2025年中考數(shù)學總復習《因式分解的應用》專項測試卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《因式分解的應用》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．已知為兩位正整數(shù)，其十位上的數(shù)字為，個位上的數(shù)字為，且滿足．(1)寫出符合條件的所有數(shù)；(2)當時，若可以寫成兩個整數(shù)的平方差，求這兩個整數(shù)的積．2．我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式．例如圖1可以得到的數(shù)學等式為．請解答下列問題：(1)圖2中所表示的數(shù)學等式為___________：(2)請利用第（1）小題中所得到的結論，解決下面的問題：已知，，求的值；(3)小靈同學用2張邊長為的正方形，3張邊長為的正方形，7張兩邊分別為的長方形紙片拼出了一個大長方形，請你直接寫出該大長方形的長和寬．3．如圖，在半徑為的圓形鋼板上沖去半徑為的四個小圓孔．若，，請你利用因式分解的方法計算出剩余鋼板的面積．（取3.14）4．大自然中就充滿了各種各樣的神秘數(shù)字和規(guī)律．如，神秘的數(shù)字7，彩虹有7種顏色、音樂有7個基本音階等；“勾股數(shù)”，能夠構成直角三角形三條邊．小明研究正整數(shù)時發(fā)現(xiàn)：有的正整數(shù)能夠表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，并把這類正整數(shù)稱為“偶像數(shù)”．如，，則4，12稱為“偶像數(shù)”．(1)試寫出一個“偶像數(shù)”，并表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差；(2)求證：任意的“偶像數(shù)”都能被4整除．5．綜合與實踐請仔細閱讀并完成相應任務．閱讀材料1：初中數(shù)學中，在圖形與幾何領域有推理或證明的內容，在數(shù)與代數(shù)領域也有推理或證明的內容．有很多小學數(shù)學學習過的結論，初中階段可以論證結論的正確性，讓學生在邏輯論證的過程中，逐漸形成推理能力，培養(yǎng)科學精神．（閱讀材料來源于2022年版義務教育《數(shù)學課程標準》144頁）閱讀材料2：華東版教材50頁有一道練習題：兩個連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)，請說明理由．師生一起研討，理由如下：設這兩個連續(xù)整數(shù)為，其中為整數(shù)．___________．它必是奇數(shù)(1)任務一：填空：上面橫線上所缺內容是________；(2)任務二：證明：兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差必是4的倍數(shù)．(3)任務三：設是一個四位數(shù)，若可以被3整除，則這個數(shù)可以被3整除，請說明理由．6．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“完美數(shù)”．例如：，，；則12、20、28這三個數(shù)都是完美數(shù)．(1)按照上述規(guī)律，將完美數(shù)2028表示成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差形式（直接寫出）；(2)證明：任意一個完美數(shù)都能夠被4整除；(3)如圖所示，拼疊的正方形邊長是從2開始的連續(xù)偶數(shù)．．．．．．，按此規(guī)律拼疊到正方形，其邊長為28，求陰影部分的總面積．7．【閱讀材料】把一個二次式通過添項或拆項的方法得到完全平方式，再利用“”這一性質解決問題，這種解題方法叫做配方法．配方法在今后的學習中有著廣泛的應用．例如：（1）求的最小值．解：，，，當時，即當時，有最小值，最小值為1．再如：求的最大值．原式，，，當時，有最大值，最大值為11．【問題解決】(1)當______時，代數(shù)式有最小值；(2)用“配方法”求代數(shù)式的最大值；(3)已知，則______．(4)如圖，王叔叔準備利用一面墻（墻足夠長），用總長度52米的柵欄（圖中實線部分）圍成一個長方形場地，且邊上留兩個1米寬的小門，設長為x米，當x為何值時，長方形場地的面積最大？最大值是多少？8．在當今時代，國家人才培養(yǎng)和篩選機制正經歷重大轉變，以往單純依靠死記硬背和題海戰(zhàn)術的學習方式，已難以適應新的人才需求，自學能力逐漸成為孩子成長過程中不可或缺的關鍵因素．小知在家學習二次根式時，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以化成另一個式子的平方，如：，根據(jù)以上信息，解答下列問題．(1)填空：（__________）．(2)①將化成另一個式子的平方．②化簡：．(3)當，且，，均為正整數(shù)時，直接寫出的值．9．閱讀與思考配方法把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式(兩數(shù)和的平方公式或兩數(shù)差的平方公式)，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問題中都有著廣泛的應用．例如：①用配方法因式分解：原式②求的最小值．解：先求出的最小值；由于是非負數(shù)，所以，可得到，即的最小值為2．進而的最小值為4．