2025屆河南省商丘市高三下學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省商丘市2025屆高三下學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，所以，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，則，所以.故選：A3.已知等差數(shù)列的前8項(xiàng)和為48；，則的公差為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】依題意，即，假設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得,故選：B.4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)椋?，函?shù)不是奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)不是奇函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)是奇函數(shù)，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)不是奇函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.5.已知平面向量滿足，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由，得，則，由，得，因此，所以.故選：A6.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則，由，解得，因此函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為，取，得，C正確，不存在整數(shù)使得ABD成立.故選：C7.甲每個(gè)周末都跑步或游泳，每天進(jìn)行且僅進(jìn)行其中的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng).已知他周六跑步的概率為0.6，且如果周六跑步，則周日游泳的概率為0.7，如果周六游泳，則周日跑步的概率為0.9.若甲某個(gè)周日游泳了，則他前一天跑步的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】用事件分別表示“周六跑步”，“周日跑步”，則分別表示“周六游泳”，“周日游泳”，于是，因此，所以.故選：D8.已知是定義域?yàn)榈姆浅Ｖ岛瘮?shù)，且，，是的導(dǎo)函數(shù)，且的定義域?yàn)椋粼O(shè)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，令，則，則或，當(dāng)時(shí)，令，則，即，不合題意，舍去.故，則令，即，即函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，，令，則，又∵，∴，則，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，∴，∵函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱和軸對(duì)稱，∴導(dǎo)數(shù)關(guān)于對(duì)稱和點(diǎn)中心對(duì)稱，同理可得，∴，∴切線方程為：，即.故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列條件使一定為等比數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A，由等比數(shù)列定義知，一定為等比數(shù)列，A是；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，成立，不成等比數(shù)列，B不是；對(duì)于C，由，得，不成等比數(shù)列，C不是；對(duì)于D，由，得，是公比為1的等比數(shù)列，D是.故選：AD10.已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，動(dòng)直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.與和圓各恰有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有6條C.若圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到的距離為2，則滿足條件的的值有4個(gè)D.若上一點(diǎn)到的距離為，則的最小值為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得，所以圓的方程為，所以圓心，所以直線的斜率，所以圓在點(diǎn)處的切線的斜率，所以切線方程為，即，代入拋物線的方程中，得，由，解得，(舍去），故項(xiàng)正確；對(duì)于B，如圖所示，在軸右側(cè)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，有一條直線與和圓各恰有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，有兩條這樣直線.根據(jù)對(duì)稱，總共有6條直線與和圓各恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，若圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到的距離為2，則圓心到直線的距離為3或1，當(dāng)圓心到直線的距離為3時(shí)，，解得或；當(dāng)圓心到直線的距離為1時(shí)，，解得或；故項(xiàng)正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別在棱上（與端點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.可能為直角三角形B.若為的外接圓的圓心，則三棱錐為正三棱錐C.若，則四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，設(shè)，其中，所以，由余弦定理得，所以為銳角，同理其它兩角也是銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉榈耐庑?，所以，再由平面，結(jié)合勾股定理易知，又三個(gè)側(cè)面都是直角三角形，易證全等，所以，故三棱錐為正三棱錐，正確；對(duì)于C，若棱在面內(nèi)，則棱與面所成的角為0，正弦值為0；若棱不在面內(nèi)，考察側(cè)棱與底面所成的角，以為例，（一樣），設(shè)，則，則的面積為，由等體積，三棱錐的體積,所以，所以，即以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為，以或或?yàn)轫旤c(diǎn)的三棱錐的側(cè)棱與底面所成角,以點(diǎn)例，（或一樣），因?yàn)槠矫?所以與平面所成角為，正弦值為1，由線面角的定義可知：為與平面所成角，易知，正弦值為，所以四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是故C正確；對(duì)于D，若，又，即，所以，則，即，所以，即，D正確；故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲同學(xué)自進(jìn)入高三以來(lái)，前四次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)逐次遞增，第一次的分?jǐn)?shù)為116，第四次的分?jǐn)?shù)為132，且中位數(shù)為120，則甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為_(kāi)______．【答案】122【解析】設(shè)甲第二、第三次的分?jǐn)?shù)分別為，由中位數(shù)為120，得，即，所以甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為.