吉林省永吉縣實驗高級中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

吉林省永吉縣實驗高級中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題中，真命題是（）A． B．C．的充要條件是 D．是的充分條件2．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù),且滿足,則曲線在點處的切線斜率為()A．4 B．-1 C．1 D．-43．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是A．3 B．4 C． D．4．若滿足約束條件，則的最小值是（）A．0 B． C． D．35．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍()A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若，且對任意的恒成立，則的最大值為A．3 B．4 C．5 D．67．設(shè)拋物線y2=2x的焦點為F，過點M(3,0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C，BF=2，則△BCFA．23 B．34 C．48．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)分別是的零點，則（）A． B． C． D．9．設(shè)集合，則的元素的個數(shù)為（）A． B． C． D．10．若曲線：與曲線：（其中無理數(shù)…）存在公切線，則整數(shù)的最值情況為（）A．最大值為2，沒有最小值 B．最小值為2，沒有最大值C．既沒有最大值也沒有最小值 D．最小值為1，最大值為211．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值為（）A．4 B．4或-4 C．2 D．2或-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)滿足，則的最小值____________．14．在斜三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都為2，若，，且，則的值為________15．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量X，則P(X≤6)＝________.16．公元前3世紀，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在前人的基礎(chǔ)上寫了一部劃時代的著作《圓錐曲線論》，該書給出了當(dāng)時數(shù)學(xué)家們所研究的六大軌跡問題，其中之一便是“到兩個定點的距離之比等于不為1的常數(shù)的軌跡是圓”，簡稱“阿氏圓”．用解析幾何方法解決“到兩個定點，的距離之比為的動點軌跡方程是：”，則該“阿氏圓”的圓心坐標是______，半徑是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知，若存在使得，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于的不等式的解集為．（1）求集合；（2）已知，，若是的必要不充分條件，試求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦距為4，且過點．（1）求橢圓的方程（2）設(shè)橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求和的直角坐標方程；（2）已知直線與軸交于點，且與曲線交于，兩點，求的值.21．（12分）已知四棱錐的底面為等腰梯形,,垂足為是四棱錐的高,為中點,設(shè)（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）伴隨著智能手機的深入普及，支付形式日漸多樣化，打破了傳統(tǒng)支付的局限性和壁壘，有研究表明手機支付的使用比例與人的年齡存在一定的關(guān)系，某調(diào)研機構(gòu)隨機抽取了50人，對他們一個月內(nèi)使用手機支付的情況進行了統(tǒng)計，如表：年齡（單位：歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人數(shù)510151055使用手機支付人數(shù)31012721（1）若以“年齡55歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為“使用手機支付”與人的年齡有關(guān)；年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計使用不適用合計（2）若從年齡在[55，65），[65，75）內(nèi)的被調(diào)查人中各隨機選取2人進行追蹤調(diào)查，記選中的4人中“使用手機支付”的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；參考數(shù)據(jù)如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828參考格式：，其中

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知恒成立，所以A錯誤．

B：當(dāng)時，，所以B錯誤．

C：若時，滿足，但不成立，所以C錯誤．D：則，由充分必要條件的定義，，是的充分條件，則D正確．

故選D．2、D【解析】

由已知條件推導(dǎo)得到f′（1）=-4，由此能求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處切線的斜率．【詳解】由，得，∴曲線在點處的切線斜率為-4，故選：D.本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運算，求解問題的關(guān)鍵，在于對所給極限表達式進行變形，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上的點的切線斜率，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

解析：考察均值不等式，整理得即，又，4、B【解析】可行域為一個三角形及其內(nèi)部,其中，所以直線過點時取最小值，選B.5、A【解析】分析：求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，求得函數(shù)的遞增區(qū)間，又由在上單調(diào)遞增，列出不等式組，即可求解實數(shù)的取值范圍．詳解：由函數(shù)，可得，令，即，即，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，故選A．點睛：本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題，其中熟記導(dǎo)函數(shù)的取值正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．6、B【解析】由,則=可化簡為,構(gòu)造函數(shù),,令,即在單調(diào)遞增,設(shè),因為,,所以,且,故在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以,又,,即k的最小值為4,故選B.點睛:本題考查函數(shù)的恒成立和有解問題,屬于較難題目.首先根據(jù)自變量x的范圍,分離參數(shù)和變量,轉(zhuǎn)化為新函數(shù)g(x)的最值,通過構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性,可知在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以,且,,通過對最小值化簡得出的范圍,進而得出k的范圍.7、C【解析】∵拋物線方程為y2∴拋物線的焦點F坐標為(12,0)如圖，設(shè)A(x1,y1)由拋物線的定義可得BF=x2+將x2=32代入∴點B的坐標為(3∴直線AB的方程為y-0-3-0將x=y22代入直線AB的方程整理得y2+(∴x1=2，∴在ΔCAA1中，∴|CB||CA|∴S△BCFS△ACF點睛：與拋物線有關(guān)的問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，特別是與焦點弦有關(guān)的問題更是這樣，“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．8、A【解析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實數(shù)分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．9、C【解析】分析：分別求出A和B，再利用交集計算即可.詳解：，，則，交集中元素的個數(shù)是5.故選：C.點睛：本題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.10、C【解析】分析：先根據(jù)公切線求出，再研究函數(shù)的最值得解.詳解：當(dāng)a≠0時，顯然不滿足題意.由得，由得.因為曲線：與曲線：（其中無理數(shù)…）存在公切線，設(shè)公切線與曲線切于點，與曲線切于點，則將代入得，由得，設(shè)當(dāng)x＜2時，，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞2時，，f(x)單調(diào)遞增.或a<0.故答案為：C點睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是求出，再研究函數(shù)的最值得解.11、C【解析】