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：；(2)用配方法因式分解：；(3)求的最小值．(4)已知實數(shù)x，y滿足，求的最小值，并指出此時y的值．10．定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)，的平方差，且，則稱這個正整數(shù)為“三方數(shù)”．例如：，就是一個“三方數(shù)”．將“三方數(shù)”從小到大排列．(1)第個“三方數(shù)”是________；第個“三方數(shù)”是________；(2)請判斷是“三方數(shù)”嗎？并說明理由．11．學完多項式乘以多項式，愛思考的小明發(fā)現(xiàn)：，(1)若，那么m的值是______，n的值是______；(2)若，求的值．12．閱讀材料：若，求m，n的值．解：，，，，，，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則，．．(2)已知，求的值；(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求，的值．13．綜合與實踐：【問題情境】（1）對于一個圖形，如圖1，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式_____；【探究實踐】（2）類比圖1，寫出圖2中所表示的數(shù)學等式_____；（3）利用（2）中得到的結論，解決問題：若，，求的值；【拓展應用】（4）用圖3中2張邊長為的正方形，3張邊長為的正方形，張邊長分別為，的長方形紙片拼出一個長方形或正方形，直接寫出的值．14．如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為的大正方形，2塊是邊長為的小正方形，5塊長是，寬為的相同的小長方形，且．(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為；(2)若圖中陰影部分的面積為，大長方形紙板的周長為，求空白部分的面積．15．按下面規(guī)則擴充新數(shù)：已有a和b兩個數(shù)，可按規(guī)則擴充一個新數(shù)，而a，b，c三個數(shù)中任取兩數(shù)，按規(guī)則又可擴充一個新數(shù)，……，每擴充一個新數(shù)叫做一次操作．現(xiàn)有數(shù)2和3．(1)求按上述規(guī)則操作三次得到擴充的最大新數(shù)．(2)能否通過上述規(guī)則擴充得到新數(shù)5183？并說明理由．參考答案1．(1)為或或(2)【分析】本題主要考查了因式分解的應用，巧用分類討論的數(shù)學思想是解題的關鍵．（1）由，對，進行取值即可解決問題．（2）由，得出，，進而得出的值，設（、為整數(shù)），則，分類討論即可解決問題．【詳解】（1）解：，，或，或，，或或，為或或；（2），，，．設（、為整數(shù)），，或或或或或，解得：(舍去)或(舍去)或或或(舍去)或(舍去)，．2．(1)(2)19(3)大長方形的長為，寬為【分析】本題考查的是多項式乘多項式、因式分解的應用，利用面積法列出等式是解題的關鍵．（1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積各矩形的面積之和求解即可；（2）將，，代入（1）中得到的關系式，然后進行計算即可；（3）由題意得，再分解因式即可得到答案．【詳解】（1）解：從總體看，大正方形的邊長為，面積為；從部分看，圖形的面積為；∴；（2）解：∵，，∴∴；（3）解：由題意可知：，∴大長方形的長為，寬為．3．【分析】本題是因式分解的應用，用大圓的面積減去4個小圓的面積即可得到剩余部分的面積，然后把和的值代入后分解因式可得結果，熟練進行計算是解題的關鍵．【詳解】解：，．4．(1)20，(2)見解析【分析】本題主要考查平方差公式，理解新定義，熟練掌握平方差公式的運用是解答的關鍵．（1）根據(jù)“偶像數(shù)”的定義寫出一個“偶像數(shù)”即可；（2）根據(jù)題意用兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差表示出“偶像數(shù)”，利用平方差公式化簡即可判斷；【詳解】（1）“偶像數(shù)”20（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)分別為和，其中n為自然數(shù)為自然數(shù)為整數(shù)能夠被4整除即任意的“偶像數(shù)”都能被4整除5．(1)(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了平方差公式的應用，因式分解的應用，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵；（1）用平方差公式展開，即可求解；（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為和（為整數(shù)），根據(jù)平方差公式展開即可求解．（3）四位數(shù)可表示為：，若能被3整除，即可得出結論．【詳解】（1）解：設這兩個連續(xù)整數(shù)為，其中為整數(shù)．∴．它必是奇數(shù)故答案為：．（2）證明：設兩個連續(xù)偶數(shù)為和（為整數(shù)），∴是4的倍數(shù)；（3）解：四位數(shù)可表示為：其中是3的倍數(shù)；若能被3整除，則整個數(shù)可表示為兩個3的倍數(shù)之和，因此能被3整除．