故答案為：12213.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為與的右支交于點(diǎn)，若，則的離心率_____．【答案】【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為c，，，設(shè)，由，得是線段的中點(diǎn)，過(guò)作于，則∽，，因此，解得，由點(diǎn)在雙曲線上，得，即，所以.故答案為：14.記，若，則實(shí)數(shù)_______．【答案】8【解析】當(dāng)均不為0時(shí)，由，得，由，因此，即，所以.故答案為：8四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為的中點(diǎn)，且的長(zhǎng)為2，求的最大值，并求此時(shí)的值．解：（1）在中，由及正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（2）在中，由余弦定理得，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以的最大值為8，.16.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且是正三角形，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）在四棱錐中，連接，由四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，得是正三角形，又為的中點(diǎn)，則，而是正三角形，則，于是，，又平面，所以平面（2）由（1）知，直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，，所以二面角的正弦值為.17.口袋中有編號(hào)分別為1，2，3，…，10的10個(gè)小球，所有小球除了編號(hào)外無(wú)其他差別．（1）從口袋中任取3個(gè)小球，求取到的小球編號(hào)既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率；（2）從口袋中任取5個(gè)小球，設(shè)其中編號(hào)的最小值為，求的分布列及期望．解：（1）從口袋中任取3個(gè)小球有種方法，編號(hào)全為奇數(shù)的取法有種，全為偶數(shù)的取法有種，因此編號(hào)既有奇數(shù)又有偶數(shù)的取法種數(shù)為，所以取到的小球編號(hào)既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率為.（2）依題意，的所有可能值為1，2，3，4，5，6，從口袋中任取5個(gè)小球有種取法，，，，，，，所以的分布列為123456期望.18.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上，直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的方程；（2）證明：的面積為定值；（3）若點(diǎn)在直線的右側(cè)，求直線在軸上的截距的最小值．解：（1）由橢圓的離心率為，得，即，由點(diǎn)在上，得，聯(lián)立解得，所以的方程為.（2）設(shè)，則，由消去并整理得，，，，所以△的面積為定值.（3）由點(diǎn)在直線的右側(cè)，得，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合，此時(shí)即為的上頂點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，由共線，得，即，整理得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，所以直線在軸上的截距的最小值為.19.若函數(shù)的圖象上存在三點(diǎn)，且，使得直線與的圖象在點(diǎn)處的切線平行，則稱為在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”．（1）若函數(shù)在區(qū)間上的中值點(diǎn)為，證明：成等差數(shù)列．（2）已知函數(shù)，存在，使得．（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間上所有可能的中值點(diǎn)之和為，證明：．解：（1）由題意知.因?yàn)?，又，所以，即，所以成等差?shù)列.（2）（i），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.若，則恒有，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意；若，則在和上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，記為，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，故存在，滿足.所以的取值范圍是.（ii）因?yàn)?，所以中值點(diǎn)滿足，由（i）知當(dāng)時(shí)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間上所有可能的中值點(diǎn)即.先證明：由，得.要證，即證.設(shè)，則設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，，即.因?yàn)?，所以，即，又，再結(jié)合在上單調(diào)遞減，可得，從而.令，得，所以.河南省商丘市2025屆高三下學(xué)期3月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，所以，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，則，所以.故選：A3.已知等差數(shù)列的前8項(xiàng)和為48；，則的公差為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】依題意，即，假設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得,故選：B.4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)不是奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)不是奇函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；A選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)是奇函數(shù)，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)不是奇函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.5.已知平面向量滿足，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由，得，則，由，得，因此，所以.故選：A6.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則，由，解得，因此函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為，取，得，C正確，不存在整數(shù)使得ABD成立.故選：C7.甲每個(gè)周末都跑步或游泳，每天進(jìn)行且僅進(jìn)行其中的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng).已知他周六跑步的概率為0.6，且如果周六跑步，則周日游泳的概率為0.7，如果周六游泳，則周日跑步的概率為0.9.若甲某個(gè)周日游泳了，則他前一天跑步的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】用事件分別表示“周六跑步”，“周日跑步”，則分別表示“周六游泳”，“周日游泳”，于是，因此，所以.故選：D8.