河南省名校大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（解析）

大聯(lián)考2024—2025學(xué)年（下）高一年級期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選：D2.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①棱柱的所有面都是四邊形；②一個(gè)棱柱至少有6個(gè)頂點(diǎn)，9條棱，5個(gè)面；③過圓錐側(cè)面上任意一點(diǎn)有無數(shù)條母線；④水平放置的三角形用斜二測畫法畫出的直觀圖一定是三角形．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用棱柱的性質(zhì)，棱錐的特點(diǎn)及斜二測畫法特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可.【詳解】不是所有棱柱的所有面都是四邊形，比如六棱柱的底面是六邊形，①不正確；一個(gè)三棱柱有6個(gè)頂點(diǎn)，9條棱，5個(gè)面，②正確；過圓錐側(cè)面上任意一點(diǎn)只有一條母線，③不正確；根據(jù)斜二測畫法的特點(diǎn)可知水平放置的三角形用斜二測畫法畫出的直觀圖一定是三角形，④正確.故選：B3.已知在邊長為的正方形中，點(diǎn)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的定義直接求解即可.【詳解】.故選：B.4.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知（為常數(shù)），若該三角形有兩個(gè)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由三角形有兩個(gè)解可得，代入值求解即可.【詳解】若該三角形有兩個(gè)解，則，又，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：C.5.人臉識別就是利用計(jì)算機(jī)檢測樣本之間的相似度來識別身份的一種技術(shù)，余弦距離是檢測相似度的常用方法．假設(shè)平面內(nèi)有兩個(gè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義余弦相似度為，余弦距離為．已知點(diǎn)，則兩點(diǎn)的余弦距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的定義求出夾角，根據(jù)題意計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，，則，所以兩點(diǎn)的余弦距離為.故選：C6.如圖所示為關(guān)于對稱的兩個(gè)等腰與，已知，則該平面圖形（陰影部分）繞著直線旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)已知條件確定該平面圖形分別繞著直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐形成的幾何體，據(jù)此計(jì)算即可求解.【詳解】該平面圖形分別繞著直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐形成的幾何體，因?yàn)椋詧A柱的高為1，圓柱底面半徑為，圓錐的底面半徑為，高為，所以該幾何體的體積為.故選：D7.已知三棱錐的每條側(cè)棱與它所對的底面邊長相等，且，則該三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意將三棱錐嵌入一個(gè)長方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，設(shè)長方體交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長為，利用勾股定理得到方程組求出，再求出外接球的半徑，即可求出外接球的體積；【詳解】根據(jù)題意：將三棱錐嵌入一個(gè)長方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，設(shè)長方體交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長為，該三棱錐的外接球的半徑為，如圖：則有，所以，所以，即，所以球的體積為，故選：A.8.已知在矩形中，，點(diǎn)為矩形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得和的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，得到，進(jìn)而求得的最小值，得到答案.【詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，則，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)均不為0，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算可得答案.【詳解】對于A，，，顯然，A不正確；對于B，設(shè)，，則，，，所以，B正確；對于C，設(shè)，，，，，所以，C正確；對于D，，，D正確；故選：BCD10.已知在中，角所對的邊分別為，則根據(jù)下列條件能確定為鈍角的是（）A. B.C.均為銳角，且 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)即可根據(jù)判斷A，根據(jù)余弦定理即可求解BD，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解C.【詳解】對于A,由可得，故為鈍角，故A正確，對于B,由可得為銳角，故B錯(cuò)誤，對于C,由于均為銳角，且,,故,因此，故為鈍角，故C正確，對于D，由可得，進(jìn)而可得,故，進(jìn)而可得,無法確定的大小，故D錯(cuò)誤，故選：AC11.如圖是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖，若，所在圓的半徑分別是2和4，且，則（）A.圓臺的側(cè)面積為 B.圓臺的高為C.圓臺的體積為 D.