2025屆廣東省茂名市高三第二次綜合測(cè)試數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省茂名市2025屆高三第二次綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】，，故選：A．2.設(shè)集合，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵集合，，∴是的真子集，是的充分不必要條件．故選：A．3.已知向量不共線，且，則實(shí)數(shù)（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄坎还簿€，且，設(shè)，即，所以，解得．故選：D．4.若，則（）A.0 B. C.1 D.4【答案】C【解析】，即，則，.故選：C.5.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.80【答案】B【解析】由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式得：，令，解得：，所以的系數(shù)為：，故選：B．6.甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，每次傳球時(shí)，持球者會(huì)等可能地傳給另外兩人中的任意一位，若第一次由甲開(kāi)始傳球，則經(jīng)過(guò)四次傳球后，球回到甲手中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知：，又，所以，構(gòu)造等比數(shù)列，因?yàn)榈谝淮斡杉讉髑?，可認(rèn)為第次傳球在甲，即，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，則.故選：C.7.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】構(gòu)造，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則此時(shí)，單調(diào)遞增，則正負(fù)符號(hào)由決定，又因?yàn)?，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，又因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，則當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，且，則若，則或即或，解得或，綜上，的解集為.故選：D.8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則的離心率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】的漸近線為，聯(lián)立，因?yàn)樵诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為，得，即，所以，又，故，化簡(jiǎn)得：，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.等差數(shù)列中，．記數(shù)列前項(xiàng)和為，下列選項(xiàng)正確的是（）A.數(shù)列的公差為2 B.取最小值時(shí)，C. D.數(shù)列的前10項(xiàng)和為50【答案】AD【解析】對(duì)A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意知，解得，故A正確；對(duì)B，，，則當(dāng)時(shí)，取最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，數(shù)列的前10項(xiàng)和為，故D正確.故選：AD.10.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.可能成立C.可能是等腰三角形 D.面積的最大值為20【答案】AC【解析】由正弦定理可得,即，即，即，且，所以，且，所以，故A正確；假設(shè)，則，又，則，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故不可能成立，故B錯(cuò)誤；假設(shè)，由余弦定理可得，代入可得，又，即，則成立，所以成立，成立，所以成立，故C正確；由三角形的面積公式，由余弦定理可得，即，且，，所以，化簡(jiǎn)可得，解得，所以時(shí)，三角形的面積最大，最大值為，故D錯(cuò)誤；故選：AC11.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)點(diǎn)（其中）進(jìn)行一次變換，得到點(diǎn)，記為，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.為圖象上一動(dòng)點(diǎn)，，若的軌跡仍為函數(shù)圖象，則【答案】ABD【解析】因?yàn)?，，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B正確；因?yàn)?，故，故，而，故，同理，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋蕦㈨槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)后仍為函數(shù)圖像，故圖象上的任意一點(diǎn)切線的斜率大于或等于，故即在上恒成立，故，故D成立.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸于點(diǎn)，若，則______．【答案】8【解析】由題意可知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義可知.故答案為：.13.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號(hào)成立則所以．故答案：．14.已知棱長(zhǎng)為的正四面體，且，為側(cè)面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，因?yàn)?，可得，設(shè)，因?yàn)?，即，可得，整理得，所以點(diǎn)在空間中的軌跡是以為球心，半徑為的球，又因?yàn)樵趥?cè)面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則為的中心，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓的一部分，（如圖所示的圓的虛線部分），因?yàn)?，所以，所以，則，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知為常數(shù)，且．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有且僅有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，求的值．解：（1）因?yàn)椋?，所以，?dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以有2個(gè)零點(diǎn)，又由（1）可知，，因?yàn)?，則當(dāng)，，當(dāng)，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，解得或或或，又，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若為線段上一點(diǎn)，且四點(diǎn)共面，求三棱錐的體積．