2025屆河南省周口市項(xiàng)城市高三下學(xué)期高考模擬一（開學(xué)診斷考試）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省周口市項(xiàng)城市2025屆高三下學(xué)期高考模擬一（開學(xué)診斷考試）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若命題，，則的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】由命題否定的法則得；的否定是：，．故選：．2.已知集合，，若，則（）A.1 B. C.1或0 D.1或【答案】D【解析】因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，，符合題意．綜上，或．故選：D．3.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，若，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，又，，，所以，又，所以，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，易得，此時(shí)與平行或相交，所以“”不是“”的必要條件．綜上，“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.已知，，且，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即，解得，時(shí)等號(hào)成立，故取得最小值.故選：C5.若，，是空間的一組基底，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，，共面，則，所以，即，解得，，，所以，若，，是空間的一組基底，則．故選：B．6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，兩式平方相加得，即，由，得，則，即，于是，，即，兩邊平方整理得，又，解得，所以.故選：C7.已知，，，是半徑為15的球的球面上四點(diǎn)，，，則三棱錐體積的最大值為（）A.384 B.1152 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以為的外接圓的直徑，即半徑，由過(guò)球心垂直于截面的直線必過(guò)截面圓的圓心可知，球心到平面的距離，又直角面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而點(diǎn)到平面的距離的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為．故選:B．8.已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于第一象限），過(guò)作軸于點(diǎn)，若，則面積的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意設(shè)，聯(lián)立消去得，，所以，又，所以，設(shè)，則，，由，得，所以設(shè)到的距離為，所以，所以的面積．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題，共1.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，則的最小值為1【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有成立，但此時(shí)為實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，，由于，則，即，故，由，得，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，故D正確．故選：ABD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象既不關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱也不關(guān)于某直線對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于某直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱【答案】BCD【解析】對(duì)A，令，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A不正確；對(duì)B，令，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，所以的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到，而函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位得到，設(shè)，則，即是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確．故選：BCD．11.在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為上任意一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則（）A.到的準(zhǔn)線的距離為2B.的最小值為C.的方程為D.的面積可以為【答案】BC【解析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：的坐標(biāo)為，的準(zhǔn)線方程為，所以到準(zhǔn)線的距離為1，所以A錯(cuò)誤；由拋物線的定義，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以B正確；設(shè)，，由題可知，，當(dāng)時(shí)，兩式作差可得，，所以，所以直線的方程為，整理得，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線方程為，把代入得，，所以，即．綜上，直線的方程為，所以C正確；設(shè)直線，，，由，得，由韋達(dá)定理可知：，，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取得最小值為，所以的面積不可以為，所以D錯(cuò)誤．故選:BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，函數(shù)，若，則________．【答案】1【解析】令，可得，所以，所以，又，所以，則，即，因?yàn)?，所以，，?jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)，所以．故答案為：113.如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，所以，，所以，又，所以，即的取值范圍是．故答案為：14.記曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線為，則上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以與沒(méi)有公共點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離最小值的2倍．設(shè)為上的一點(diǎn)，因，則過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，令，則，故是遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則存在唯一解，此時(shí)過(guò)點(diǎn)的切線與平行，所以上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，所以上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共7.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以．?）由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)檫@樣的有兩解，即關(guān)于的三角方程在時(shí)有兩解，所以，所以．16.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，，，所以的圖象在處的切線方程為，即，化為一般式為．（2）函數(shù)，定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在極值，所以在上必存在變號(hào)零點(diǎn)，即在上必存在零點(diǎn)，由于，由二次函數(shù)性質(zhì)可知只需，解得，即的取值范圍是．17.如圖，在平行六面體中，為的重心，是棱上的一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）已知平面，且平行六面體的各棱長(zhǎng)均為6，，設(shè)平面與平面的夾角為，求的值．（1）證明：連接，因?yàn)?，得，所以共面，則平面即為平面，再連接，延長(zhǎng)交于，連接，如圖．因?yàn)闉榈闹匦?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以平面．?）解：取的中點(diǎn)為，連接，則．因?yàn)槠矫?，所以平面，又平行六面體的各棱長(zhǎng)均為6，，則為正三角形，又為的中點(diǎn)，可得，，所以，，兩兩垂直，分別以直線，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量，所以．18.在平面直角坐標(biāo)系中，，，為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線，的斜率之積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）已知，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，設(shè)為的重心，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，求被分成的左、右兩個(gè)部分圖形面積之比的取值范圍．解：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€，的斜率之積是，所以，化簡(jiǎn)整理得，，所以的方程為．（2）記的坐標(biāo)為，，由橢圓對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限或軸正半軸上，即，，又，，所以直線的方程為．設(shè)與軸、分別交于點(diǎn)，，因?yàn)闉榈闹匦模裕?，的面積與的面積之比為．令，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，所以的值域是，所以，所以，根?jù)對(duì)稱性，被直線分成的左、右兩個(gè)部分圖形面積之比的取值范圍是．19.