圓臺內(nèi)部可以容納的球的直徑最大為【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由扇形弧長和面積公式得到扇形和扇形的面積，相減得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出圓臺上下底面的半徑，作出輔助線，由勾股定理求出圓臺的高；C選項(xiàng)，根據(jù)圓臺體積公式得到C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)圓臺的高得到當(dāng)球的直徑為時(shí)，半徑為，求出此時(shí)球心到的距離為，得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，又，故，扇形的面積為，扇形的面積為，故圓臺的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，圓臺母線長，由題意得，，解得，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，為圓臺的高，則，，由勾股定理得，圓臺的高為，B正確；C選項(xiàng)，圓臺的體積為，C正確；D選項(xiàng)，由于圓臺的高為，當(dāng)球的直徑為時(shí)，半徑為，梯形的面積為，，，故，又，故此時(shí)球心到的距離為，而，故圓臺內(nèi)部可以容納的球的直徑最大為，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量滿足，則______．【答案】【解析】【分析】由，平方化簡得到和，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由，可得，即，又由，可得，即，整理得，即，即，聯(lián)立方程組，可得，所以.故答案為：.13.已知向量滿足，若與共線，則實(shí)數(shù)______．【答案】##0.5【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量共線坐標(biāo)條件列式計(jì)算即得.【詳解】由向量，得，由與共線，得，所以.故答案為：.14.如圖，某小區(qū)的平面圖是半徑為300米，圓心角的扇形，小路平行于，且點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若米，則劣弧的長為______米．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求出劣弧的圓心角，利用弧長公式可得答案.【詳解】連接，設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以劣弧的長為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)．（1）求的實(shí)部與虛部；（2）若，求和的值．【答案】（1）的實(shí)部為，虛部為；（2）．【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，再根據(jù)實(shí)部和虛部的概念求解；（2）利用共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模長公式代入計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程組，求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以的?shí)部為，虛部為．【小問2詳解】由（1）知，則，，代入，得，化簡可得，所以，解得.16.已知平面向量滿足，且．（1）求與的夾角；（2）若向量，且，求及．【答案】（1）（2），．【解析】【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律運(yùn)算即可求解；（2）由化簡計(jì)算得，再根據(jù)向量模長計(jì)算公式計(jì)算即可得.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以．【小?詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以?7.如圖，正方體的棱長為分別是棱的中點(diǎn)，截面將該正方體分成兩部分，這兩部分的體積分別為，且．（1）求；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)錐體體積公式可得，在利用割補(bǔ)法求；（2）根據(jù)題意利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.【小問1詳解】截面將正方體分成兩個(gè)幾何體，其中較小部分是一個(gè)三棱錐，其底面是腰長為的等腰直角三角形，面積為．又底面上的高為，所以三棱錐的體積．因?yàn)檎襟w的體積，所以剩余部分的體積．【小問2詳解】在中，，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，的面積．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槿忮F與三棱錐是同一個(gè)幾何體，所以，結(jié)合（1）得，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為．18.已知的內(nèi)角的對邊分別為，向量，且．（1）求；（2）若，求周長的取值范圍；（3）若是邊上的點(diǎn)，且平分，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）由得，再利用余弦定理求解；（2）利用余弦定理和基本不等式求范圍；（3）由，結(jié)合三角形面積公式得，再利用基本不等式求最值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，即，由余弦定理得，化簡得，所以，又，所以．【小?詳解】由余弦定理可知，即，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以，所以，即周長的取值范圍為．【小問3詳解】因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又由（2）可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．所以的最大值為．19.（1）某工廠有一種水晶球需用禮盒包裝，為節(jié)省費(fèi)用，設(shè)計(jì)的禮盒需剛好卡住球．現(xiàn)有兩種設(shè)計(jì)方案，一種是正方體禮盒（如圖（1）），另一種是圓柱形禮盒（如圖（2）），在不計(jì)損耗的情況下圓柱形禮盒單位面積的費(fèi)用是正方體禮盒的1.6倍，問：工廠選擇哪一種禮含更經(jīng)濟(jì)實(shí)惠？（2）設(shè)某長方體禮盒的長，寬，高分別為．（?。┤粲檬掷υǎㄈ鐖D（3）），且長方體各面上的每一段彩帶都與所在底面的相應(yīng)邊平行，求所需彩帶的總長度；（不考慮接口處的彩帶長度）（ⅱ）若用對角捆扎法（如圖（4）），且2cm，不考慮接口處的彩帶，結(jié)合（ⅰ），比較兩種捆扎方法中哪一種所用彩帶較短，較短的約為多少厘米？（結(jié)果保留到整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）工廠選擇正方體禮盒更經(jīng)濟(jì)實(shí)惠;（2）（?。?8cm；（ⅱ）35cm．【解析】【分析】（1）設(shè)球的半徑為，正方體禮盒的造價(jià)為元，正方體禮盒，圓柱形禮盒的總造價(jià)分別為，結(jié)合，得到，即可得到答