高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(19)(解析版)

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（19）15.已知，函數(shù)，且.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解答】【分析】（1）先得到函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，由解出的值，進(jìn)而得到，由得到單調(diào)遞減區(qū)間，由得到單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若恒成立，則成立，由（1）知，從而可以得到的取值范圍.【小問1詳解】的定義域?yàn)椋梢阎?，因?yàn)?，所以，解得，所?令，解得（舍），.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值.因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值，所以.因?yàn)楹愠闪?，所以，即，?所以的取值范圍是.16.面試是求職者進(jìn)入職場的一個(gè)重要關(guān)口，也是機(jī)構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié)．某科技企業(yè)招聘員工，首先要進(jìn)行筆試，筆試達(dá)標(biāo)者才能進(jìn)入面試．面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個(gè)問題，第一題考查對(duì)公司的了解，答對(duì)得1分，答錯(cuò)不得分；第二題和第三題均考查專業(yè)知識(shí)，每道題答對(duì)得2分，答錯(cuò)不得分．（1）根據(jù)近幾年的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，應(yīng)聘者的筆試得分服從正態(tài)分布，要求滿足為達(dá)標(biāo)．現(xiàn)有1000人參加應(yīng)聘，求進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）（2）某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，每道題是否答對(duì)互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：若，則，【答案】（1）159（2）分布列見解答，【解答】【分析】（1）由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)求得對(duì)應(yīng)概率，即得對(duì)應(yīng)人數(shù)；（2）由題可知的可能取值為，求得對(duì)應(yīng)的概率以及分布列，進(jìn)一步由期望公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以．因?yàn)?，所以，所以．因此，進(jìn)入面試的人數(shù)約為159．【小問2詳解】由題意可知，的可能取值為，則；；．所以的分布列為：012345所以．17.如圖，在四棱錐中，，，且是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）先證明線面垂直再根據(jù)面面垂直判定定理證明即可；（2）先根據(jù)二面角求參得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再應(yīng)用線面角向量求法計(jì)算.【小問1詳解】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所?因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)椋?，?因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問2詳解】在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平?以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.由（1）可知為二面角的平面角，即，所以，由，可得.所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的余弦值為.18.已知平面內(nèi)一動(dòng)圓過點(diǎn)，且在軸上截得弦長為2，動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，曲線上有四個(gè)點(diǎn)，其中是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，記的中點(diǎn)為.①求直線的斜率：②求面積的最大值.【答案】（1）（2）①；②【解答】【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，根據(jù)題意結(jié)合距離公式運(yùn)算求解；（2）①設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)利用同構(gòu)可得為方程的兩根，利用韋達(dá)定理分析證明；②根據(jù)題意可得，結(jié)合圓的方程可得，進(jìn)而可得最值.【小問1詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心，當(dāng)時(shí)，由已知得，即；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為點(diǎn)，滿足.綜上可知，點(diǎn)的軌跡方程為.【小問2詳解】①設(shè).由題意得，的中點(diǎn)在拋物線上，即.又，將代入得，同理可得，可知為方程的兩根，所以.所以直線的斜率為0；②由得，所以，又因?yàn)?，所?又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，且.設(shè)的面積為S，則，當(dāng)時(shí)，S有最大值48.所以面積的最大值為48.【小結(jié)】方法小結(jié)：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．19.法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費(fèi)馬點(diǎn)”，即平面內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，托里拆利確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法如下：①當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，滿足的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)；②當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)用以上知識(shí)解決下面的問題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，且.（1）求；（2）若，求的最大值；（3）若，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解答】【分析】（1）根據(jù)倍角公式得到，由正弦定理得到，從而；（2）根據(jù)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)得到，再由及三角形面積公式得到，因?yàn)榧熬挡坏仁?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；（3）設(shè)，所以，在三個(gè)小三角形中分別用余弦定理表示出、、AB再結(jié)合得到，從而由均值不等式得，從而得到的最小值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，由正弦定理?所以.【小問2詳解】由（1）知，所以的三個(gè)角都小于，因?yàn)辄c(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，所以.由得：，整理得.又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，所以的最大值為.【小問3詳解】由（2）知.設(shè)，由得.由余弦定理得：在中，，在中，，在中，，因?yàn)?，所以，整理?因?yàn)閙+n+2=mn≤m+n22所以，整理得，解得或者（舍去），所以實(shí)數(shù)的最小值為.【小結(jié)】思