2025版高考數(shù)學一輪復習第八章立體幾何第2講空間幾何體的表面積和體積教案理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第2講空間幾何體的表面積和體積基礎(chǔ)學問整合1．多面體的表面積、側(cè)面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是eq\o(□,\s\up4(01))側(cè)面綻開圖的面積，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．2．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面綻開圖及側(cè)面積公式3.柱、錐、臺和球的表面積和體積1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等．2．幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.1．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()A．6 B．9C．12 D．18答案B解析由三視圖可推知，幾何體的直觀圖如圖所示，可知AB＝6，CD＝3，PC＝3，CD垂直平分AB，且PC⊥平面ACB，故所求幾何體的體積為eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×3))×3＝9.故選B.2．(2024·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A．2 B．4C．6 D．8答案C解析由三視圖知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，即如圖所示四棱柱A1B1C1D1－ABCD.由三視圖中數(shù)據(jù)可知底面梯形的兩底分別為1和2，高為2，所以S底面＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3.直四棱柱的高為2，所以體積V＝3×2＝6.故選C.3．(2024·北京模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5) D．5答案C解析該三棱錐的直觀圖如圖所示：過D作DE⊥BC，交BC于E，連接AE，則BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝2＋2eq\r(5).故選C.4．如圖，半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為eq\r(6)，則球的表面積和體積分別為________，________.答案36π36π解析底面中心與C′連線即為半徑，設球的半徑為R，則R2＝(eq\r(6))2＋(eq\r(3))2＝9.所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π，V球＝eq\f(4,3)πR3＝36π.5．如圖所示，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(3)，則球O的體積等于________．答案eq\f(9π,2)解析由題意知，DC邊的中點就是球心O，因為它到D，A，C，B四點的距離相等，∴球的半徑R＝eq\f(1,2)CD，又AB＝BC＝eq\r(3)，∴AC＝eq\r(6)，∴CD＝eq\r(AC2＋AD2)＝3，∴R＝eq\f(3,2)，∴V球O＝eq\f(4π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).核心考向突破考向一幾何體的表面積例1(1)(2024·全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π答案B解析依據(jù)題意，可得截面是邊長為2eq\r(2)的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是eq\r(2)的圓，且高為2eq\r(2)，所以其表面積為S＝2π(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故選B.(2)(2024·河北承德模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的表面積為()A．8＋4eq\r(2)＋2eq\r(5) B．6＋4eq\r(2)＋4eq\r(5)C．6＋2eq\r(2)＋2eq\r(5) D．8＋2eq\r(2)＋2eq\r(5)答案C解析由三視圖可知，該幾何體為放在正方體內(nèi)的四棱錐E－ABCD，如圖，正方體的棱長為2，該四棱錐底面為正方形，面積為4，前后兩個側(cè)面為等腰三角形，面積分別為2eq\r(2)，2，左右兩個側(cè)面為直角三角形，面積都為eq\r(5)，可得這個幾何體的表面積為6＋2eq\r(2)＋2eq\r(5)，故選C.觸類旁通空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．eq\a\vs4\al(2多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理.)eq\a\vs4\al(3旋轉(zhuǎn)體的表面積問題留意其側(cè)面綻開圖的應用.)即時訓練1.(2024·山東濰坊模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20π B．24πC．28π D．32π答案C解析由三視圖可知該幾何體為組合體，上半部分為圓柱，下半部分為圓錐，圓柱的底面半徑為1，高為2，圓錐的底面半徑為3，高為4，則該幾何體的表面積S＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故選C.2．一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()A．1＋eq\r(3) B．1＋2eq\r(2)C．2＋eq\r(3) D．2eq\r(2)答案C解析由三視圖可得該四面體的直觀圖如圖所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD與△BCD為全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝eq\r(2).取BD的中點O，連接AO，CO，則AO⊥CO，AO＝CO＝1.由勾股定理得AC＝eq\r(2)，因此△ABC與△ACD為全等的正三角形，由三角形面積公式得S△ABC＝S△ACD＝eq\f(\r(3),2)，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面體的表面積為2＋eq\r(3).故選C.考向二幾何體的體積角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(1))補形法求體積例2(1)(2024·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90πB．63πC．42πD．36π答案B解析(割補法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示．將圓柱補全，并將圓柱從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故選B.(2)(2024·河北質(zhì)檢)《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學專著，書中有關(guān)于“塹堵”的記載，“塹堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“塹堵”被一個平面截去一部分后，剩下部分的三視圖如圖所示，則剩下部分的體積是()A．50 B．75C．25.5 D．37.5答案D解析如圖，由題意及給定的三視圖可知，剩余部分是在直三棱柱的基礎(chǔ)上，截去一個四棱錐C1－MNB1A1所得的，且直三棱柱的底面是腰長為5的等腰直角三角形，高為5.