)五：與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-一線三等角【熱考】

重難點(diǎn)六：與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-手拉手模型【熱考】

05辨?易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（4大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：對(duì)三角形的高理解不到位

易錯(cuò)點(diǎn)2：與三角形高有關(guān)的分類討論問(wèn)題

易錯(cuò)點(diǎn)3：在等腰三角形中，忽略三邊關(guān)系而致錯(cuò)【失分點(diǎn)】

易錯(cuò)點(diǎn)4：未掌握全等三角形的判定定理

1

思維早襟

高面點(diǎn)到對(duì)邊的垂鰻

頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)的線段

中線/------

------《重心三條中線的交點(diǎn)

五線

/~4c

角平分線

中位線三角形中位線平行第三邊且等于第三邊的一半

垂直平分線經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)與線段垂直的直線

不等腰，等腰，等邊

知識(shí)梳理按邊分

按角分銳角、直角、鈍角

對(duì)應(yīng)邊相等

對(duì)應(yīng)角相等

周長(zhǎng)、面積相等

\全等對(duì)應(yīng)的角平分線，中線，高相等

一般三角形SSS,SAS,ASA,AAS

判定

------《直角三角形HL

三角形及全等三角形我第三邊SSS

已知兩邊找?jiàn)A角SAS

找直角HL

一邊為角的對(duì)邊找另一角AAS

判定兩個(gè)已知一邊、一角找?jiàn)A角的另一邊SAS

三角形全

是角的鄰邊找?jiàn)A邊的另一角ASA

等的思路

我邊的對(duì)角AAS

找?jiàn)A邊ASA

學(xué)法指導(dǎo)已知兩角

找其中一角的對(duì)邊AAS

判斷三條線段能否組成三角形最短的兩邊之和〉第三邊

利用三角形全等證明線段的和/差截長(zhǎng)補(bǔ)短法

三角股卜角定理碉侖是"角"轉(zhuǎn)換的有效工具

技能提升

構(gòu)造三角形，利用三角形全等，是證明線段相等或角相等的常規(guī)方

法

［已知中點(diǎn)/中線倍長(zhǎng)中線法

知識(shí)模塊一：三角形

知識(shí)點(diǎn)一：三角形的相關(guān)概念

三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

三角形的表示：用符號(hào)表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“AABC”，讀作“三角形ABC”.

【補(bǔ)充】三角形的表示方法中代表“三角形”，后邊的字母為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，字母的順序可以自

2

由安排，即AABC,AACB等均為同一個(gè)三角形.

三角形的穩(wěn)定性：三角形三條邊確定之后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)

定性.

【補(bǔ)充】四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣

多邊形就具有穩(wěn)定性了.

三角形三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊.

三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用：

1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說(shuō)明能組成三角形.

2）已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a,b,求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|a-b|<c<a+b

3）所有通過(guò)周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形.

知識(shí)點(diǎn)二：與三角形的有關(guān)線段（掌握）

類型三角形的高三角形的中線三角形的角平分線

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)

文字三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中

邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的

語(yǔ)言點(diǎn)的線段.

足之間的線段.線段.

AAA

圖形

語(yǔ)言

DDD

VAD是AABC中BC邊的高VAD是AABC中BC邊的中線VAD是AABC中NBAC的角平分線

性質(zhì)

???ZADB=ZADC=90°==1

ABD=CDSAABDSAADC^~SAABCZBAD=ZDAC=-ZBAC

2

2

用途

1）線段垂直.2）角度相等.1）線段相等.2）面積相等.角度相等.

舉例

類型三角形的中位線三角形的垂直平分線

文字

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線

語(yǔ)言

圖形

語(yǔ)言小

3

VDE是AABC的中位線??,直線1是AB的垂直平分線

性質(zhì)

.\DE=-BCDE//BC???PA=PB,AC=BC,ZPCA=ZPCB=90°

2

用途

1）線段平行.2）線段關(guān)系.1）線段相等.2）角度相等.

舉例

知識(shí)點(diǎn)三：與三角形有關(guān)的角（掌握）

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180。.

推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

1）在三角形中，己知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

2）在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

3）在直角三角形中，已知一個(gè)銳角的度數(shù)，可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).

三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360。.

