湖北省武漢市鋼城第四中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖北省武漢市鋼城第四中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量與向量的模均為2，若，則它們的夾角是（）A． B． C． D．2．若一圓柱的側(cè)面積等于其表面積的，則該圓柱的母線長與底面半徑之比為（）A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：13．A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過n（）個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為n階整點(diǎn)函數(shù)．有下列函數(shù):①②③④其中是一階整點(diǎn)的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④5．已知二項(xiàng)式的展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A． B． C．或 D．或6．將1000名學(xué)生的編號(hào)如下：0001，0002，0003，…，1000，若從中抽取50個(gè)學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣的方法從第一部分0001，0002，…，0020中抽取的號(hào)碼為0015時(shí)，抽取的第40個(gè)號(hào)碼為（）A．0795 B．0780 C．0810 D．08157．若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．8．展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A．56 B．70 C．1120 D．-11209．在直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．10．已知向量，若，則（）A． B． C． D．11．點(diǎn)A、B在以PC為直徑的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的表面積是24π，則異面直線PB和AC所成角余弦值為（）A．33 B．32 C．1012．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且以2為周期，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．極坐標(biāo)方程為所表示的曲線的離心率是______．14．的展開式中的系數(shù)為，則__________．15．在北緯圈上有甲、乙兩地，若它們?cè)诰暥热ι系幕￠L等于（為地球半徑），則這兩地間的球面距離為_______.16．設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．18．（12分）在四棱錐中,底面ABCD是邊長為1的正方形,平面ABCD,PA=AB,M,N分別為PB,AC的中點(diǎn),（１）求證:MN//平面PAD（２）求點(diǎn)B到平面AMN的距離19．（12分）伴隨著智能手機(jī)的深入普及，支付形式日漸多樣化，打破了傳統(tǒng)支付的局限性和壁壘，有研究表明手機(jī)支付的使用比例與人的年齡存在一定的關(guān)系，某調(diào)研機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了50人，對(duì)他們一個(gè)月內(nèi)使用手機(jī)支付的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如表：年齡（單位：歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人數(shù)510151055使用手機(jī)支付人數(shù)31012721（1）若以“年齡55歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用手機(jī)支付”與人的年齡有關(guān)；年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計(jì)使用不適用合計(jì)（2）若從年齡在[55，65），[65，75）內(nèi)的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望；參考數(shù)據(jù)如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828參考格式：，其中20．（12分）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，過該橢圓上任意一點(diǎn)P作軸，垂足為Q，點(diǎn)C在的延長線上，且．（1）求橢圓的方程；（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；（3）設(shè)直線（C點(diǎn)不同A、B）與直線交于R，D為線段的中點(diǎn)，證明：直線與曲線E相切；21．（12分）已知過拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，斜率為22的直線交拋物線于（1）求拋物線的方程;（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若OC=OA+λ22．（10分）已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）的單調(diào)遞減區(qū)間．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得，據(jù)此確定其夾角即可.【詳解】∵，∴，∴，故選A.本題主要考查向量夾角的計(jì)算，向量的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、B【解析】

設(shè)這個(gè)圓柱的母線長為，底面半徑為，根據(jù)已知條件列等式，化簡可得答案.【詳解】設(shè)這個(gè)圓柱的母線長為，底面半徑為，則，化簡得，即，故選：B本題考查了圓柱的側(cè)面積公式，考查了圓柱的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】分析：根據(jù)公式，可直接計(jì)算得詳解：，故選D.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)題是每年高考的必考內(nèi)容，一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，屬簡單得分題，高考中復(fù)數(shù)主要考查的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在解決此類問題時(shí)，注意避免忽略中的負(fù)號(hào)導(dǎo)致出錯(cuò).4、D【解析】

根據(jù)新定義的“一階整點(diǎn)函數(shù)”的要求，對(duì)于四個(gè)函數(shù)一一加以分析，它們的圖象是否通過一個(gè)整點(diǎn)，從而選出答案即可．【詳解】對(duì)于函數(shù)，它只通過一個(gè)整點(diǎn)（1，2），故它是一階整點(diǎn)函數(shù)；

對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x∈Z時(shí)，一定有g(shù)（x）=x3∈Z，即函數(shù)g（x）=x3通過無數(shù)個(gè)整點(diǎn)，它不是一階整點(diǎn)函數(shù)；

對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x=0，-1，-2，時(shí)，h（x）都是整數(shù)，故函數(shù)h（x）通過無數(shù)個(gè)整點(diǎn)，它不是一階整點(diǎn)函數(shù)；

對(duì)于函數(shù)，它只通過一個(gè)整點(diǎn)（1，0），故它是一階整點(diǎn)函數(shù)．

故選D．本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)于新定義的概念的理解，即什么叫做：“一階整點(diǎn)函數(shù)”．5、A【解析】分析：根據(jù)第二項(xiàng)系數(shù)，可求出；由定積分基本性質(zhì)，求其原函數(shù)為，進(jìn)而通過微積分基本定理求得定積分值。詳解：展開式的第二項(xiàng)為所以系數(shù)，解得所以所以選A點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式定理和微積分基本定理的綜合應(yīng)用，通過方程確定參數(shù)的取值，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題。6、A【解析】分析：先確定間距，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)橄到y(tǒng)抽樣的方法抽簽，所以間距為所以抽取的第40個(gè)數(shù)為選A.點(diǎn)睛：本題考查系統(tǒng)抽樣概念，考查基本求解能力.7、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則可化簡復(fù)數(shù)得，由共軛復(fù)數(shù)定義可得結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：本題考查共軛復(fù)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】分析：直接利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.詳解：展開式的通項(xiàng)公式為則展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】分析：由題意角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)，利用三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，即可求解結(jié)果.詳解：由題意，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)，則，由三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式得，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，其中熟記三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.10、C【解析】