（1）證明：由題意知，因?yàn)?，所以，又平面，又平面，所以，又平面，且，所以平面，又平面，所?（2）解：因?yàn)槠矫?，又平面，所以，又，所以兩兩垂直，如圖以A為原點(diǎn)，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，不妨令，則所以設(shè)，則，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，則，解得，即，所以.17.某運(yùn)動(dòng)員為了解自己的運(yùn)動(dòng)技能水平，記錄了自己1000次訓(xùn)練情況并將成績(jī)（滿分100分）統(tǒng)計(jì)如下表所示.成績(jī)區(qū)間頻數(shù)100200300240160（1）求上表中成績(jī)的平均值及上四分位數(shù)（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）該運(yùn)動(dòng)員用分層抽樣的方式從的訓(xùn)練成績(jī)中隨機(jī)抽取了6次成績(jī)，再?gòu)倪@6次成績(jī)中隨機(jī)選2次，設(shè)成績(jī)落在區(qū)間的次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）對(duì)這1000次訓(xùn)練記錄分析后，發(fā)現(xiàn)某項(xiàng)動(dòng)作可以優(yōu)化.優(yōu)化成功后，原低于80分的成績(jī)可以提高10分，原高于80分的無(wú)影響，優(yōu)化失敗則原成績(jī)會(huì)降低10分，已知該運(yùn)動(dòng)員優(yōu)化動(dòng)作成功的概率為．在一次資格賽中，入圍的成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)是80分.用樣本估計(jì)總體的方法，求使得入圍的可能性變大時(shí)p的取值范圍.解：（1）依題意，平均值，，上四分位數(shù)落在區(qū)間，且等于.（2）由樣本數(shù)據(jù)可知，訓(xùn)練成績(jī)?cè)谥畠?nèi)的頻數(shù)之比為2:1，由分層抽樣的方法得，從訓(xùn)練成績(jī)?cè)谥须S機(jī)抽取了6次成績(jī)，在之內(nèi)的4次，在之內(nèi)的抽取了2次，所以可取的值有：0，1，2，，，，分布列為：012.（3）法一：設(shè)事件分別表示動(dòng)作優(yōu)化前成績(jī)落在區(qū)間，，，則相互互斥，所以動(dòng)作優(yōu)化前，在一次資格賽中，入圍的概率，設(shè)事件B為＂動(dòng)作優(yōu)化成功＂，則，動(dòng)作優(yōu)化后，在一次資格賽中，入圍事件為：，且事件相互互斥，所以在一次資格賽中入圍的概率，故，由解得，又的取值范圍是.法二：因?yàn)槿雵某煽?jī)標(biāo)準(zhǔn)是80分，所以進(jìn)行某項(xiàng)動(dòng)作優(yōu)化前，該運(yùn)動(dòng)員在資格賽中入圍的概率為：，進(jìn)行某項(xiàng)動(dòng)作優(yōu)化后，影響該運(yùn)動(dòng)員入圍可能性變化的是落在區(qū)間或的成績(jī)，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)作優(yōu)化成功，落在這兩個(gè)區(qū)間的成績(jī)才能符合入圍標(biāo)準(zhǔn)，所以進(jìn)行優(yōu)化后，該運(yùn)動(dòng)員在資格賽中入圍的概率，由，得，又的取值范圍是.18.已知橢圓的焦距為2，點(diǎn)在上，是的右焦點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）直線不與軸重合，且平分．①求的值；②若點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，證明：．解：（1）橢圓的焦距為，∴橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，又點(diǎn)在橢圓上，，，橢圓的方程為：．（2）①依題意設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組：，則，即，且，①由，的坐標(biāo)可知軸，平分，等價(jià)于，即，把代入并化簡(jiǎn)得：，把①代入上式得：，化簡(jiǎn)得：（經(jīng)檢驗(yàn)，符合，則.②欲證，只需證：，由（2）可得，又，，即.19.已知為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，若數(shù)列滿足：，則稱數(shù)列是關(guān)于的“可差數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）若是關(guān)于的“可差數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式及；（2）已知滿足：，若是關(guān)于的“可差數(shù)列”．①試求一個(gè)滿足條件的的解析式；②證明：對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．解：（1）因，所以，因?yàn)椋?（2）①因?yàn)?，不妨令，則，即：，所以得，所以即.②由①可知：，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，，取，則，取，當(dāng)時(shí)，恒有成立.廣東省茂名市2025屆高三第二次綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】，，故選：A．2.設(shè)集合，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵集合，，∴是的真子集，是的充分不必要條件．故選：A．3.已知向量不共線，且，則實(shí)數(shù)（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄坎还簿€，且，設(shè)，即，所以，解得．故選：D．4.若，則（）A.0 B. C.1 D.4【答案】C【解析】，即，則，.故選：C.5.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.80【答案】B【解析】由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式得：，令，解得：，所以的系數(shù)為：，故選：B．6.甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，每次傳球時(shí)，持球者會(huì)等可能地傳給另外兩人中的任意一位，若第一次由甲開(kāi)始傳球，則經(jīng)過(guò)四次傳球后，球回到甲手中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知：，又，所以，構(gòu)造等比數(shù)列，因?yàn)榈谝淮斡杉讉髑颍烧J(rèn)為第次傳球在甲，即，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，則.故選：C.7.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】構(gòu)造，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則此時(shí)，單調(diào)遞增，則正負(fù)符號(hào)由決定，又因?yàn)椋瑒t，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，又因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，則當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，且，則若，則或即或，解得或，綜上，的解集為.