三角形的外角的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

知識(shí)模塊二：全等三角形

知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形的概念

全等圖形的概念：能完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形.

特征：①形狀相同.②大小相等.③對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.④周長(zhǎng)、面積相等.

全等三角形的概念：能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

【補(bǔ)充】

1）全等三角形是特殊的全等圖形，同樣的，判斷兩個(gè)三角形是否為全等三角形，主要看這兩個(gè)三角形的形

狀和大小是否完全相同，與它們所處的位置無(wú)關(guān).

2）形狀相同的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，面積相同的兩個(gè)圖形也不一定是全等圖形.

全等三角形的表示：全等用符號(hào)“0”，讀作“全等于”.

【補(bǔ)充】書寫三角形全等時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母要寫在對(duì)應(yīng)位置上.如4ABC和4DEF全等，記作4ABC

4

^△DEF,讀作AABC全等于ADEF.

全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換.

常見(jiàn)的全等變換：平移變換、翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換，即過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與原圖形是全等

圖形.

知識(shí)點(diǎn)二：全等三角形的性質(zhì)與判定

全等三角形的性質(zhì)：1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等.

3）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等（但周長(zhǎng)或面積相等的三角形不一定是全等三角形）.

全等三角形的判定：

1）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；

5）斜邊、直角邊：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

【總結(jié)】從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)

元素（其中至少有一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的

邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路.

考點(diǎn)一：三角形的穩(wěn)定性

1.（2023?吉林?中考真題）如圖，鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是

5

2.（2022?廣東?中考真題）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）.

A.三角形B.長(zhǎng)方形C.正方形D.平行四邊形

3.（2024?吉林長(zhǎng)春?一模）四邊形結(jié)構(gòu)在生活實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，如圖所示的升降機(jī)，通過(guò)控制平行

四邊形形狀的升降桿，使升降機(jī)降低或升高，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（）

A.平行四邊形的對(duì)邊相等B.平行四邊形的對(duì)角相等

C.四邊形的不穩(wěn)定性D.四邊形的內(nèi)角和等于360。

考點(diǎn)二：與五線有關(guān)的計(jì)算

1.（2024?山東德州?中考真題）如圖，在AdBC中，4。是高，4E是中線，AD=4,S^ABC=12,貝UBE的長(zhǎng)

C.4D.6

2.（2022.貴州安順.中考真題）如圖，在△ABC中，AC=2或，4ACB=120°,。是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上

一點(diǎn)，若DE平分ATIBC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)為（）

6

3.（2021?遼寧阜新?中考真題）如圖，直線4B〃CD,一塊含有30。角的直角三角尺頂點(diǎn)E位于直線C。上,

EG平分乙CEF,則N1的度數(shù)為°.

4.（2024?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑

作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F,作直線EF,再以點(diǎn)A為圓心，以4。的長(zhǎng)為半徑作弧交直線EF于點(diǎn)G（點(diǎn)G在正

方形力BCD內(nèi)部），連接DG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)K.若BK=2,則正方形ABC。的邊長(zhǎng)為（）

A.V2+1B.-C.—D.V3+1

22

5.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，團(tuán)4BCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AC=4.若

EUBCD的周長(zhǎng)為12,則△COE的周長(zhǎng)為（）

BEC

7

A.4B.5C.6D.8

考點(diǎn)三：與五線有關(guān)的作圖問(wèn)題

1.(2024?黑龍江綏化?中考真題)已知：AABC.

(1)尺規(guī)作圖：畫出△28C的重心G.(保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明)

⑵在(1)的條件下，連接4G,BG.己知A/IBG的面積等于5cm2,則△ABC的面積是cm2.

2.(2024.湖北武漢.模擬預(yù)測(cè))如圖是由小正方形組成的7X5網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).AABC

的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn).僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過(guò)程用虛線表示.

(1)在圖1中，BD平分N4BC交邊力C于點(diǎn)D,先畫出△力BC的角平分線力E,再在射線BD上畫點(diǎn)尸，連接2F,

使得”=沙1;

(2)在圖2中，先畫AaBC的高再畫N4F7C的平分線HP.

3.(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小

正方形的邊長(zhǎng)均為1,AABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)G是圖③中邊4C上的任意一點(diǎn)：只用無(wú)刻度的直尺按

下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中作邊BC上的高2D；

(2)在圖②中作△ABC的中位線EF,使點(diǎn)E、尸分別在邊4C、4B上;

(3)在圖③中4ABC的邊4B上找到一點(diǎn)H,使4"=AG.

