2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題3.3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值講文含解析

PAGEPAGE1專題3.3利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值、最值1.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、微小值；3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值。學(xué)問點1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).學(xué)問點2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f′(x0)＝0x0旁邊的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0x0旁邊的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0圖象形如山峰形如山谷極值f(x0)為極大值f(x0)為微小值極值點x0為極大值點x0為微小值點學(xué)問點3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件假如在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連綿不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.【特殊提示】1.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.2.對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.3.求最值時，應(yīng)留意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，須要分類探討，不行想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.4.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與微小值之間沒有必定的大小關(guān)系.考點一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值【典例1】(2024·哈爾濱三中模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)，當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，求f(x)的極值；【解析】當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，f(x)＝lnx－eq\f(1,2)x，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)且f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x)，令f′(x)＝0，得x＝2，于是當(dāng)x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln2－1，無微小值。【方法技巧】由圖象推斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點。【變式1】(2024·河北衡水深州中學(xué)測試)探討函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).【解析】由(1)知，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)(x>0).當(dāng)a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點；當(dāng)a>0時，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))時，f′(x)>0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))時，f′(x)<0，故函數(shù)在x＝eq\f(1,a)處有極大值.綜上可知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值點，當(dāng)a>0時，函數(shù)y＝f(x)有一個極大值點，且為x＝eq\f(1,a).考點二已知函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的取值范圍【典例2】(2024·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.①若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行，求a；②若f(x)在x＝2處取得微小值，求a的取值范圍.【解析】①因為f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由題設(shè)知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此時f(1)＝3e≠0.所以a的值為1.②f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a>eq\f(1,2)，則當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，2))時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2處取得微小值.若a≤eq\f(1,2)，則當(dāng)x∈(0，2)時，x－2<0，ax－1≤eq\f(1,2)x－1<0，所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的微小值點.綜上可知，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).【方法技巧】已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要留意：(1)依據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必需檢驗.【變式2】(2024·全國Ⅱ卷)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的極值點，則f(x)的微小值為()A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1【答案】A【解析】f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，則f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0?a＝－1，則f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，當(dāng)x<－2或x>1時，f′(x)>0，當(dāng)－2<x<1時，f′(x)<0，所以x＝1是函數(shù)f(x)的微小值點，則f(x)微小值為f(1)＝－1.考點三利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值【典例3】(2024·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sinx＋sin2x，則f(x)的最小值是________．【答案】－eq\f(3\r(3),2)【解析】f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴當(dāng)cosx＜eq\f(1,2)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)cosx＞eq\f(1,2)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．∴當(dāng)cosx＝eq\f(1,2)，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴當(dāng)sinx＝－eq\f(\r(3),2)時，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝－eq\f(3\r(3),2).【方法技巧】求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)的最值的思路(1)若所給的閉區(qū)間[a，b]不含有參數(shù)，則只需對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，并求f′(x)＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)的根，再計算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．(2)若所給的閉區(qū)間[a，b]含有參數(shù)，則需對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類探討，推斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值．【變式3】(2024·廣東廣雅中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數(shù).(1)當(dāng)a＝－1時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定義域為(0，＋∞)，當(dāng)a＝－1時，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－x,x)，令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0；當(dāng)x>1時，f′(x)<0.∴f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù).∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴當(dāng)a＝－1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最大值為－1.(2)f′(x)＝a＋eq\f(1,x)，x∈(0，e]，eq\f(1,x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).①若a≥－eq\f(1,e)，則f′(x)≥0，從而f(x)在(0，e]上是增函數(shù)，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合題意.②若a<－eq\f(1,e)，令f′(x)>0得a＋eq\f(1,x)>0，結(jié)合x∈(0，e]，解得0<x<－eq\f(1,a)；令f′(x)<0得a＋eq\f(1,x)<0，結(jié)合x∈(0，e]，解得－eq\f(1,a)<x≤e.從而f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))上為增函數(shù)，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，e))上為減函數(shù)，∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))).令－1＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－3，得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－2，即a＝－e2.∵－e2<－eq\f(1,e)，∴a＝－e2為所求.故實數(shù)a的值為－e2.考點四利用導(dǎo)數(shù)求解最優(yōu)化問題【典例4】(2024·全國Ⅰ卷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長改變時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______.【答案】4eq\r(15)【解析】由題意，連接OD，交BC與點G，由題意，OD⊥BC，設(shè)OG＝x，則BC＝2eq\r(3)x，DG＝5－x，三棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(DG2－OG2)＝eq\r(25－10x＋x2－x2)＝eq\r(25－10x)，S△ABC＝eq\f(1,2)·(2eq\r(3)x)2·sin60°＝3eq\r(3)x2，則三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\r(3)x2·eq\r(25－10x)＝eq\r(3)·eq\r(25x4－10x5)，令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，則f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)＝0得x＝2，當(dāng)x∈(0，2)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝2時，f(x)取得最大值80，則V≤eq\r(3)×eq\r(80)＝4eq\r(15).∴體積最大值為4eq\r(15)cm3.【方法技巧】1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：(1)設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并確定其定義域；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)回來實際問題作答.2.假如目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值點，那么依據(jù)實際意義該極值點就是最值點.【變式4】（2024·山東菏澤一中質(zhì)量檢測）傳聞中孫悟空的“如意金箍棒”是由“定海神針”變形得來的.這定海神針在變形時恒久保持為圓柱體，其底面半徑原為12cm且以每秒1cm等速率縮短，而長度以每秒20cm等速率增長.已知神針的底面半徑只能從12cm縮到4cm，且知在這段變形過程中，當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm時其體積最大.假設(shè)孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒，則此時金箍棒的底面半徑為________cm.【答案】4【解析】設(shè)神針原來的長度為acm，t秒時神針的體積為V(t)cm3，則V(t)＝π(12－t)2·(a＋20t)，其中0≤t≤8，