微專題28 計數(shù)原理VIP

板塊五概率與統(tǒng)計微專題28計數(shù)原理高考定位1.主要考查兩個計數(shù)原理、排列、組合的簡單應(yīng)用，時常與概率相結(jié)合，以選擇題、填空題為主；2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知識，有時也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查.【

真題體驗

】1.(2023·全國乙卷)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有 A.30種 B.60種

C.120種

D.240種√A.6 B.－6 C.12

D.－12√－28r＝0，1，…，7，8.55.(2024·新高考Ⅱ卷)在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是________.1121314012223342132233431524344424112第一步，從第一行任選一個數(shù)，共有4種不同的選法；第二步，從第二行選一個與第一個數(shù)不同列的數(shù)，共有3種不同的選法；第三步，從第三行選一個與第一、二個數(shù)均不同列的數(shù)，共有2種不同的選法；第四步，從第四行選一個與第一、二、三個數(shù)均不同列的數(shù)，只有1種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為4×3×2×1＝24.先按列分析，每列必選出一個數(shù)，故所選4個數(shù)的十位上的數(shù)字分別為1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行個位上的數(shù)字的最大值分別為1，3，3，5，故從第一行選21，從第二行選33，從第三行選43，從第4行選15，此時個位上的數(shù)字之和最大.故選中方格中的4個數(shù)之和的最大值為21＋33＋43＋15＝112.精準(zhǔn)強化練熱點一兩個計數(shù)原理熱點二排列與組合熱點三二項式定理熱點突破熱點一兩個計數(shù)原理1.利用分類加法計數(shù)原理時注意根據(jù)題目特點選擇一個恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，分類時注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類.2.利用分步乘法計數(shù)原理時，注意將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)各步驟都完成了，這件事才能完成.(1)(2024·海南調(diào)研)為了備戰(zhàn)下一屆排球世錦賽，中國國家隊甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，第1次由甲傳給乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者傳給另外三人中的任意一人，往后依次類推，經(jīng)過4次傳球，球仍回到甲手中，則傳法總數(shù)為A.30 B.24 C.21 D.12例1√法一由題意，四人練習(xí)傳球，第1次由甲傳給乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者傳給另外三人中的任意一人，往后依次類推，經(jīng)過4次傳球，球仍回到甲手中，可分兩種情況：①當(dāng)?shù)?次球傳到甲手中，則經(jīng)過4次傳球，球仍回到甲手中，共有3×1×3×1＝9(種)不同的傳法；②當(dāng)?shù)?次球不傳到甲手中，則經(jīng)過4次傳球，球仍回到甲手中，共有3×2×2×1＝12(種)不同的傳法，綜合①②可得經(jīng)過4次傳球，球仍回到甲手中，傳法總數(shù)為9＋12＝21(種).法二由題意第3次傳球后球一定不在甲手中，而第4次傳球只能傳給甲，若第2次傳球后球在甲手中，則不同的傳法有3×1×3×1＝9(種)；若第2次傳球后球不在甲手中，則不同傳法有3×2×2×1＝12(種)，綜上，第4次仍傳回到甲的方法共有9＋12＝21(種).(2)用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是√先涂E，有4種選擇，接下來涂C，有3種選擇，再涂F，有2種選擇，A.120 B.72 C.48

D.24①當(dāng)C，D顏色相同時涂色方法數(shù)是4×3×2×1×2＝48，②當(dāng)C，D顏色不相同時涂色方法數(shù)是4×3×2×1×(1＋2)＝72，∴滿足題意的涂色方法總數(shù)是48＋72＝120.利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點(1)當(dāng)題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事.(2)分類時，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖.(3)對于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步.規(guī)律方法(1)(2024·湛江調(diào)研)某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備編號為1，2，3，4的四道試題，編號為1，2，3，4的四名面試者分別回答其中的一道試題(每名面試者回答的試題互不相同)，則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有A.9種 B.10種

C.11種

D.12種訓(xùn)練1√根據(jù)題意分析可得，面試者1可以從編號為2，3，4的三道試題中任選一道，假設(shè)選編號為2的試題，則面試者2可以從剩下的3道試題中任選一道，假設(shè)選編號為3的試題，則面試者3只能選編號為4的試題，面試者4只能選編號為1的試題，可知面試者1選編號為2的試題時有3種符合題意的選法；同理，面試者1選編號為3或4的試題時，都有3種符合題意的選法，故每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有3＋3＋3＝9種.故選A.√(2)用數(shù)字3，6，9組成四位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為A.81 B.48 C.36

D.24根據(jù)題意，數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，分2種情況討論：①數(shù)字3不出現(xiàn)，此時四位數(shù)的每個數(shù)位都可以為6或9，都有2種情況，則此時四位數(shù)有2×2×2×2＝16個；②數(shù)字3出現(xiàn)1次，則數(shù)字3出現(xiàn)的情況有4種，剩下的三個數(shù)位，可以為6或9，都有2種情況，此時四位數(shù)有4×2×2×2＝32個，故有16＋32＝48個四位數(shù)，故選B.熱點二排列與組合解決排列、組合問題的一般步驟(1)認真審題弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素.(1)(2024·邯鄲模擬)某班聯(lián)歡會原定5個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個節(jié)目，現(xiàn)將這2個新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為A.12 B.18 C.20 D.60例2√根據(jù)題意，可分為兩類：由分類加法計數(shù)原理得，共有8＋12＝20種不同的插法.(2)(2024·杭州模擬)將5名志愿者分配到三個社區(qū)協(xié)助開展活動，每個志愿者去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少1名志愿者，則不同的分配方法數(shù)是A.300 B.240 C.150 D.50√先將5名志愿者分成3組，排列、組合問題的求解方法與技巧(1)合理分類與準(zhǔn)確分步；(2)排列、組合混合問題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題除法處理；(7)“小集團”排列問題先整體后局部；(8)正難則反，等價轉(zhuǎn)化.規(guī)律方法(1)(2024·蘭州診斷)將8個數(shù)學(xué)競賽名額全部分給4個不同的班，每個班至少有1個名額，則不同的分配方案種數(shù)為A.15 B.35 C.56