8

考點(diǎn)四：利用三角形三邊關(guān)系求解

1.（2023?江蘇鹽城?中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長(zhǎng)度（單位：cm）,其中能搭成一個(gè)三

角形的是（）

A.5,7,12B.7,7,15C.6,9,16D.6,8,12

2（2023?山東?中考真題）在△48C中，BC=3,AC=4,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.1<AB<7B.SAABC<6

C.AABC內(nèi)切圓的半徑r<1D.當(dāng)=時(shí)，AABC是直角三角形

3.（2023?河北?中考真題）四邊形4BCO的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線4c的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)

△力8C為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線4C的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.5

考點(diǎn)五：三角形內(nèi)角和定理與外角和定理的綜合

1.（2024?天津?中考真題）如圖，Rt△力BC中，ZC=90°,ZB=40°,以點(diǎn)4為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，

交4B于點(diǎn)E,交2C于點(diǎn)F；再分別以點(diǎn)民尸為圓心，大于［EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑相等）

在484c的內(nèi)部相交于點(diǎn)P；畫射線2P,與相交于點(diǎn)D,貝|乙4。。的大小為（）

2.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，△2BC中，N8CD=30。，^ACB=80°,CD是邊4B上的高，2E是NdB

的平分線，貝亞/lEB的度數(shù)是.

9

c

3.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，在△力BC中，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D交AB于點(diǎn)E.連接CE.若

CE=CA,/.ACE=40°,則N8的度數(shù)為.

考點(diǎn)六：利用全等三角形的性質(zhì)求解

1.（2024.四川資陽(yáng)?中考真題）第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（JCME-14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案

來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（A/IBE,4BCF,

ACDG,ADAH）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF：AH=1：3,則sinN力BE=（）

A,匹BD*

5-1

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，在AABC中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,1）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,4）,

點(diǎn)。在第一象限（不與點(diǎn)C重合），且△4BD與△ABC全等，點(diǎn)。的坐標(biāo)是

10

3.（2024?四川遂寧?中考真題）如圖1,A4BC與44祖6滿足〃=Z.Ar,AC=A^,BC=8心，“*zC1；

我們稱這樣的兩個(gè)三角形為“偽全等三角形”如圖2,在小4BC中,AB=AC,點(diǎn)、D,E在線段BC上,且BE=CD,

則圖中共有“偽全等三角形”（）

考點(diǎn)七：全等三角形證明方法的合理選擇

1.（2024.江蘇徐州?中考真題）己知：如圖，四邊形48CD為正方形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接E4EC.

⑴求證：4EAB34ECB；

（2）若N&EC=45°,求證：DC=DE.

2.（2023?四川綿陽(yáng)?中考真題）如圖，固4BCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸在力C上，且4E=CF.

⑴求證：BE||DF；

（2）過(guò)點(diǎn)。作。MlBD,垂足為。，交DF于點(diǎn)M,若ABFM的周長(zhǎng)為12,求四邊形BEDF的周長(zhǎng).

3.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，△ABC中，AACB=90°,點(diǎn)。為AC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，。。為

半徑作圓與力B相切于點(diǎn)D,連接CD.

11

⑴求證：/-ABC=2^ACD；

（2）若AC=8,BC=6,求。。的半徑.

考點(diǎn)八：利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題

1.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，RtAABC中，^ABC=90°,分別以頂點(diǎn)A,C為圓心，大于|aC的長(zhǎng)

為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,作直線MN分別與BC,4C交于點(diǎn)E和點(diǎn)F；以點(diǎn)A為圓心，任意

長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交48,AC于點(diǎn)H和點(diǎn)G,再分別以點(diǎn)H,點(diǎn)G為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧

交于點(diǎn)P，作射線4P,若射線4P恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,則下列四個(gè)結(jié)論：①NC=30。；②4P垂直平分線段BF；

③C￡=2BE；@S^-^S.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

BEF6AABC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2024?北京?中考真題）如圖，在菱形48CD中，Z.BAD=60°,。為對(duì)角線的交點(diǎn).將菱形A8CD繞點(diǎn)。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到菱形ABO,兩個(gè)菱形的公共點(diǎn)為E,F,G,從對(duì)八邊形給出下面四個(gè)結(jié)

