長治市重點中學2025年高二下數學期末綜合測試試題含解析

長治市重點中學2025年高二下數學期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，在區(qū)間內任取兩個實數，，且，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．2．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數記為X，則X的數學期望為A．100 B．200 C．300 D．4003．已知定義在上的函數與函數有相同的奇偶性和單調性，則不等式的解集為（）A． B． C． D．4．已知函數，則()A．32 B． C．16 D．5．己知復數z1=3+ai(a∈R),z2A．-1 B．1 C．10 D．36．已知是等差數列的前n項和，且，則的通項公式可能是（）A． B． C． D．7．已知曲線在點處切線的傾斜角為，則等于（）A．2B．-2C．3D．-18．命題“”的否定是（）A． B．C． D．9．下列函數中，滿足“且”的是()A． B．C． D．10．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．中，，且，點滿足，則A． B． C． D．12．從1，2，3，4，5中不放回地依次選取2個數，記事件“第一次取到的是奇數”，事件“第二次取到的是奇數”，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為__________.14．若函數有且只有一個零點，則實數的值為__________.15．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30=7+23．在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是_______.16．已知曲線的方程為，集合，若對于任意的，都存在，使得成立，則稱曲線為曲線.下列方程所表示的曲線中,是曲線的有__________（寫出所有曲線的序號）①；②；③；④三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題:函數對任意均有;命題在區(qū)間上恒成立.（1）如果命題為真命題，求實數的值或取值范圍；（2）命題“”為真命題，“”為假命題，求實數的取值范圍.18．（12分）已知等比數列的各項均為正數，且，，數列的前項和為.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數列的前項和．19．（12分）統計學中，經常用環(huán)比、同比來進行數據比較，環(huán)比是指本期統計數據與上期比較，如年月與年月相比，同比是指本期數據與歷史同時期比較，如年月與年月相比.環(huán)比增長率（本期數上期數）上期數，同比增長率（本期數同期數）同期數.下表是某地區(qū)近個月來的消費者信心指數的統計數據：序號時間年月年月年月年月年月年月年月年月消費者信心指數2017年月年月年月年月年月年月年月年月年月求該地區(qū)年月消費者信心指數的同比增長率（百分比形式下保留整數）；除年月以外，該地區(qū)消費者信心指數月環(huán)比增長率為負數的有幾個月？由以上數據可判斷，序號與該地區(qū)消費者信心指數具有線性相關關系，寫出關于的線性回歸方程（，保留位小數），并依此預測該地區(qū)年月的消費者信心指數（結果保留位小數，參考數據與公式：，，，，）20．（12分）在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足.，當點在圓上運動時，（1）求點的軌跡的方程；（2）若，直線交曲線于、兩點（點、與點不重合），且滿足.為坐標原點，點滿足，證明直線過定點，并求直線的斜率的取值范圍.21．（12分）已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；(2)求實數a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件．22．（10分）選修4—5：不等式選講設函數.（1）若，求不等式的解集；（2）若關于的不等式恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后得到函數圖象上在區(qū)間內任意兩點連線的斜率大于1，從而得到在內恒成立，分離參數后，轉化成在內恒成立，從而求解得到a的取值范圍.詳解：的幾何意義為：表示點與點連線的斜率，實數，在區(qū)間，故和在區(qū)間內，不等式恒成立，函數圖象上在區(qū)間內任意兩點連線的斜率大于1，故函數的導數大于1在內恒成立，由函數的定義域知，在內恒成立，即在內恒成立，由于二次函數在上是單調增函數，故時，在上取最大值為15，.故選：A.點睛：本題重點考查導數的應用，函數的幾何性質等知識，注意分離參數在求解中的靈活運用，屬于中檔題.2、B【解析】

試題分析：設沒有發(fā)芽的種子數為，則，，所以考點：二項分布【方法點睛】一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布X～B（n，p）），則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.3、D【解析】

先判斷的奇偶性及單調性，即可由為奇函數性質及單調性解不等式，結合定義域即可求解.【詳解】函數，定義域為；則，即為奇函數，，函數在內單調遞減，由復合函數的單調性可知在內單調遞減，由題意可得函數為在內單調遞減的奇函數，所以不等式變形可得，即，則，解不等式組可得，即，故選：D.本題考查了函數奇偶性及單調性的判斷，對數型復合函數單調性性質應用，由奇偶性及單調性解抽象不等式，注意定義域的要求，屬于中檔題.4、B【解析】

根據自變量符合的范圍代入對應的解析式即可求得結果.【詳解】本題正確選項：本題考查分段函數函數值的求解問題，屬于基礎題.5、B【解析】

根據復數的除法運算和純虛數的概念求得.【詳解】由已知得：z1z所以3-3a=09+a≠0,解得：故選B.本題考查復數的除法運算和純虛數的概念,屬于基礎題.6、D【解析】

由等差數列的求和公式，轉化為，故，分析即得解【詳解】由題意，等差數列，且可得故所以當時，則的通項公式可能是故選：D本題考查了等差數列的通項公式和求和公式，考查了學生概念理解，數學運算的能力，屬于中檔題.7、A【解析】因為，所以，由已知得，解得，故選A.8、A【解析】