D.70訓(xùn)練2√將8個數(shù)學(xué)競賽名額全部分給4個不同的班，每個班至少有1個名額，可類比為用3個隔板插入8個小球中間的空隙中，將球分成4堆，√(2)(2024·聊城模擬)班主任從甲、乙、丙三位同學(xué)中安排四門不同學(xué)科的課代表，要求每門學(xué)科有且只有一位課代表，每位同學(xué)至多擔(dān)任兩門學(xué)科的課代表，則不同的安排方案共有A.60種 B.54種

C.48種

D.36種綜合得不同的安排方案共有36＋18＝54種.熱點三二項式定理熱點三二項式定理例3√對于A，(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，√√令x＝0，則a0＝1，易知a1，a3，a5，a7，a9為負數(shù)，a2，a4，a6，a8，a10為正數(shù).令x＝－1，則310＝a0－a1＋a2－…－a9＋a10，故|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－a1＋a2－…－a9＋a10＝310－1，故A正確；9－18由a0＋a1＝－35，得1－4n＝－35，解得n＝9.規(guī)律方法訓(xùn)練3√√A.二項式系數(shù)最大項為第五項

B.各項系數(shù)和為0C.含x4項的系數(shù)為4 D.所有項二項式系數(shù)和為16√對于D，所有項的二項式的系數(shù)和為24＝16，故D正確.【精準(zhǔn)強化練】√1.(2024·煙臺模擬)將8個大小形狀完全相同的小球放入3個不同的盒子中，要求每個盒子中至少放2個小球，則不同放法的種數(shù)為 A.3

B.6 C.10 D.15√A.－112 B.112 C.－28 D.28√3.(2024·石家莊質(zhì)檢)某一年賀歲片《第二十條》《熱辣滾燙》《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有 A.9種 B.36種

C.38種

D.45種從4人中選擇2人看同一部影片，√4.(2024·邵陽模擬)某市舉行鄉(xiāng)村振興匯報會，六個獲獎單位的負責(zé)人甲、乙、丙等六人分別上臺發(fā)言，其中負責(zé)人甲、乙發(fā)言順序必須相鄰，丙不能在第一個與最后一個發(fā)言，則不同的安排方法共有 A.240種 B.120種

C.156種

D.144種√5.(1＋2x)(1＋x)3的展開式中x2的系數(shù)為 A.4

B.6 C.9 D.106.(2024·荊州調(diào)研)(a2－a＋b)5的展開式中a5b2的系數(shù)為 A.－60 B.－30 C.30 D.60(a2－a＋b)5＝[(a2－a)＋b]5，√7.某公園有如圖所示A至H共8個座位，現(xiàn)有2個男孩2個女孩要坐下休息，要求相同性別的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，則不同的坐法總數(shù)為第一步：排男孩，第一個男孩在第一行有四個位置可選，第二個男孩在第二行有三個位置可選，由于兩名男孩可以互換，故男孩的排法有4×3×2＝24(種)，√ABCDEFGHA.168 B.336 C.338 D.84第二步：排女孩，若男孩選AF，則女孩有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7種選擇，

由于女孩可以互換，故女孩的排法有2×7＝14(種)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有24×14＝336(種)，故選B.8.(2024·嘉興模擬)6位學(xué)生在游樂場游玩A，B，C三個項目，每個人都只游玩一個項目，每個項目都有人游玩，若A項目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有 A.180種 B.210種

C.240種

D.360種√9.3個人坐在一排5個座位上，則下列說法正確的是 A.共有60種不同的坐法

B.空位不相鄰的坐法有72種 C.空位相鄰的坐法有24種 D.兩端不是空位的坐法有18種√√√然后把2個空位插入3個人形成的4個空隙中，對于C，把2個空位先捆綁好，再插入3人形成的4個空隙中，

對于D，先從3人中抽取2人放在兩端，第三個人在中間的3個空位中任取一個，10.(2024·鄭州調(diào)研)已知(m＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，(x－1)(m＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5，其中m∈R，m≠0.若a2＝3b2，則 A.m＝2 B.a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81 C.b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝－16 D.b1＋2b2＋3b3＋4b4＋5b5＝80√√因為a2＝3b2，所以6m2＝3(4m3－6m2)，解得m＝0(舍去)或m＝2，故A正確；由(2＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝34＝81，故B正確；由(x－1)(2＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5，令x＝0可得b0＝－24＝－16，令x＝1可得b0＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝0，所以b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝16，故C錯誤；將(x－1)(2＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5兩邊對x求導(dǎo)可得，(2＋x)4＋4(x－1)(2＋x)3＝b1＋2b2x＋3b3x2＋4b4x3＋5b5x4，令x＝1