概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末習(xí)題

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末習(xí)題.06.01第1頁(yè)第四章隨機(jī)變量數(shù)字特征第五章大數(shù)定律集中心極限定理第六章樣本及抽樣分布第七章參數(shù)預(yù)計(jì)目錄1234第2頁(yè)第四章隨機(jī)變量數(shù)字特征4.（1）設(shè)隨機(jī)變量X分布律為說(shuō)明X數(shù)學(xué)期望不存在。（2）一盒中裝有一只黑球，一只白球，作摸球游戲，規(guī)則以下：一次從盒中隨機(jī)摸一只球，若摸到白球，則游戲結(jié)束；若摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再?gòu)暮兄须S機(jī)地摸一只球，試說(shuō)明要游戲結(jié)束摸球次數(shù)X數(shù)學(xué)期望不存在。解：(1)因級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂，按定義X數(shù)學(xué)期望不存在。(2)以記事件“第k次摸球摸到黑球”，以記事件“第k次摸球摸到白球”，以表示事件“游戲在第k次摸球時(shí)結(jié)束”，k=1,2,...依題意得第3頁(yè)X=k時(shí)，盒中共有k+1只球，其中只有一只白球，故

若E(X)存在，則它等于，但

故X數(shù)學(xué)期望不存在。第4頁(yè)6.(1)設(shè)隨機(jī)變量X分布律為求E(X),E(),E()(2)設(shè)求解：(1)(2)因故X-202P0.40.30.3第5頁(yè)7.(1)設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為求Y=2X;Y=數(shù)學(xué)期望。(2)設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且都服從（0,1）上均勻分布，求和數(shù)學(xué)期望解：(1)由關(guān)于隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望定理，知(2)因分布函數(shù)為

因

相互獨(dú)立，故分布函數(shù)為第6頁(yè)U概率密度為分布函數(shù)為V概率密度為第7頁(yè)9.(1)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為求E(X),E(Y),E(XY),E()(2)設(shè)隨機(jī)變量X,Y聯(lián)合密度為求E(X),E(Y),E(XY)解：(1)第8頁(yè)(2)第9頁(yè)14.設(shè)隨機(jī)變量概率密度分別為(1)求(2)又設(shè)相互獨(dú)立，求解:若X服從以為參數(shù)指數(shù)分布，其概率密度為