根據全稱命題的否定形式書寫.【詳解】根據全稱命題的否定形式可知“”的否定是“”.故選A.本題考查全稱命題的否定形式，屬于簡單題型.9、C【解析】

根據題意知，函數在上是減函數，根據選項判斷即可?！驹斀狻扛鶕}意知，函數在上是減函數。選項A，在上是增函數，不符合；選項B，在上不單調，不符合；選項C，在上是減函數，符合；選項D，在上是增函數，不符合；綜上，故選C。本題主要考查函數單調性的定義應用以及常見函數的單調性的判斷。10、B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．11、D【解析】分析：以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用向量的坐標運算即可求解．詳解：由題意，以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設點，則，又由，所以，即，所以，所以，故選D．點睛：本題主要考查了向量的坐標表示與向量的坐標運算問題，其中恰當的建立直角坐標系，求得向量的坐標，利用向量的數量積的運算公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力．12、A【解析】分析：利用條件概率公式求.詳解：由條件概率得=故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查條件概率的求法，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)條件概率的公式:=.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意首先求解底面積，然后結合四棱錐的高即可求得四棱錐的體積.【詳解】由題意可得，底面四邊形為邊長為的正方形，其面積，頂點到底面四邊形的距離為，由四棱錐的體積公式可得：.本題主要考查四棱錐的體積計算，空間想象能力等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14、-2【解析】

將有且只有一個零點問題轉化成a＝﹣lnx，兩函數有一個交點，然后令g（x）＝﹣lnx，對g（x）進行單調性分析，即可得到g（x）的大致圖象，即可得到a的值．【詳解】由題意，可知：令2，即：a＝﹣lnx，x＞2．可設g（x）＝﹣lnx，x＞2．則g′（x），x＞2．①當2＜x＜2時，g′（x）＞2，g（x）單調遞增；②當x＞2時，g′（x）＜2，g（x）單調遞減；③當x＝2時，g′（x）＝2，g（x）取極大值g（2）＝﹣2．∵函數有且只有一個零點，∴a只能取g（x）的最大值﹣2．故答案為：﹣2．本題主要考查函數零點問題，構造函數的應用，用導數方法研究函數的單調性．屬中檔題．15、1【解析】

利用列舉法先求出不超過30的所有素數，利用古典概型的概率公式進行計算即可．【詳解】在不超過30的素數中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，從中選2個不同的數有C102和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3種，則對應的概率P=3故答案為：1本題主要考查古典概型的概率和組合數的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.16、①③【解析】

將問題轉化為：對于曲線上任意一點，在曲線上存在著點使得，據此逐項判斷曲線是否為曲線.【詳解】①的圖象既關于軸對稱，也關于軸對稱，且圖象是封閉圖形，所以對于任意的點，存在著點使得，所以①滿足；②的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為，所以漸近線將平面分為四個夾角為的區(qū)域，當在雙曲線同一支上，此時，當不在雙曲線同一支上，此時，所以，不滿足，故②不滿足；③的圖象是焦點在軸上的拋物線，且關于軸對稱，連接，再過點作的垂線，則垂線一定與拋物線交于點，所以，所以，所以③滿足；④取，若，則有，顯然不成立，所以此時不成立，所以④不滿足.故答案為：①③.本題考查曲線與方程的新定義問題，難度較難.(1)對于新定義的問題，首先要找到問題的本質：也就是本題所考查的主要知識點，然后再解決問題；(2)對于常見的，一定要能將其與向量的數量積為零即垂直關系聯系在一起.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據為真命題先判斷出的單調性，然后利用分析的取值或取值范圍；（2）先分別求解出為真時的取值范圍，然后根據含邏輯聯結詞的復合命題的真假判斷出的真假，從而求解出的取值范圍.【詳解】（1）在上單調遞增則對恒成立∴；（2）在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，命題為真命題：即，所以，由命題“”為真命題，“”為假命題知一真一假若真假，若假真，則綜上所述，.本題考查利用導數研究函數的單調性以及根據含邏輯聯結詞的復合命題真假求解參數范圍，其中涉及到用分離參數法解決恒成立問題，屬于綜合型問題，難度一般.（1）注意定義法判斷函數單調性的轉換：在定義域內單調遞增，在定義域內單調遞減；（2）根據含邏輯聯結詞的復合命題的真假求解參數范圍時，注意先判斷各命題的真假.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（I）將已知條件轉化為，由此求得的值，進而求得的通項公式.（II）利用求得的表達式，由此求得的表達式，利用分組求和法求的值.【詳解】（Ⅰ）設等比數列的公比即，解得：或，又的各項為正，，故（Ⅱ）設，數列前n項和為.由解得..,.本小題主要考查等比數列基本量的計算，考查數列通項公式的求法，考查分組求和法，所以中檔題.19、；個；；.【解析】

根據所給數據求出同比增長率即可；由本期數上期數，結合圖表找出結果即可；根據所給數據求出相關系數，求出回歸方程，代入的值，求出的預報值即可.【詳解】解：該地區(qū)年月份消費者信心指數的同比增長率為；由已知環(huán)比增長率為負數，即本期數上期數，從表中可以看出，年月、年月、年月、年月、年月共個月的環(huán)比增長率為負數.由已知計算得：，，線性回歸方程為.當時，，即預測該地區(qū)年月份消費者信心指數約為.本題考查回歸方程問題，考查轉化思想，屬于中檔題.20、(1).(2).【解析】試題分析：（1）由相關點法得到M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=（2）聯立直線和橢圓得到二次方程，根據條件結合韋達定理得到，，，進而求得范圍.解析：(1)設M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=y0,代入圓方程有.即為N點的軌跡方程.(2)當直線垂直于軸時,由消去整理得,解得或,此時,直線的斜率為；當直線不垂直于軸時,設,直線:(),由,消去整理得,依題意,即(*),且,,又,所以,所以,即,解得滿足(*),所以,故,故直線的斜率,當時,,此時；當時,,此時；綜上,直線的斜率的取值范圍為.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問