圖中幾何體ABCC1MN為剩余部分，因為AM＝2，B1C1⊥平面MNB1A1，所以剩余部分的體積V＝V三棱柱－V四棱錐＝eq\f(1,2)×5×5×5－eq\f(1,3)×3×5×5＝37.5，故選D.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(2))分割法求體積例3(1)(2024·山西五校聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊柱的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高1丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為()A．5000立方尺 B．5500立方尺C．6000立方尺 D．6500立方尺答案A解析該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點G，CD的中點H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F－GBCH與三棱柱ADE－GHF的體積之和．又可以將三棱柱ADE－GHF割補成高為EF，底面積為S＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)平方丈的一個直棱柱，故該楔體的體積V＝eq\f(3,2)×2＋eq\f(1,3)×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．故選A.(2)(2024·江蘇高考)如圖所示，正方體的棱長為2，以其全部面的中心為頂點的多面體的體積為________．答案eq\f(4,3)解析多面體由兩個完全相同的正四棱錐組合而成，其中正四棱錐的底面邊長為eq\r(2)，高為1，∴其體積為eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(2,3)，∴多面體的體積為eq\f(4,3).角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(3))轉(zhuǎn)化法求體積例4(1)如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點，則三棱錐A－A1EF的體積是________．答案8eq\r(3)解析由正三棱柱的底面邊長為4，得點F到平面A1AE的距離(等于點C到平面A1ABB1的距離)為eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，則V三棱錐A－A1EF＝V三棱錐F－A1AE＝eq\f(1,3)S三角形A1AE×2eq\r(3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).(2)三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________.答案eq\f(1,4)解析如圖所示，由于D，E分別是邊PB與PC的中點，所以S△BDE＝eq\f(1,4)S△PBC.又因為三棱錐A－BDE與三棱錐A－PBC的高相等，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).觸類旁通空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可干脆利用公式進行求解．2若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解.3若以三視圖的形式給出幾何體，則應先依據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后依據(jù)條件求解.即時訓練3.(2024·安徽蚌埠質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則它的體積可能為()A．π＋eq\f(4,3) B．π＋2C．2π＋eq\f(4,3) D．2π＋2答案A解析由三視圖可知，該幾何體由半個圓柱和一個三棱錐組合而成．故體積為eq\f(1,2)×π×12×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝π＋eq\f(4,3).4．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－EDF的體積為________．答案eq\f(1,6)解析三棱錐D1－EDF的體積即為三棱錐F－DD1E的體積．因為E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點，所以正方體ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面積為定值eq\f(1,2)，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VF－DD1E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).5．如圖，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5.求此幾何體的體積．解解法一：如圖，取CM＝AN＝BD，連接DM，MN，DN，用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐．則V幾何體＝V三棱柱＋V四棱錐．由題知三棱柱ABC－NDM的體積為V1＝eq\f(1,2)×8×6×3＝72.四棱錐D－MNEF的體積為：V2＝eq\f(1,3)×S梯形MNEF×DN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×6×8＝24，則幾何體的體積為：V＝V1＋V2＝72＋24＝96.解法二：用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝eq\f(1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)×S△ABC×AA′＝eq\f(1,2)×24×8＝96.考向三與球有關(guān)的切、接問題例5(1)(2024·全國卷Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)答案B解析如圖所示，點M為三角形ABC的重心，E為AC的中點，當DM⊥平面ABC時，三棱錐D－ABC體積最大，此時，OD＝OB＝R＝4.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，∴AB＝6，∵點M為三角形ABC的重心，∴BM＝eq\f(2,3)BE＝2eq\r(3)，∴在Rt△OMB中，有OM＝eq\r(OB2－BM2)＝2.∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，∴(V三棱錐D－ABC)max＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).故選B.(2)(2024·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S－ABC的全部頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為________．答案36π解析如圖，連接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.設球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱錐S－ABC的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SC·OB))·OA＝eq\f(r3,3)，即eq\f(r3,3)＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.觸類旁通空間幾何體與球切、接問題的求解方法(1)與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．2若球面上四點P，A