故(1)(2)因?yàn)?/p>

相互獨(dú)立，

第10頁(yè)17.設(shè)X為隨機(jī)變量，C為常數(shù)，證實(shí),對(duì)于.（因?yàn)?上式表明當(dāng)C=E(X)時(shí)取到最小值。）證：等號(hào)僅當(dāng)C=E(X)時(shí)成立。第11頁(yè)20.設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布，其分布律為其中0<p<1是常數(shù)，求E(X),D(X).解：因?yàn)椋簝蛇厡?duì)x求導(dǎo)得：兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：第12頁(yè)23.五家商店聯(lián)營(yíng)，它們每?jī)芍苁鄢瞿撤N農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量分別為已知相互獨(dú)立。(1)求五家商店兩周總銷(xiāo)售量均值和方差。(2)商店每隔兩周進(jìn)貨一次，為了使新供貨抵達(dá)前商店不會(huì)脫銷(xiāo)概率大于0.99，問(wèn)商店倉(cāng)庫(kù)應(yīng)最少儲(chǔ)存多少千克該產(chǎn)品？解：以Y記為五家商店該種產(chǎn)品總銷(xiāo)售量，即(1)按題設(shè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布，即有第13頁(yè)(2)設(shè)倉(cāng)庫(kù)應(yīng)最少儲(chǔ)存nkg該產(chǎn)品，才能使該產(chǎn)品不脫銷(xiāo)概率大于0.99，按題意，n應(yīng)滿(mǎn)足條件因?yàn)楣视幸蚨鲜霾坏仁郊礊閺亩葱枞=1282kg.第14頁(yè)24.卡車(chē)裝運(yùn)水泥，設(shè)每袋水泥重量X服從,問(wèn)至多裝多少袋水泥使總重量超出概率小于0.05.解：設(shè)至多能裝運(yùn)n袋水泥，各袋水泥重量分別為，則故卡車(chē)所裝運(yùn)水泥總重量為按題意n需滿(mǎn)足對(duì)于像這么實(shí)際問(wèn)題，認(rèn)為相互獨(dú)立是適宜，此時(shí)于是，從而，即n至多取39.第15頁(yè)27.以下各對(duì)隨機(jī)變量X和Y，問(wèn)哪幾對(duì)是相互獨(dú)立？哪幾對(duì)是不相關(guān)？解：(1)第16頁(yè)(2)(3)第17頁(yè)(4)第18頁(yè)(5)第19頁(yè)第20頁(yè)第21頁(yè)33.設(shè)隨機(jī)變量且設(shè)X,Y相互獨(dú)立，試求相關(guān)系數(shù)。解：第22頁(yè)34.(1)設(shè)隨機(jī)變量求常數(shù)使E(W)為最小，并求E(W)最小值。(2)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，且有證實(shí)當(dāng)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。解：(1)(2)因?yàn)?X,Y)是二維正態(tài)變量，而W與V分別為X,Y線(xiàn)性組合，故由n維正態(tài)隨機(jī)變量性質(zhì)3知(W,V)也為二維正態(tài)變量，現(xiàn)在，故知有第23頁(yè)即知W,V不相關(guān)，又因(W,V)是二維正態(tài)變量，故知W與V是相互獨(dú)立。第24頁(yè)第五章大數(shù)定律集中心極限定理第25頁(yè)第26頁(yè)第27頁(yè)第28頁(yè)4.設(shè)各零件重量都是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，且服從相同分布，其數(shù)學(xué)期望為0.5kg,均方差為0.1kg，問(wèn)5000只零件總重量超出2510kg概率是多少。解：以記第i個(gè)零件重量，以W記5000個(gè)零件總重量：按題設(shè)，由中心極限定理，可知近似服從N(0,1)分布，故求概率為=1-0.9213=0.0787第29頁(yè)8.一復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用部件所組成，在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞概率為0.10，為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用，最少必須有85個(gè)部件正常工作，求整個(gè)系統(tǒng)起作用概率。解：將觀(guān)察一個(gè)部件是否正常工作看成一次試驗(yàn)，因?yàn)楦鞑考欠裾９ぷ魇窍嗷オ?dú)立，因而觀(guān)察100個(gè)部件是否正常工作是做100重伯努利試驗(yàn)，以X表示100個(gè)部件中正常工作部件數(shù)，則X~b(100,0.9)，按題設(shè)需求概率由棣莫弗--拉普拉斯定理知近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),故第30頁(yè)第六章樣本及抽樣分布第31頁(yè)2.在總體N(12,4)中隨機(jī)抽一容量為5樣本.(1)求樣本均值和總體均值之差絕對(duì)值大于1概率。(2)求概率解：(1)第32頁(yè)第33頁(yè)3.求總體N(20,3)容量分別為10，15兩個(gè)獨(dú)立樣本均值差絕對(duì)值大于0.3概率。解：將總體N(20,3)容量分別為10,15兩獨(dú)立樣本均值分別記為則第34頁(yè)5.(1)已知某種能力測(cè)試得分服從正態(tài)分布，隨機(jī)取10個(gè)人參加這一測(cè)試，求他們得分聯(lián)合概率密度，并求這10個(gè)人得分平均值小于u概率(2)在(1)中設(shè)，若得分超出70就能得獎(jiǎng)，求最少有一人得獎(jiǎng)概率。解：(1)10個(gè)人得分分別記為，它們聯(lián)合概率密度為第35頁(yè)(2)若一人得獎(jiǎng)概率為p，則得獎(jiǎng)人數(shù)Y~b(10,p).此處p是隨機(jī)選取一人，其考分X在70分以上概率，因X~N(63,25),故第36頁(yè)9.設(shè)在總體中抽得一容量為16樣本，這里均值方差均未知。(1)求,其中為樣本方差(2)求解：(1)因?yàn)椋F(xiàn)在n=16，即有，故有(2)由，得第37頁(yè)第七章參數(shù)預(yù)計(jì)第38頁(yè)第39頁(yè)第40頁(yè)第41頁(yè)第42頁(yè)第43頁(yè)6.一地質(zhì)學(xué)家研究密歇根湖湖灘地域巖石成份，隨機(jī)地自該地域取100個(gè)樣品，每個(gè)樣品有10塊石子，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)樣品中屬石灰石石子數(shù)。假設(shè)這100次觀(guān)察相互獨(dú)立，而且由過(guò)去經(jīng)驗(yàn)知，它們都服從參數(shù)為m=10，p二項(xiàng)分布，p是這地域一塊石子是石灰石概率，求p最大似然預(yù)計(jì)值。該地質(zhì)學(xué)家所得數(shù)據(jù)以下：解：設(shè)X為一個(gè)樣品中屬于石灰石石子數(shù)，則b~(10,p),p最大似然預(yù)計(jì)值有給出數(shù)據(jù)得樣本中屬于石灰石石子數(shù)i012345678910觀(guān)察到i塊石灰石樣本個(gè)數(shù)016723262112310第44頁(yè)7.(1)設(shè)是來(lái)自總體X一個(gè)樣本，且求P｛X=0｝最大似然預(yù)計(jì)值。(2)某鐵路局證實(shí)一個(gè)扳道員在五年內(nèi)引發(fā)嚴(yán)重事故次數(shù)服從珀松分布。求一個(gè)扳道員在五年內(nèi)未引發(fā)嚴(yán)重事故概率p最大似然預(yù)計(jì)。使用下面122個(gè)觀(guān)察值。下表中，r表示一扳道員五年中引發(fā)嚴(yán)重事故次數(shù)，s表示觀(guān)察到扳道員人數(shù)。解：(1)設(shè)是對(duì)應(yīng)于樣本樣本值。本題需求

最大似然預(yù)計(jì)值。r012345s444221942第45頁(yè)由第4題知最大似然預(yù)計(jì)值，又因?yàn)楹瘮?shù)含有單值反函數(shù)；，由最大似然預(yù)計(jì)不變性知最大似然預(yù)計(jì)值為(2)由所給數(shù)據(jù)，得由(1)知，扳道員五年內(nèi)未引發(fā)嚴(yán)重事故概率最大似然預(yù)計(jì)值為第46頁(yè)第47頁(yè)第48頁(yè)14.設(shè)從均值為u，方差為大于0總體中分別抽取容量為兩獨(dú)立樣本。分別為兩樣本均值，試證：對(duì)于任意常數(shù)a,b(a+b=1),都是u無(wú)偏預(yù)計(jì)，并確定常數(shù)a,b使D(Y)到達(dá)最小。解：由,以及a+b=1,得知即對(duì)任意a,b，只要a+b=1,則Y都是u無(wú)偏預(yù)計(jì)。又且