論：①該八邊形各邊長(zhǎng)都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點(diǎn)。到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；

④點(diǎn)。到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

3.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，△力BC和AaDE是以點(diǎn)力為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把AADE以4

為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M為射線BD、CE的交點(diǎn).若力B=?AD=1.以下結(jié)論：①BD=CE；②BD1CE；

12

③當(dāng)點(diǎn)E在B4的延長(zhǎng)線上時(shí)，MC=萼；④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段MB最短時(shí)，AMBC的面積為/其中

C.3個(gè)D.4個(gè)

考點(diǎn)九：利用全等三角形解決實(shí)際問(wèn)題

1.（2024?山東?中考真題）【實(shí)踐課題】測(cè)量湖邊觀測(cè)點(diǎn)4和湖心島上鳥(niǎo)類棲息點(diǎn)P之間的距離

【實(shí)踐工具】皮尺、測(cè)角儀等測(cè)量工具

【實(shí)踐活動(dòng)】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)B.測(cè)量A,B兩點(diǎn)間的距離以及NP4B和

4PBA,測(cè)量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：4B=60米，4PAB=79°,Z.PBA=64°.畫出示意圖，如圖

圖I

【問(wèn)題解決】（1）計(jì)算4P兩點(diǎn)間的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin64°?0.90,sin79°?0.98,cos79°?0.19,sin37°?0.60,tan37°?0.75）

【交流研討】甲小組回班匯報(bào)后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2,選擇合適的點(diǎn)D,E,F,使得4D,E在同一條直線上，S.AD=DE,乙DEF=LDAP,當(dāng)F,D,

P在同一條直線上時(shí)，只需測(cè)量EF即可.

13

D

F

圖2

（2）乙小組的方案用到了.（填寫正確答案的序號(hào)）

①解直角三角形②三角形全等

【教師評(píng)價(jià)】甲、乙兩小組的方案都很好，對(duì)于實(shí)際測(cè)量，要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)地形狀況選擇可實(shí)施的方案.

2.（2024?四川宜賓?中考真題）宜賓地標(biāo)廣場(chǎng)位于三江匯合口（如圖1,左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面

是長(zhǎng)江）.某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐中測(cè)量長(zhǎng)江口的寬度，他在長(zhǎng)江口的兩岸選擇兩個(gè)標(biāo)點(diǎn)C、D,在地標(biāo)廣場(chǎng)上

選擇兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A、B（點(diǎn)A、B、C、。在同一水平面，且4B||CD）.如圖2所示，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C在

北偏西18.17。方向上，測(cè)得點(diǎn)。在北偏東21.34。方向上；在2處測(cè)得點(diǎn)C在北偏西21.34。方向上，測(cè)得點(diǎn)。

在北偏東18.17。方向上，測(cè)得2B=100米.求長(zhǎng)江口的寬度CD的值（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：

sinl8.17°x0.31,cosl8.17°?0.95,tanl8.17°?0.33,sin21.34°-0.36,cos21.34°-0.93,tan21.34°-0.39）

圖1圖2

3.（2024?河北石家莊.模擬預(yù)測(cè)）小亮想測(cè)量屋前池塘的寬度，他結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如圖1的

測(cè)量方案：先在池塘外的空地上任取一點(diǎn)O,連接4。，CO,并分別延長(zhǎng)至點(diǎn)B,點(diǎn)D,使。B=OA,0D=0C,

連接8D.

J4

c

o

DE

備用圖

⑴如圖1,①求證：AC=BD；②若44=35。，乙4OC=90。，貝此。='

(2)如圖2,但在實(shí)際測(cè)量中，受地形條件的影響，于是小亮采取以下措施：延長(zhǎng)CO至點(diǎn)Z),使0。=。。,

過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線。E,延長(zhǎng)40至點(diǎn)F,連接EF,測(cè)得NDEF=120°,/.OFE=90°,DE=5m,EF=9m,

請(qǐng)求出池塘寬度4c.

考點(diǎn)十：全等三角形與相似三角形綜合

1.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖，正方形48CD中，28=3,點(diǎn)E在邊4。上，DE=24E,F是8E的中

點(diǎn)，點(diǎn)H在CD邊上，AEFH=45°,貝的長(zhǎng)為().

