新定義閱讀理解題-自主學(xué)習(xí)單-2024《幾何模型教學(xué)設(shè)計(jì)培優(yōu)專題》

新定義閱讀題知識(shí)技能梳理新定義的類型：一般分為三種類型：定義新運(yùn)算；定義初、高中知識(shí)銜接"新知識(shí)"；定義新概念本節(jié)難點(diǎn)突破主要研究新概念。解決定義新概念的關(guān)鍵：正確理解新定義概念的意義.(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”。歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.利用的數(shù)學(xué)思想：（1）轉(zhuǎn)化的思想，把未知的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識(shí)。（2）遷移的應(yīng)用，對(duì)全新的概念，需要靈活的遷移運(yùn)用。（3）類比的思想。學(xué)習(xí)過程模塊一：以函數(shù)為載體例題1：在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”．例如……都是“雁點(diǎn)”．（1）求函數(shù)圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；（2）若拋物線上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．當(dāng)時(shí)．①求c的取值范圍；②求的度數(shù)；（3）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），P是拋物線上一點(diǎn)，連接，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例題2、城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)兩點(diǎn)Ax1,y1數(shù)學(xué)理解：（1）①已知點(diǎn)A（﹣2，1），O為原點(diǎn)，則d（O，A）＝．②函數(shù)y=-2x+4（0≤x≤2）的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，d（O，B）＝3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．（2）函數(shù)y=4x（x>0）的圖象如圖②所，O為原點(diǎn)。求證：該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C，使d（O，C）＝（3）函數(shù)y=x2-5x+7（x≥0）的圖象如圖③所示，D是圖象上一點(diǎn)，求d（O，問題解決：（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點(diǎn)，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡要說明理由）練習(xí)1：定義：若一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y＝﹣滿足a﹣b＝b﹣c，則稱y＝ax2+bx+c為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“等差”函數(shù)．(1)判斷y＝x+b和y＝﹣是否存在“等差”函數(shù)？若存在，寫出它們的“等差”函數(shù)；(2)若y＝5x+b和y＝﹣存在“等差”函數(shù)，且“等差”函數(shù)的圖象與y＝﹣的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(3)若一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y＝﹣（其中a、b、c為常數(shù)，且a＞0，c＞0，a＝b）存在“等差”函數(shù)，且y＝ax+b與“等差”函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），試判斷“等差”函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P（x，y）（其中x1＜x＜x2），使得△ABP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．練習(xí)2：定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．（1）分別判斷函數(shù)的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；（2）設(shè)函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作軸，垂足為C．當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求b的值；（3）若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫出m的取值范圍。練習(xí)3、我們規(guī)定：關(guān)于x的反比例函數(shù)y＝稱為一次函數(shù)y＝ax+b的“次生函數(shù)”，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣（a+b）稱為一次函數(shù)y＝ax+b的“再生函數(shù)”．(1)按此規(guī)定：一次函數(shù)y＝x﹣3的“次生函數(shù)”為：，“再生函數(shù)”為：；(2)若關(guān)于x的一次函數(shù)y＝x+b的“再生函數(shù)”的頂點(diǎn)在x軸上，求頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若一次函數(shù)y＝ax+b與其“次生函數(shù)”交于點(diǎn)（1，﹣2）、（4，﹣）兩點(diǎn)，其“再生函數(shù)”與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．①若點(diǎn)D（1，3），求∠CBD的正切值；②若點(diǎn)E在直線x＝1上，且∠CBE＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．練習(xí)4、如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，拋物線C2的頂點(diǎn)也在拋物線C1上時(shí)，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線C1：y1＝x2+x與C2：y2＝ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線C1，C2的頂點(diǎn)，拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)D（6，﹣1）．(1)直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；(2)拋物線C2上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，點(diǎn)F（﹣6，3）在拋物線C1上，點(diǎn)M，N分別是拋物線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相同，記△AFM面積為S1（當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A，F(xiàn)重合時(shí)S1＝0），△ABN的面積為S2（當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A，B重合時(shí)，S2＝0），令S＝S1+S2，觀察圖象，當(dāng)y1≤y2時(shí)，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)S的最大值．模塊二以三角形、四邊形為載體例題1：以三角形為載體【定義理解】如圖1，在△ABC中，E是BC的中點(diǎn)，P是AE的中點(diǎn)，就稱CP是△ABC的“雙中線”，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，則CP＝．