設(shè)，將所有不大于的正整數(shù)隨機(jī)排列后構(gòu)成一個(gè)數(shù)列為，則稱是的一個(gè)“隨機(jī)數(shù)列”；若中的各項(xiàng)均滿足，則稱是的“完全隨機(jī)數(shù)列”，記的“完全隨機(jī)數(shù)列”的個(gè)數(shù)為．（1）分別計(jì)算，，，；（2）證明：；（3）若從中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)列，記此數(shù)列是的“完全隨機(jī)數(shù)列”的概率為，證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)數(shù)字，無(wú)法構(gòu)成完全隨機(jī)數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，只有兩種排列方式，其中一種滿足條件，所以；當(dāng)時(shí)，有兩種排列方式滿足條件，所以；當(dāng)時(shí)，有9種排列方式滿足條件，所以；（2）證明：的“完全隨機(jī)數(shù)列”的排法可以分為兩個(gè)步驟：第一步：隨機(jī)排且不排在第項(xiàng)的位置，有種排法；第二步：隨機(jī)排其余項(xiàng)，根據(jù)第一步的排法，可以分為兩類：第一類：若排在第項(xiàng)的位置，但不排在第項(xiàng)的位置，這樣的排法有種；第二類：若排在第項(xiàng)的位置，排在第項(xiàng)的位置，這樣的排法有種，所以由計(jì)數(shù)原理得，；（3）解：因?yàn)椋?，所以?shù)列是公比為的等比數(shù)列；由以上得，，所以，，，?，以上各式相加，可得，，所以，又的“隨機(jī)數(shù)列”的個(gè)數(shù)為，所以．河南省周口市項(xiàng)城市2025屆高三下學(xué)期高考模擬一（開學(xué)診斷考試）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若命題，，則的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】由命題否定的法則得；的否定是：，．故選：．2.已知集合，，若，則（）A.1 B. C.1或0 D.1或【答案】D【解析】因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，，符合題意．綜上，或．故選：D．3.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，若，，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，又，，，所以，又，所以，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，易得，此時(shí)與平行或相交，所以“”不是“”的必要條件．綜上，“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.已知，，且，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，即，解得，時(shí)等號(hào)成立，故取得最小值.故選：C5.若，，是空間的一組基底，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，，共面，則，所以，即，解得，，，所以，若，，是空間的一組基底，則．故選：B．6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，兩式平方相加得，即，由，得，則，即，于是，，即，兩邊平方整理得，又，解得，所以.故選：C7.已知，，，是半徑為15的球的球面上四點(diǎn)，，，則三棱錐體積的最大值為（）A.384 B.1152 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以為的外接圓的直徑，即半徑，由過(guò)球心垂直于截面的直線必過(guò)截面圓的圓心可知，球心到平面的距離，又直角面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而點(diǎn)到平面的距離的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為．故選:B．8.已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于第一象限），過(guò)作軸于點(diǎn)，若，則面積的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意設(shè)，聯(lián)立消去得，，所以，又，所以，設(shè)，則，，由，得，所以設(shè)到的距離為，所以，所以的面積．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題，共1.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，則的最小值為1【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有成立，但此時(shí)為實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，，由于，則，即，故，由，得，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，故D正確．故選：ABD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象既不關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱也不關(guān)于某直線對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于某直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱【答案】BCD【解析】對(duì)A，令，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A不正確；對(duì)B，令，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，所以的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到，而函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位得到，設(shè)，則，即是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確．故選：BCD．11.在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為上任意一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則（）A.到的準(zhǔn)線的距離為2B.的最小值為C.的方程為D.的面積可以為【答案】BC【解析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知：的坐標(biāo)為，的準(zhǔn)線方程為，所以到準(zhǔn)線的距離為1，所以A錯(cuò)誤；由拋物線的定義，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以B正確；設(shè)，，由題可知，，當(dāng)時(shí)，兩式作差可得，，所以，所以直線的方程為，整理得，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線方程為，把代入得，，所以，即．綜上，直線的方程為，所以C正確；設(shè)直線，，，由，得，由韋達(dá)定理可知：，，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取得最小值為，所以的面積不可以為，所以D錯(cuò)誤．故選:BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，函數(shù)，若，則________．【答案】1【解析】令，可得，所以，所以，又，所以，則，即，因?yàn)?，所以，，?jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)，所以．故答案為：113.如圖，在矩形中，，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，所以，，所以，又，所以，即的取值范圍是．故答案為：14.記曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線為，則上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以與沒(méi)有公共點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離最小值的2倍．設(shè)為上的一點(diǎn)，因，則過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，令，則，故是遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則存在唯一解，此時(shí)過(guò)點(diǎn)的切線與平行，所以上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，所以上任意一點(diǎn)與上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共7.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)椋裕?）由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)檫@樣的有兩解，即關(guān)于的三角方程在時(shí)有兩解，所以，所以．16.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，，，所以的圖象在處的切線方程為，即，化為一般式為．（2）函數(shù)，定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在極值，所以在上必存在變號(hào)零點(diǎn)，即在上必存在零點(diǎn)，由于，由二次函數(shù)性質(zhì)可知只需，解得，即的取值范圍是．17.如圖，在平行六面體中，為的重心，是棱上的一點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）已知平面，且平行六面體的各棱長(zhǎng)均為6，，設(shè)平面與平面的夾角為，求的值．（1）證明：連接，因?yàn)?，得，所以共面，則平面即為平面，再連接，延長(zhǎng)交于，連接，如圖．因?yàn)闉榈闹匦?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以平面．?）解：取的中點(diǎn)為，連接，則．因?yàn)槠矫?，所以平面，又平行六面體的各棱長(zhǎng)均為6，，則為正三角形，又為的中點(diǎn)，可得，，所以，，兩兩垂直，分別以直線，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量，所以．18.在