2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 ★★　　二次函數(shù)綜合題復(fù)習(xí)課件

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題★★二次函數(shù)綜合題

(2)連接BC，若點P在y軸上時，BP和BC的夾角為15°，求線段CP的長度；【分層分析】分點P在點C上方和下方兩種情況，先求出∠OBP的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求出OP的長，從而得出答案．

1．(2022·貴陽第24題12分)已知二次函數(shù)y＝ax2＋4ax＋b.(1)求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(用含a，b的代數(shù)式表示)；(2)在平面直角坐標系中，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點，AB＝6，且圖象過(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f)四點，判斷c，d，e，f的大小，并說明理由；(3)點M(m，n)是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)－2≤m≤1時，n的取值范圍是－1≤n≤1，求二次函數(shù)的解析式．解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x＋2)2－4a＋b，∴二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(－2，－4a＋b)．(2)由(1)得拋物線對稱軸為直線x＝－2，當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，∵|3－(－2)|＞|1－(－2)|＞|(－1)－(－2)|＝|(－3)－(－2)|，∴d＞c＞e＝f；當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下，∵|3－(－2)|＞|1－(－2)|＞|(－1)－(－2)|＝|(－3)－(－2)|，∴d＜c＜e＝f.

2．(2021·貴陽第24題12分)甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m.(1)按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)解析式；(2)一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由(假設(shè)船底與水面齊平)；(3)如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移m(m＞0)個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．

(3)拋物線y＝－x2＋2x在x軸上方的部分與橋拱在平靜水面中的倒影關(guān)于x軸成軸對稱．如答圖①所示，新函數(shù)圖象的對稱軸也是直線x＝4，此時，當(dāng)0≤x≤4或x≥8時，y的值隨x值的增大而減小，將新函數(shù)圖象向右平移m個單位長度，可得平移后的函數(shù)圖象，如答圖②所示，∵平移不改變圖形形狀和大小，∴平移后函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝4＋m，∴當(dāng)m≤x≤4＋m或x≥8＋m時，y的值隨x值的增大而減小，∴當(dāng)8≤x≤9時，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，得m的取值范圍：①m≤8且4＋m≥9，得5≤m≤8，②8＋m≤8，得m≤0，由題意知m＞0，∴m≤0不符合題意，舍去，綜上所述，m的取值范圍是5≤m≤8.1．在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝x2－2ax＋3a,頂點坐標為(m，n).(1)若函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對稱，求函數(shù)的解析式；(2)求n的最大值；(3)是否存在實數(shù)a(a＞1)，使得當(dāng)1≤x≤4時，二次函數(shù)的最大值為最小值的2倍，若存在，求出a；若不存在，請說明理由．

2．(2024·黔南州模擬)已知拋物線y＝ax2－4ax＋4a(a≠0)．(1)拋物線的頂點坐標為

；(2)當(dāng)－1≤x≤2時，y的最大值為18，求出a的值；(3)在(2)的條件下，若A(m，y1)，B(m＋t，y2)是拋物線上兩點，其中t＞0，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G(包含A，B兩點)，當(dāng)A，B兩點在拋物線的對稱軸的兩側(cè)時，圖象G上最高點與最低點的縱坐標之差為2，求t的取值范圍．(2，0)解：(2)∵拋物線的頂點坐標是(2，0)，對稱軸為直線x＝2，∴若a＜0，則當(dāng)－1≤x≤2時，y的最大值為0，不符合題意，∴a＞0，拋物線開口向上，∵當(dāng)x≤2時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝－1時，y＝ax2－4ax＋4a取最大值18，∴18＝a×(－1)2－4a×(－1)＋4a，解得a＝2.(3)由(2)得y＝2x2－8x＋8，∵對稱軸為直線x＝2，頂點為(2，0)，∴y最小值是0，∵A，B兩點在對稱軸兩側(cè)，即m＜2＜m＋t，最高點與最低點的縱坐標之差為2，∴拋物線最高點的縱坐標為2.∴當(dāng)y＝2時，得2x2－8x＋8＝2，解得x1＝1，x2＝3.當(dāng)m＝1時，則2＜m＋t≤3滿足題意，解得1＜t≤2，當(dāng)m＋t＝3時，則1≤m＜2滿足題意；解得1＜t≤2.綜上所述，t的取值范圍為1＜t≤2.3．在平面直角坐標系中，已知拋物線C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直線l：y＝kx＋b，A(－3，－3)，B(1，－1)兩點均在直線l上．(1)求出直線l的解析式；(2)當(dāng)a＝－1，二次函數(shù)y＝ax2＋2x－1的自變量x滿足m≤x≤m＋2時，函數(shù)y的最大值為－4，求m的值；(3)若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，求a的取值范圍．