故選：D.8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則的離心率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】的漸近線為，聯(lián)立，因?yàn)樵诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為，得，即，所以，又，故，化簡(jiǎn)得：，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.等差數(shù)列中，．記數(shù)列前項(xiàng)和為，下列選項(xiàng)正確的是（）A.數(shù)列的公差為2 B.取最小值時(shí)，C. D.數(shù)列的前10項(xiàng)和為50【答案】AD【解析】對(duì)A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意知，解得，故A正確；對(duì)B，，，則當(dāng)時(shí)，取最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，數(shù)列的前10項(xiàng)和為，故D正確.故選：AD.10.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.可能成立C.可能是等腰三角形 D.面積的最大值為20【答案】AC【解析】由正弦定理可得,即，即，即，且，所以，且，所以，故A正確；假設(shè)，則，又，則，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故不可能成立，故B錯(cuò)誤；假設(shè)，由余弦定理可得，代入可得，又，即，則成立，所以成立，成立，所以成立，故C正確；由三角形的面積公式，由余弦定理可得，即，且，，所以，化簡(jiǎn)可得，解得，所以時(shí)，三角形的面積最大，最大值為，故D錯(cuò)誤；故選：AC11.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)點(diǎn)（其中）進(jìn)行一次變換，得到點(diǎn)，記為，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.為圖象上一動(dòng)點(diǎn)，，若的軌跡仍為函數(shù)圖象，則【答案】ABD【解析】因?yàn)?，，所以，所以，故A正確；因?yàn)椋?，所以，故B正確；因?yàn)?，故，故，而，故，同理，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，故將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后仍為函數(shù)圖像，故圖象上的任意一點(diǎn)切線的斜率大于或等于，故即在上恒成立，故，故D成立.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸于點(diǎn)，若，則______．【答案】8【解析】由題意可知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義可知.故答案為：.13.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號(hào)成立則所以．故答案：．14.已知棱長(zhǎng)為的正四面體，且，為側(cè)面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，因?yàn)?，可得，設(shè)，因?yàn)椋?，可得，整理得，所以點(diǎn)在空間中的軌跡是以為球心，半徑為的球，又因?yàn)樵趥?cè)面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則為的中心，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓的一部分，（如圖所示的圓的虛線部分），因?yàn)?，所以，所以，則，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知為常數(shù)，且．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有且僅有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，求的值．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以有2個(gè)零點(diǎn)，又由（1）可知，，因?yàn)?，則當(dāng)，，當(dāng)，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，解得或或或，又，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若為線段上一點(diǎn)，且四點(diǎn)共面，求三棱錐的體積．（1）證明：由題意知，因?yàn)?，所以，又平面，又平面，所以，又平面，且，所以平面，又平面，所?（2）解：因?yàn)槠矫?，又平面，所以，又，所以兩兩垂直，如圖以A為原點(diǎn)，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，不妨令，則所以設(shè)，則，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，則，解得，即，所以.17.某運(yùn)動(dòng)員為了解自己的運(yùn)動(dòng)技能水平，記錄了自己1000次訓(xùn)練情況并將成績(jī)（滿分100分）統(tǒng)計(jì)如下表所示.成績(jī)區(qū)間頻數(shù)100200300240160（1）求上表中成績(jī)的平均值及上四分位數(shù)（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）該運(yùn)動(dòng)員用分層抽樣的方式從的訓(xùn)練成績(jī)中隨機(jī)抽取了6次成績(jī)，再?gòu)倪@6次成績(jī)中隨機(jī)選2次，設(shè)成績(jī)落在區(qū)間的次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）對(duì)這1000次訓(xùn)練記錄分析后，發(fā)現(xiàn)某項(xiàng)動(dòng)作可以優(yōu)化.優(yōu)化成功后，原低于80分的成績(jī)可以提高10分，原高于80分的無(wú)影響，優(yōu)化失敗則原成績(jī)會(huì)降低10分，已知該運(yùn)動(dòng)員優(yōu)化動(dòng)作成功的概率為．在一次資格賽中，入圍的成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)是80分.用樣本估計(jì)總體的方法，求使得入圍的可能性變大時(shí)p的取值范圍.解：（1）依題意，平均值，，上四分位數(shù)落在區(qū)間，且等于.（2）由樣本數(shù)據(jù)可知，訓(xùn)練成績(jī)?cè)谥畠?nèi)的頻數(shù)之比為2:1，由分層抽樣的方法得，從訓(xùn)練成績(jī)?cè)谥须S機(jī)抽取了6次成績(jī)，在之內(nèi)的4次，在之內(nèi)的抽取了2次，所以可取的值有：0，1，2