2月

3

2.(2024.四川?中考真題)如圖，在四邊形4BCD中，N力=90。，連接BD,過(guò)點(diǎn)C作CE14B,垂足為E,CE交

BD于點(diǎn)F,zl=AABC.

(1)求證：z2=Z3；

(2)若N4=45°.

①請(qǐng)判斷線段BC,的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

15

②若BC=13,AD=5,求E尸的長(zhǎng).

3.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在團(tuán)4BCD中，乙4BC為銳角，點(diǎn)E在邊4D上，連接BE,CE,且〃加；=

SAOCE?

（1）如圖1,若F是邊BC的中點(diǎn)，連接EF,對(duì)角線AC分別與BE,EF相交于點(diǎn)G,”.

①求證：H是4C的中點(diǎn)；

②求4G:G//://C；

（2）如圖2,BE的延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M,連接力M,CE的延長(zhǎng)線與2M相交于點(diǎn)N.試探究線段AM與

線段4N之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

重難點(diǎn)一：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-構(gòu)造平行線

1.（2024葫蘆島市模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題初探】

（1）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在A/IBC中，=4C,點(diǎn)F是4C上一點(diǎn)，點(diǎn)E是

延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接EF,交BC于點(diǎn)D,若ED=DF,求證：BE=CF.

圖1

①如圖2,小樂(lè)同學(xué)從中點(diǎn)的角度，給出了如下解題思路：在線段DC上截取DM,使DM=8。，連接FM,

利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出結(jié)論；

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A

②如圖3,小亮同學(xué)從平行線的角度給出了另一種解題思路：過(guò)點(diǎn)E作EM||4。交。8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)",利

用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出了結(jié)論；

請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的解題思路，寫出證明過(guò)程；

【類比分析】

(2)李老師發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的做法非常巧妙，為了讓同學(xué)們更好的理解這種轉(zhuǎn)化的思想方法，李老師提出了

新的問(wèn)題，請(qǐng)你解答，

如圖4,在4ABC中，點(diǎn)E在線段力B上，。是BC的中點(diǎn)，連接CE,AD,CE與40相交于點(diǎn)N,若乙EAD+乙ANC=

180°,求證：AB=CN；

圖4

【學(xué)以致用】

(3)如圖5,在RtAABC中，^BAC=90°,zC=30°,4F平分NB4C,點(diǎn)E在線段B4的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，

過(guò)點(diǎn)E作EDIMF,交AC于點(diǎn)N,交BC于點(diǎn)、D,且BD=C。，請(qǐng)直接寫出線段AE,CN和BC之間的數(shù)量關(guān)

系.

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2.（2024?江蘇宿遷?模擬預(yù)測(cè)）【感知】（1）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖①，在AABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是4C的一個(gè)三等分點(diǎn)，S.AE=^AC.連結(jié)力D,BE交于點(diǎn)G,

錯(cuò)值?

小明發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)。作2c的平行線或過(guò)E作BC的平行線，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到問(wèn)題的答案.請(qǐng)你

根據(jù)小明的提示（或按自己的思路）寫出求解過(guò)程

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖②，在AABC中，。為AC上一點(diǎn)，4B=AD,連結(jié)BD,若4E1BD,交BD、BC于點(diǎn)E.F.^AD=9,

CD=3,AF=8,貝ME的長(zhǎng)為一.

【拓展提高】

（3）如圖③，在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AE、力C分別交于點(diǎn)G、

M,若胎=:若△BEG的面積為2,則△力8G的面積為

重難點(diǎn)二：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-構(gòu)造垂線

1.（2024?山東青島?中考真題）如圖，將正方形4BCD先向右平移，使點(diǎn)B與原點(diǎn)。重合，再將所得正方形

繞原點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到四邊形4BO,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)是（）

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A.(-1,-2)B.(—2,—1)C.(2,1)D.(1,2)

2.（2024?內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過(guò)小組討論，提出探究問(wèn)題.如

圖1,在AABC中，4B=4C,點(diǎn)。是4C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DE1BC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)ED交B4延長(zhǎng)線于

點(diǎn)?

