數(shù)學(xué)－“問題解決策略：轉(zhuǎn)化”教案 2024-2025學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊

“問題解決策略：轉(zhuǎn)化”教案一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能理解“轉(zhuǎn)化”策略在數(shù)學(xué)問題解決中的意義，能運用軸對稱變換解決最短路徑問題。掌握將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的方法，體會轉(zhuǎn)化思想在幾何中的應(yīng)用。通過“將軍飲馬”等實例，感受轉(zhuǎn)化策略在實際問題中的通用性。過程與方法經(jīng)歷從實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。通過小組討論、動手操作等活動，體會“化繁為簡”“化陌生為熟悉”的轉(zhuǎn)化思路。情感態(tài)度與價值觀激發(fā)對數(shù)學(xué)問題的探究興趣，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。培養(yǎng)合作交流意識和創(chuàng)新思維，體驗轉(zhuǎn)化策略的巧妙性與實用性。二、教學(xué)重難點重點難點1.利用軸對稱轉(zhuǎn)化最短路徑問題（“將軍飲馬”模型）2.不規(guī)則圖形面積的轉(zhuǎn)化方法1.最短路徑問題中對稱軸的構(gòu)造與邏輯推理2.復(fù)雜問題中轉(zhuǎn)化策略的靈活應(yīng)用三、教學(xué)方法講授法、探究法、小組討論法、多媒體輔助教學(xué)法四、教學(xué)過程（一）新課導(dǎo)入（5分鐘）情境引入提問：如何計算平行四邊形的面積？（學(xué)生回答：底×高）計算：12.5×0.5。引導(dǎo)學(xué)生觀察：將12.5×0.5轉(zhuǎn)化為125×5÷100，體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”思想。總結(jié)：轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題的重要策略，引出課題。設(shè)計意圖：通過簡單計算喚醒學(xué)生對“轉(zhuǎn)化”的認(rèn)知，自然切入主題，降低學(xué)習(xí)難度。（二）新課探究：最短路徑問題（15分鐘）問題呈現(xiàn)實際問題：如圖，某工廠計劃在一條筆直的道路上設(shè)立一個儲物點，工作人員每天進(jìn)入工廠大門后，先到儲物點取物品，然后再到車間。你認(rèn)為該儲物點應(yīng)建在什么地方，才能使工作人員所走的路程最短?數(shù)學(xué)抽象：如果把大門、車間和儲物點所在的位置都看作點，把道路看作一條直線，那么上述問題可以抽象成怎樣的數(shù)學(xué)問題?類比遷移回顧“將軍飲馬”問題：直線

l

兩側(cè)有

A、B，直接連接

AB

與

l

交點即為最短點（依據(jù)：兩點之間線段最短）。對比分析：原問題中

A、B

在同側(cè)，需轉(zhuǎn)化為兩側(cè)問題。轉(zhuǎn)化策略操作演示：作點

B

關(guān)于

l

的對稱點

B'，連接

AB'交

l

于點

C。邏輯推理：由軸對稱性質(zhì)，BC=B'C，故

AC+BC=AC+B'C。根據(jù)“兩點之間線段最短”，AB'最短，因此點

C

為所求?？偨Y(jié)模型：同側(cè)點最短路徑問題，通過軸對稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)點，利用線段公理解決。設(shè)計意圖：通過“實際問題→數(shù)學(xué)模型→類比轉(zhuǎn)化→推理驗證”的流程，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過程，理解轉(zhuǎn)化的邏輯依據(jù)。（三）課堂練習(xí)：轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用（12分鐘）圖形面積轉(zhuǎn)化練習(xí)1：正方形內(nèi)畫半圓，求陰影面積（如圖）。引導(dǎo)分析：陰影部分由4個“半圓-三角形”組成，轉(zhuǎn)化為

2S圓-S正方形。解答：S陰影=4(S半圓-S三角形)=2S圓-4S三角形=2S圓-S正方形=12練習(xí)2：雙正方形組合中求陰影面積（扇形BAC）。直接轉(zhuǎn)化：陰影面積即扇形面積，計算得

S扇形BAC=14π×22=π策略性問題轉(zhuǎn)化練習(xí)3：兩堆棋子取子策略。（1）數(shù)量相等時：后取，對稱策略（對方取

n

枚，己方在另一堆取

n

枚）。（2）數(shù)量不等時：先取多的一堆使剩余數(shù)量相等，再用對稱策略。最短周長問題練習(xí)4：在∠AOB內(nèi)找

M、N，使△PMN周長最小。轉(zhuǎn)化方法：作點

P

關(guān)于

OA

和

OB

的對稱點

P'、P''，連接

P'P''交

OA、OB

于

M、N。設(shè)計意圖：通過多類型練習(xí)，鞏固轉(zhuǎn)化策略在幾何、策略游戲中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生靈活遷移的能力。（四）課堂小結(jié)（3分鐘）知識梳理轉(zhuǎn)化策略：化陌生為熟悉、化復(fù)雜為簡單、化不規(guī)則為規(guī)則。典型應(yīng)用：最短路徑：軸對稱轉(zhuǎn)化（同側(cè)→異側(cè)）。面積計算：分割、補全、對稱等轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。策略問題：利用“對稱”“平衡”思想構(gòu)造等價模型。學(xué)生分享：請學(xué)生舉例說明生活或數(shù)學(xué)中遇到的轉(zhuǎn)化問題，強化應(yīng)用意識。設(shè)計意圖：通過總結(jié)提煉，幫助學(xué)生構(gòu)建轉(zhuǎn)化策略的知識框架，提升數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知層次。（五）課后作業(yè)（布置）基礎(chǔ)題：課本對應(yīng)練習(xí)題，鞏固最短路徑和面積轉(zhuǎn)化的基本方法。拓展題：設(shè)計一個生活中的最短路徑問題，并用轉(zhuǎn)化策略解決（圖文結(jié)合）。設(shè)計意圖：分層作業(yè)滿足不同學(xué)生需求，拓展題培養(yǎng)實踐創(chuàng)新能力。五、板書設(shè)計問題解決策略：轉(zhuǎn)化

核心思想：化繁為簡、化陌生為熟悉

最短路徑問題-模型：同側(cè)點→異側(cè)點（軸對稱轉(zhuǎn)化）-步驟：作對稱點→連線段→求交點

面積轉(zhuǎn)化問題-方法：分割法、補全法、對稱法-示例：陰影面積=規(guī)則圖形面積差4.

策略應(yīng)用：對稱策略（取子問題、周長最小問題）六、教學(xué)反思成功點：通過“將軍飲馬”模型直觀展示轉(zhuǎn)化過程，學(xué)生對最短路徑問題理解較深入；練習(xí)設(shè)計涵蓋多維度，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化策略的廣泛性。改進(jìn)點：部分學(xué)生在復(fù)雜圖形面積轉(zhuǎn)化中缺乏構(gòu)圖技巧