首先根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出向量，再利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列出方程，即可求出的值．【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，即，解得或，又，所以．故選：C．本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】

首先作出圖形，計(jì)算出球的半徑，通過幾何圖形，找出異面直線PB和AC所成角，通過余弦定理即可得到答案.【詳解】設(shè)球O的半徑為R,則4πR2=24π，故R=6，如圖所示：分別取PA,PB,BC的中點(diǎn)M,N,E，連接MN,NE,ME,AE，易知，PA⊥平面ABC，由于AB⊥BC，所以AC=AB2+BC2=25，所以PA=PC2-AC2=2，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，則AE=AB2+BE2=2cos∠MNE=MN2+NE2-M本題主要考查外接球的相關(guān)計(jì)算，異面直線所成角的計(jì)算.意在考查學(xué)生的空間想象能力，計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，難度較大.12、A【解析】

根據(jù)題意可得：，代入中計(jì)算即可得到答案?！驹斀狻坑捎?；因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且以2為周期；所以又因?yàn)?，所以；故答案選A本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，奇偶性、周期性，以及對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，即可求得曲線的離心率.【詳解】極坐標(biāo)方程，展開化簡可得，即，因?yàn)榇肟傻脛t曲線為雙曲線，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，所以雙曲線離心率為，故答案為：.本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】由條件知的展開式中的系數(shù)為：解得=故答案為．15、【解析】

設(shè)甲、乙兩地分別為，地球的中心為，先求出北緯60°圈所在圓的半徑，再求A、B兩地在北緯60°圈上對(duì)應(yīng)的圓心角，得到線段AB的長，解三角形求出的大小，利用弧長公式求這兩地的球面距離.【詳解】設(shè)甲、乙兩地分別為，北緯圈所在圓的半徑為，它們?cè)诰暥热ι纤鶎?duì)應(yīng)的劣弧長等于（為地球半徑），（是兩地在北緯60圈上對(duì)應(yīng)的圓心角），故.所以線段設(shè)地球的中心為，則是等邊三角形，所以，故這兩地的球面距離是.本題考查球面距離及相關(guān)計(jì)算，扇形弧長和面積是常用公式，結(jié)合圖形是關(guān)鍵.16、【解析】分析：函數(shù)在上是增函數(shù)等價(jià)于，從而可得結(jié)果.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以恒成立，因?yàn)?，?shí)數(shù)的取值范圍是故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查“分離常數(shù)”在解題中的應(yīng)用以及利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法：①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的;②利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問題求參數(shù)范三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論，令得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）令，分離參數(shù)得，令，研究函數(shù)的性質(zhì)，可將證明轉(zhuǎn)化為證明，即證明成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，可得，問題得證.詳解：（1），當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）證明：由得，設(shè)，則．由，得；由，得．故的最小值．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，則，等價(jià)于，且在上單調(diào)遞增，要證：，只需證，，只需證，即，即證；設(shè)，則，令，則，，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，，從而得證．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第一問屬于易得分題，只需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，再分別令，即可求解函數(shù)的增、減區(qū)間，進(jìn)而判斷其單調(diào)性；第二問解題時(shí)，首先對(duì)進(jìn)行參數(shù)分離，再構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，進(jìn)而再利用導(dǎo)數(shù)證明.18、（１）見解析（２）【解析】

試題分析：（１）是正方形中對(duì)角線中點(diǎn)三點(diǎn)共線，為中點(diǎn)為的中位線（２）設(shè)點(diǎn)B到平面AMN的距離為h，,,,,,,，代數(shù)得考點(diǎn)：線面平行的判定和點(diǎn)面距的求法19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）根據(jù)題中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充列聯(lián)表，計(jì)算出的值，根據(jù)臨界值表找出犯錯(cuò)誤的概率，于此可對(duì)題中的問題下結(jié)論；（2）先確定年齡在和的人數(shù)，可得知的取值有、、、，然后利用超幾何分布列的概率公式計(jì)算概率，列出隨機(jī)變量的分布列，并計(jì)算出的數(shù)學(xué)期望?！驹斀狻浚?）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，如下；年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計(jì)使用33235不適用7815合計(jì)104050根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算K2的觀測(cè)值，所以有99%的把握認(rèn)為“使用手機(jī)支付”與人的年齡有關(guān)；（2）由題意可知ξ所有可能取值有0，1，2，3；，，，.所以ξ的分布列是：0123pξ的數(shù)學(xué)期望是．本題第（1）問考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，關(guān)鍵在于列出列聯(lián)表并計(jì)算出的觀測(cè)值，第（2）問考查離散型隨機(jī)分布列與數(shù)學(xué)期望，這類問題首先要弄清楚隨機(jī)變量所服從的分布列，并利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算，屬于?？碱}型，考查計(jì)算能力，屬于中等題。20、（1）；（2）；（3）證明略；【解析】

（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，將代入橢圓方程可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)，，可得到，將代入橢圓方程即可得到所求的軌跡方程；（3）設(shè)，可得直線方程，進(jìn)而求得和點(diǎn)坐標(biāo)；利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可求得，從而證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知：將代入橢圓方程可得：，解得：橢圓的方程為：（2）設(shè)，由軸，可得：，即將代入橢圓方程得：動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：（3）設(shè)，則直線方程為：令，解得：，即直線與曲線相切本題考查直線與橢圓、直線與圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓方程的求解、動(dòng)點(diǎn)軌跡的求解問題、直線與圓位置關(guān)系的證明等知識(shí)；求解動(dòng)點(diǎn)軌跡的常用方法是利用動(dòng)點(diǎn)表示出已知曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而代入已知曲線方程整理可得動(dòng)點(diǎn)軌