由，得出，計算出基本事件的總數(shù)以及事件所包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，所有的基本事件數(shù)為，因此，事件“”的概率為.故選：C.本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是求出總的基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.12、A【解析】

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列通項公式可得q4＝16，由a3＝a1q2，計算可得．【詳解】因故選：A本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項公式，屬于簡單題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)條件可得，然后利用基本不等式求解即可．【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，的最小值為．故答案為．本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，關(guān)鍵掌握“1“的代換，屬基礎(chǔ)題．14、4【解析】

根據(jù)向量線性運算分別表示出,結(jié)合向量數(shù)量積運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,畫出空間幾何體如下圖:,,,且,且底面邊長和側(cè)棱長都為2則,所以故答案為:4本題考查了空間向量的線性運算和數(shù)量積的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】根據(jù)題意可知取出的4只球中紅球個數(shù)可能為4，3，2，1個，黑球相應(yīng)個數(shù)為0，1，2，3個，其分值X相應(yīng)為4，6，8，1．∴.16、2【解析】

將圓化為標準方程即可求得結(jié)果.【詳解】由得：圓心坐標為：，半徑為：本題正確結(jié)果：；本題考查根據(jù)圓的方程求解圓心和半徑的問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，討論的不同范圍得到單調(diào)區(qū)間.（2）設(shè)函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增推出，解得答案.【詳解】（1）的定義域為.，，則.當(dāng)時，則，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有兩個根，，不妨設(shè)，則，，由，，所以.所以時，，單調(diào)遞減；，或，單調(diào)遞增；當(dāng)時，方程的，則，在單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，的減區(qū)間為；當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為和.當(dāng)時，的增區(qū)間為.（2），，，所以在單調(diào)遞增，，，要使得在有解，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，存在性問題，構(gòu)造，判斷是解題的關(guān)鍵.18、（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，（2）【解析】

（1）由含參二次不等式的解法可得，只需，，即可得解；（2）由函數(shù)定義域的求法求得，再結(jié)合命題間的充要性求解即可.【詳解】解：（1）因為，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，，故當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.（2）解不等式，即，即，解得，即，由，，若是的必要不充分條件，可得是的真子集，則當(dāng)時，則，即；當(dāng)時，顯然滿足題意；當(dāng)時，則，即，綜上可知：，故實數(shù)的取值范圍為.本題考查了函數(shù)定義域的求法、含參二次不等式的解法及充要條件，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法及簡易邏輯，屬中檔題.19、（1）；（2）存在直線滿足題設(shè)條件,詳見解析【解析】

（1）由已知列出關(guān)于，，的方程組，解得，，，寫出結(jié)果即可；（2）由已知可得，，．所以，因為，所以可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理，得．設(shè)，，，，由根與系數(shù)的關(guān)系寫出兩根之和和兩根之積的表達式，再由垂心的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】（1）由已知可得，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）由已知可得，，∴.∵，∴可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理，得.設(shè)，則，∵.即∵即，∵∴或.由，得又時，直線過點，不合要求，∴，故存在直線滿足題設(shè)條件.本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用，以及垂心的定義應(yīng)用。意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。20、（1）直線的直角坐標方程為，的普通方程；（2）.【解析】

（1）利用將直線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程.利用將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程.（2）先求得點的坐標，寫出直線的參數(shù)方程并代入的直角坐標方程，寫出韋達定理，利用直線參數(shù)的幾何意義求解出所要求的表達式的值.【詳解】解：（1）因為直線的極坐標方程為，所以直線的直角坐標方程為.因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的普通方程.（2）由題可知，所以直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），代入，得.設(shè)，兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，..本小題主要考查極坐標方程、參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，考查直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】分析：（1）以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明·＝0即得PE⊥BC.（2）利用線面角的向量公式求直線與平面所成角的正弦值．詳解：以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1)證明：設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E(，，0)．可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．因為·＝-＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知條件可得m＝－，n＝1，故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，則，即，因此可以取n＝(1，，0)．由＝(1,0，－