4．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象過點(－1，0)，(0，3)，(1，4)．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)－1≤x≤2時，求函數(shù)y的最大值和最小值；(3)當(dāng)－1≤x≤m時，函數(shù)y的取值范圍為0≤y≤4，求m的取值范圍；(4)點M的坐標為(n，2)，點N的坐標為(n＋4，2)，若線段MN與該函數(shù)圖象恰有一個交點，直接寫出n的取值范圍．解：(1)y＝－x2＋2x＋3.(3)令y＝0可得，x1＝－1，x2＝3，當(dāng)0≤y≤4，m的取值范圍為1≤m≤3.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為(1，4)，∴當(dāng)x＝－1時，最小值為y＝0，當(dāng)x＝1時，最大值為y＝4.

類型二：二次函數(shù)與幾何綜合題(10年5考)

5．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2－4x＋3a(a為常數(shù)，且a≠0)與y軸交于點A，過點A作y軸的垂線與此拋物線交于點B，點A與點B不重合．(1)拋物線的對稱軸為直線x＝

；(2)當(dāng)拋物線經(jīng)過原點時．①求拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；②當(dāng)m≤x≤m＋2(m為常數(shù))時，y的最小值為－3，求m的值；(3)若點P是拋物線對稱軸上的點，其縱坐標為2a＋1，當(dāng)以A，B，P三個點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求a的值．2解：(2)①y＝x2－4x.②當(dāng)m＋2<2，即m<0時，二次函數(shù)y＝x2－4x在x＝m＋2時取最小值．∴(m＋2)2－4(m＋2)＝－3，解得m1＝－1，m2＝1(舍去)．當(dāng)m≤2≤m＋2，即0≤m≤2時，二次函數(shù)y＝x2－4x在x＝2時取最小值．此時最小值為22－4×2＝－4，不符合題意．當(dāng)m>2時，二次函數(shù)y＝x2－4x在x＝m時取最小值，∴m2－4m＝－3，解得m3＝1(舍去)，m4＝3.綜上所述，m的值為－1或3.(3)設(shè)拋物線的對稱軸交AB于點K，連接PA，PB.在y＝x2－4x＋3a中，令x＝0得y＝3a，∴A(0，3a)，∴B(4，3a)，K(2，3a)．∴P(2，2a＋1)．∴PK＝|－a＋1|.以A，B，P三個點為頂點的三角形是等腰直角三角形，由圖可知，直角頂點為P，∴AK＝PK，∴2＝|－a＋1|，解得a＝－1或a＝3.∴a的值為－1或3.6．如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C(0，3)，A(－3，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)若D是線段AC上方拋物線上的一個動點(點D與A，C不重合)，求點D到直線AC的最大距離；(3)當(dāng)t≤x≤t＋1時，函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的最大值為－5，求t的值．解：(1)該拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3.

(3)把y＝－5代入y＝－x2－2x＋3中，解得x1＝2，x2＝－4，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，當(dāng)t≤x≤t＋1時，函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的最大值為－5，①當(dāng)x＜－1時，x＝t＋1＝－4時，取得最大值，解得t＝－5；②當(dāng)x＞－1時，x＝t＝2時，取得最大值．綜上所述，t＝－5或2.7．如