已知是定義域?yàn)榈姆浅Ｖ岛瘮?shù)，且，，是的導(dǎo)函數(shù)，且的定義域?yàn)椋粼O(shè)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，則，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，令，則，則或，當(dāng)時(shí)，令，則，即，不合題意，舍去.故，則令，即，即函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，，令，則，又∵，∴，則，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，∴，∵函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱和軸對(duì)稱，∴導(dǎo)數(shù)關(guān)于對(duì)稱和點(diǎn)中心對(duì)稱，同理可得，∴，∴切線方程為：，即.故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列條件使一定為等比數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A，由等比數(shù)列定義知，一定為等比數(shù)列，A是；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，成立，不成等比數(shù)列，B不是；對(duì)于C，由，得，不成等比數(shù)列，C不是；對(duì)于D，由，得，是公比為1的等比數(shù)列，D是.故選：AD10.已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，動(dòng)直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.與和圓各恰有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有6條C.若圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到的距離為2，則滿足條件的的值有4個(gè)D.若上一點(diǎn)到的距離為，則的最小值為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得，所以圓的方程為，所以圓心，所以直線的斜率，所以圓在點(diǎn)處的切線的斜率，所以切線方程為，即，代入拋物線的方程中，得，由，解得，(舍去），故項(xiàng)正確；對(duì)于B，如圖所示，在軸右側(cè)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，有一條直線與和圓各恰有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，有兩條這樣直線.根據(jù)對(duì)稱，總共有6條直線與和圓各恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，若圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到的距離為2，則圓心到直線的距離為3或1，當(dāng)圓心到直線的距離為3時(shí)，，解得或；當(dāng)圓心到直線的距離為1時(shí)，，解得或；故項(xiàng)正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別在棱上（與端點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.可能為直角三角形B.若為的外接圓的圓心，則三棱錐為正三棱錐C.若，則四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，設(shè)，其中，所以，由余弦定理得，所以為銳角，同理其它兩角也是銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉榈耐庑?，所以，再由平面，結(jié)合勾股定理易知，又三個(gè)側(cè)面都是直角三角形，易證全等，所以，故三棱錐為正三棱錐，正確；對(duì)于C，若棱在面內(nèi)，則棱與面所成的角為0，正弦值為0；若棱不在面內(nèi)，考察側(cè)棱與底面所成的角，以為例，（一樣），設(shè)，則，則的面積為，由等體積，三棱錐的體積,所以，所以，即以為頂點(diǎn)，為底面的三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為，以或或?yàn)轫旤c(diǎn)的三棱錐的側(cè)棱與底面所成角,以點(diǎn)例，（或一樣），因?yàn)槠矫?所以與平面所成角為，正弦值為1，由線面角的定義可知：為與平面所成角，易知，正弦值為，所以四面體的棱與面所成角的正弦值的集合是故C正確；對(duì)于D，若，又，即，所以，則，即，所以，即，D正確；故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲同學(xué)自進(jìn)入高三以來(lái)，前四次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)逐次遞增，第一次的分?jǐn)?shù)為116，第四次的分?jǐn)?shù)為132，且中位數(shù)為120，則甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為_(kāi)______．【答案】122【解析】設(shè)甲第二、第三次的分?jǐn)?shù)分別為，由中位數(shù)為120，得，即，所以甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為.故答案為：12213.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為與的右支交于點(diǎn)，若，則的離心率_____．【答案】【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為c，，，設(shè)，由，得是線段的中點(diǎn)，過(guò)作于，則∽，，因此，解得，由點(diǎn)在雙曲線上，得，即，所以.故答案為：14.記，若，則實(shí)數(shù)_______．【答案】8【解析】當(dāng)均不為0時(shí)，由，得，由，因此，即，所以.故答案為：8四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為的中點(diǎn)，且的長(zhǎng)為2，求的最大值，并求此時(shí)的值．解：（1）在中，由及正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（2）在中，由余弦定理得，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以的最大值為8，.16.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且是正三角形，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）在四棱錐中，連接，由四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，得是正三角形，又為的中點(diǎn)，則，而是正三角形，則，于是，，又平面，所以平面（2）由（1）知，直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，，所以二面角的正弦值為.17.口袋中有編號(hào)分別為1，2，3，…，10的10個(gè)小球，所有小球除了編號(hào)外無(wú)其他差別．（1）從口袋中任取3個(gè)小球，求取到的小球編號(hào)既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率；（2）從口袋中任取5個(gè)小球，設(shè)其中編號(hào)的最小值為，求的分布列及期望．解：（1）從口袋中任取3個(gè)小球有種方法，編號(hào)全為奇數(shù)的取法有種，全為偶數(shù)的取法有種，因此編號(hào)既有奇數(shù)又有偶數(shù)的