（2）【類比探究】①如圖2，E是菱形ABCD一邊上的中點(diǎn)，P是BE上的中點(diǎn)，則稱AP是菱形ABCD的“雙中線”，若AB＝4，∠BAD＝120°，則AP＝．②如圖3，AP是矩形ABCD的“雙中線”，若AB＝4，BC＝6，求AP的長．（3）【拓展應(yīng)用】如圖4，AP是平行四邊形ABCD的“雙中線”，若AB＝4，BC＝6，∠BAD＝120°，求AP的長．例題2以四邊形為載體例題2：我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，∠B＝∠C，則四邊形ABCD為等鄰角四邊形．（1）定義理解：已知四邊形ABCD為等鄰角四邊形，且∠A＝130°，∠B＝120°，則∠D＝度．（2）變式應(yīng)用：如圖2，在五邊形ABCDE中，ED∥BC，對(duì)角線BD平分∠ABC．①求證：四邊形ABDE為等鄰角四邊形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，請(qǐng)判斷△BCD的形狀，并說明理由．（3）深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，判斷PM+PN與CE的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（4）遷移拓展：如圖4，是一個(gè)航模的截面示意圖．四邊形ABCD是等鄰角四邊形，∠A＝∠ABC，E為AB邊上的一點(diǎn)，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．練習(xí)1：我們約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“優(yōu)美三角形”．例如：如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似，那么稱△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”．（1）如圖2，在△ABC中，BC＝AB，求證：△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”；（2）如圖3，已知△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，點(diǎn)D是△ABC邊BC的中點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)A．①求證：直線CA與⊙O相切；②若⊙O的直徑為2，求線段AB的長；（3）已知三角形ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面積．練習(xí)2、我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是；（填序號(hào)）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點(diǎn)，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線段OA于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請(qǐng)給出證明，并求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)AF：FG＝2：3時(shí)，求∠BED的余弦值．練習(xí)3、定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是．A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論：；．問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié)BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．練習(xí)4、我們定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．(1)已知四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”，，，則=________°，=_________°．(2)如圖1，在中，，為斜邊邊上的中線，過點(diǎn)作垂直于交于點(diǎn)，試說明四邊形是“等對(duì)角四邊形”．(3)如圖2，在中，，，，平分，點(diǎn)在線段延長線上，以點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為“等對(duì)角四邊形”，求線段的長．模塊3以圓為載體例題1、婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是（填序號(hào)）；①矩形②菱形③正方形（2）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求證：四邊形ABCD為“婆氏四邊形”；（3）在（2）的條件下，BD＝4，且AB＝DC．①當(dāng)DC＝2時(shí)，求AC的長度；②當(dāng)DC的長度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠ADP的值．例題2：定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個(gè)三角形的切圓，相切的邊稱為這個(gè)圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點(diǎn)O在AC邊上，以O(shè)C為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點(diǎn)F，取弧BF的中點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．練習(xí)1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當(dāng)k＝1，b＝1時(shí)，直接寫出直線l關(guān)于⊙O的“圓截距”；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），①如圖2，若⊙M的半徑為1，當(dāng)b＝1時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫出b的值．練習(xí)2、如圖1，在平面內(nèi)，過⊙T外一點(diǎn)P畫它的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若∠MPN≥90°，則稱點(diǎn)P為⊙T的“限角點(diǎn)”．（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)⊙O半徑為1時(shí)，在①P1（1，0），②，③P3（﹣1，﹣1），④P4（2，﹣1）中，⊙O的“限角點(diǎn)”是；（填寫序號(hào)）（2）如圖2，⊙A的半徑為，圓心為（0，2），直線l：y＝﹣x+b交坐標(biāo)軸于點(diǎn)B、C，若直線l上有且只有一個(gè)⊙O的“限角點(diǎn)”，求b的值．（3）如圖3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），⊙D的半徑為，圓心D從原點(diǎn)O出發(fā)，以個(gè)單位/s的速度沿直線l：y＝x向上運(yùn)動(dòng)，若△EFG三邊上存在⊙D的“限角點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（s）的取值范圍．練習(xí)3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點(diǎn)P為線段AB的“完美點(diǎn)”．①設(shè)A、B、P三點(diǎn)所在圓的圓心為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是，⊙C的半徑是；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點(diǎn)”？如果有，求出“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由；（2）若點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為