圖1圖2

請(qǐng)你解決下面各組提出的問(wèn)題:

（1）求證：AD=AF；

⑵探究黑與喘的關(guān)系;

某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)黑=刎，^=1當(dāng)空=±時(shí)，竺J

DC3DE3DC5DE5

請(qǐng)你繼續(xù)探究:

①當(dāng)筆=:時(shí)，直接寫出第I勺值;

DCoDr,

②當(dāng)喧=陽(yáng)猜想器的值（用含m,”的式子表示），并證明;

（3）拓展應(yīng)用：在圖1中，過(guò)點(diǎn)P作FP1AC,垂足為點(diǎn)P,連接CF,得到圖2,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到使NACF=乙ACB

時(shí)，若冷拳直接寫喘的值（用含，”的式子表示）.

3.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在矩形48CD中，48=4,BC=8,點(diǎn)E是邊4。上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE,

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以CE為邊作矩形CEFG（點(diǎn)。，G在CE的同側(cè)），且CE=2EF,連結(jié)8F.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為力D邊的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)8,E,產(chǎn)在同一直線上，求BF的長(zhǎng).

（2）如圖2,若乙BCE=30°,設(shè)CE與BF交于點(diǎn)K.求證：BK=FK.

（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，B尸的長(zhǎng)是否存在最大（?。┲?？若存在，求出BF■的最值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

重難點(diǎn)三：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-倍長(zhǎng)中線法

1.（2024?吉林長(zhǎng)春.一模）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣的一個(gè)問(wèn)題:

如圖①，在△ABC中，AB=6,AC=8,第三邊上的中線4D=久，貝h的取值范圍是.

（1）如圖②，延長(zhǎng)4。至點(diǎn)A,使得連結(jié)4C,根據(jù)“SAS”可以判定A28。三,得出

A'C=AB=6.在△44'C中，A'C=6,AC=8,AA'=2x,故中線4D的長(zhǎng)龍的取值范圍是.

【活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”，“中線”等條件時(shí)，可以考慮將中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散

的已知條件和所求的問(wèn)題集中到同一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問(wèn)題，這種作輔助線的方法叫做“倍長(zhǎng)中線”法.

【問(wèn)題解決】（2）如圖③，=AC,AD=AE,Z.BAE+AD=180°,連接BE和CD,點(diǎn)尸是CD的

中點(diǎn)，連接AF.求證：BE=2AF.小明發(fā)現(xiàn)，如圖④，延長(zhǎng)4尸至點(diǎn)4,使F4=4/，連接4D,通過(guò)證

明AdBE三△DA4,可推得BE=A4'=24F.

下面是小明的部分證明過(guò)程：

證明：延長(zhǎng)4尸至點(diǎn)4,使尸A=4尸，連接4D,

???點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，

：.CF=DF.

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■：AF=A'F,/.AFC=/-A'FD,

：.AACF三△A'DF（SAS）,

：.A'D=AC,^A'DF=AACF,

■■.A'DWAC,AA'DA+^CAD=180°.

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程.

【問(wèn)題拓展】（3）如圖⑤，在△48C和AAEF中，AB=AE,AC=AF,ABAC+^EAF=180°,點(diǎn)、M,

N分別是BC和EF的中點(diǎn).若BC=4,EF=6,則MN的取值范圍是

重難點(diǎn)四：添加輔助線證明兩個(gè)三角形全等-截長(zhǎng)補(bǔ)短法

1.（2020?湖南湘西?中考真題）問(wèn)題背景：如圖1,在四邊形力BCD中，NB4D=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

^ABC=120°,乙MBN=60°,NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.探究圖中線段4E,CF,

EF之間的數(shù)量關(guān)系.小李同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FC到G,使CG=2E,連接BG,先證明ABCG三

△BAE,再證明ABFCmABFE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形A8CD中，^BAD=90°,4BCD=90°,BA=BC,^ABC=2乙MBN,ZJWBN繞

B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”

或者“不成立”），不要說(shuō)明理由.

探究延伸2：如圖3,在四邊形2BCD中，BA=BC,ABAD+Z.BCD=180°,4ABe=2乙MBN,/MBN繞B

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由.

實(shí)際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30。的A處艦艇乙在指揮中心南

偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里〃卜時(shí)的

速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50。的方向以100海里/小時(shí)