6．(1)(2)見解析(3)420【分析】本題考查了新定義，因式分解的應用等知識，解題的關鍵是：（1）把寫成和的平方差即可；（2）設兩個連續(xù)的偶數(shù)為、，n為正整數(shù)，根據(jù)完美數(shù)寫出該數(shù)，然后根據(jù)平方差計算計算得出，最后根據(jù)整除的定義即可得證；（3）結合圖形可得出陰影部分的面積為，然后根據(jù)平方差公式求解即可．【詳解】（1）解：；（2）證明：設兩個連續(xù)的偶數(shù)為、，n為正整數(shù)，則完美數(shù)為，∴，∵n為正整數(shù)，∴為奇數(shù)，∴能被4整除，即任意一個完美數(shù)都能夠被4整除；（3）解：根據(jù)題意，得．7．(1)(2)5(3)8(4)當時，長方形場地的面積有最大值，最大值為243平方米【分析】本題考查了因式分解的應用，理解題意，應用配方法解決問題是解題的關鍵．（1）仿照閱讀材料的方法，利用配方法即可求解；（2）仿照閱讀材料的方法，利用配方法即可求解；（3）利用配方法得到，，結合求出的值，即可求解；（4）設長為x米，用表示出長方形場地的面積，再利用配方法求出面積最大值和對應的值即可．【詳解】（1）解：，，，當時，即當時，代數(shù)式有最小值故答案為：．（2）解：，，，當時，有最大值，最大值為5．（3）解：，，，，，，即，，，又，，，即，，解得：，，．故答案為：8．（4）解：設長為x米，由題意得，（米），長方形場地的面積，，，當時，長方形場地的面積有最大值，最大值為243平方米．8．(1)(2)①；②(3)或【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡，因式分解，熟練掌握題中給出的方法是解題的關鍵．（1）仿照小知的方法將化為完全平方公式，即可求解；（2）①仿照小知的方法將化為完全平方公式，即可求解；②仿照小知的方法將化為，即可化簡；（3）將等式右邊化簡可得，則，利用，，均為正整數(shù)即可解答．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：①；②；（3）解：，，為正整數(shù)，，或．9．(1)4(2)(3)8(4)，【分析】本題考查了因式分解的應用，非負數(shù)的性質：偶次方，解決本題的關鍵是按照題中示例解決問題．（1）因為，可得答案為：4；（2）按照示例（1）解答為；（3）按照示例（2）解答為，因為是非負數(shù)，所以，據(jù)此解答．（4）根據(jù)，得出，代入得：，因為是非負數(shù)，所以，據(jù)此解答．【詳解】（1）解：，故答案為：4；（2）解：；（3）解：，因為是非負數(shù)，所以，所以的最小值是8．（4）解：∵，∴，代入得：因為是非負數(shù)，所以，所以當時，取得最小值，最小值是．此時．10．(1)；；(2)是“三方數(shù)”，理由見解析【分析】本題主要考查了分解因式及其應用，代數(shù)式的規(guī)律探索，解題關鍵是利用平方差公式和已知條件得到第（是正整數(shù)）個“三方數(shù)”的代數(shù)式．（1）根據(jù)題意依次列出前面幾個“三方數(shù)”，并得到規(guī)律，即可求解；（2）利用規(guī)律列出第（是正整數(shù)）個“三方數(shù)”，代入并求解，即可判斷．【詳解】（1）解：∵，，∴第個“三方數(shù)”是；第個“三方數(shù)”是；第個“三方數(shù)”是；第個“三方數(shù)”是；故答案為：；；（2）解：是“三方數(shù)”，理由如下：由（1）可知第（是正整數(shù)）個“三方數(shù)”是，當時，解得：，故是“三方數(shù)”．11．(1)(2)【分析】本題考查了多項式乘多項式，因式分解的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先根據(jù)多項式乘多項式法則展開合并同類項得，再比較，即可作答．（2）同理得，再與比較得，然后處理，再代入數(shù)值計算，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，∵，∴，故答案為：；（2）解：依題意∵，∴，則則把代入，得．12．(1)，1(2)(3),【分析】本題考查了完全平方公式的配湊、非負數(shù)的性質、等腰三角形的性質、三角形的三邊關系等．熟悉完全平方公式的形式是解題關鍵．（1）利用完全平方公式的配湊可得，據(jù)此即可求解；（2）利用完全平方公式的配湊可得，據(jù)此即可求解；（3）利用完全平方公式的配湊可得，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴,∴，∴，，∴，；故答案為：，1；（2）解：∵，∴，∴，∴，，∴，，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，，∴，．13．（1）；（2）；（3）14；（4）5或7【分析】（1）根據(jù)大正方的面積有整體看和分開看兩種求法，即可得到結果；（2）大正方的面積有整體看和分開兩種求法，即可得到答案；（3）由（2）的結論，把已知條件代入即可；（4）根據(jù)題意可知，拼成圖形的面積為，要把這個式子變成因式分解的形式，就是變成把因式看成圖形的長和寬，根據(jù)因式分解的方法分解因式即可；【詳解】解：（1）大正方形的面積有兩種求法：可以是，也可以是，，故答案為：；（2）邊長為的正方形的面積為：，分9部分來看，正方形的面積為，兩部分面積相等，，故答案為：；（3）由（2）知，，，．的值為14；（4）由題意可得，所拼成的長方形或正方形的面積為：，從因式分解的角度