上海市上海外國(guó)語(yǔ)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

上海市上海外國(guó)語(yǔ)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題錯(cuò)誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．若為假命題，則均為假命題C．對(duì)于命題：，使得，則：，均有D．“”是“”的充分不必要條件2．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x3．已知定義在R上的增函數(shù)f(x)，滿足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，則f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正負(fù)都有可能4．設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)圓過點(diǎn)且與直線相切.則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）A． B． C． D．5．已知三角形的面積是，，，則b等于()A．1 B．2或1 C．5或1 D．或16．極坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)到直線的距離是(

)A．1 B．2 C．3 D．47．若“直線與圓相交”，“”；則是()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A．（0，2） B．（2，0） C．（0，4） D．（4，0）9．某班級(jí)要從四名男生、兩名女生中選派四人參加某次社區(qū)服務(wù)，則所選的四人中至少有一名女生的選法為（）A． B． C． D．10．若x∈0,2π，則不等式x+A．0,π B．π4,5π411．高二（3）班共有學(xué)生56人，現(xiàn)根據(jù)座號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知3號(hào)、31號(hào)、45號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的座號(hào)是A．15 B．16 C．17 D．1812．已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=1，平面區(qū)域Ω:x+y-6≤0x-y+4≥0y≥0A．-∞,-73∪75,+∞二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓焦距與長(zhǎng)軸之比的比值是______.14．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為_____.15．在等差數(shù)列中,,則________16．設(shè)函數(shù)，，對(duì)于任意的，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足．（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．18．（12分）已知正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使二面角等于60°？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．（12分）將下列參數(shù)方程化為普通方程：（1）（為參數(shù)）；（2）（為參數(shù)）.20．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值；21．（12分）已知函數(shù)f(x)=ln(ax)+bx在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線是y=0；(I)求函數(shù)f(x)的極值；(II)當(dāng)恒成立時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))22．（10分）設(shè)且，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處切線的斜率；（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由原命題與逆否命題的關(guān)系即可判斷A；由復(fù)合命題的真值表即可判斷B;由特稱命題的否定是全稱命題即可判斷C；根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷D；．【詳解】A．命題：“若p則q”的逆否命題為：“若￢q則￢p”，故A正確；B．若p∧q為假命題，則p，q中至少有一個(gè)為假命題，故B錯(cuò)．C．由含有一個(gè)量詞的命題的否定形式得，命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p為：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正確；D．由x2﹣3x+2＞0解得，x＞2或x＜1，故x＞2可推出x2﹣3x+2＞0，但x2﹣3x+2＞0推不出x＞2，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要條件，即D正確故選：B．本題考查簡(jiǎn)易邏輯的基礎(chǔ)知識(shí)：四種命題及關(guān)系，充分必要條件的定義，復(fù)合命題的真假和含有一個(gè)量詞的命題的否定，這里要區(qū)別否命題的形式，本題是一道基礎(chǔ)題．2、A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：∵e=因?yàn)闈u近線方程為y=±bax點(diǎn)睛：已知雙曲線方程x2a23、A【解析】因?yàn)閒(x)在R上的單調(diào)增,所以由x2＋x1>0，得x2>-x1,所以同理得即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0,選A.點(diǎn)睛：利用函數(shù)性質(zhì)比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小，首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值，最后根據(jù)單調(diào)性比較大小，要注意轉(zhuǎn)化在定義域內(nèi)進(jìn)行4、A【解析】

由題意，動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，求得，即可得到答案．【詳解】由題意知，動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，則方程為故選A本題考查拋物線的定義，屬于簡(jiǎn)單題．5、D【解析】

由三角形面積公式，計(jì)算可得的值,即可得B的值,結(jié)合余弦定理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意:三角形的面積是,即,又由，則則或，若則此時(shí)則；若,則,此時(shí)則；故或.故選：D.本題考查三角形的面積公式,考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度較易.6、B【解析】

通過直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間的互化，即可求得距離.【詳解】將化為直角坐標(biāo)方程為，把化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為，即到直線的距離為2，故選B.本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互化，點(diǎn)到直線的距離公式，難度不大.7、B【解析】

直線y＝x+b與圓x2+y2＝1相交?1，解得b．即可判斷出結(jié)論．【詳解】直線y＝x+b與圓x2+y2＝1相交?1，解得．∴“直線y＝x+b與圓x2+y2＝1相交”是“0＜b＜1”的必要不充分條件．故選：B．本題考查了充分必要條件，直線與圓的位置關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8、A【解析】

根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求得，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】由題意，，∴焦點(diǎn)在軸正方向上，坐標(biāo)為．故選A．本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．解題時(shí)要掌握拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式．9、A【解析】所選的四人中至少有一名女生的選法為本題選擇A選項(xiàng).10、D【解析】

由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)得出xsinx<0，由0<x<2π，得出【詳解】因?yàn)閤+sinx又x∈(0,2π)，所以sinx<0，x∈(π,2π)，故選：D本題考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，再利用絕對(duì)值不等式時(shí)，需要注意等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題。11、C【解析】試題分析：由系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)—等距離可得，∴3號(hào)、17號(hào)、號(hào)、號(hào)同學(xué)在樣本中.考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣.12、A【解析】

分析：畫出可行域，由可行域結(jié)合圓C與x軸相切，得到b=1且-3≤a≤5，從而可得結(jié)果.詳解：畫出可行域如圖，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心C(a,b)，半徑為1因?yàn)閳AC與x軸相切，所以b=1，直線y=1分別與直線x+y-6=0與x-y+4=0交于點(diǎn)B5,1所以-3≤a≤5，圓心C(a,b)與點(diǎn)（2,8-3≤a<2時(shí)，k∈72<a≤5時(shí)k∈-所以圓心C(a,b)與點(diǎn)（2,8）連線斜率的取值范圍是-點(diǎn)睛：本題主要考查可行域、含參數(shù)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解，屬于中檔題.含參變量的線性規(guī)劃問題是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，由于參數(shù)的引入，提高了思維的技巧、增加了解題的難度，此類問題的存在增加了探索問題的動(dòng)態(tài)性和開放性，此類問題一般從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對(duì)目標(biāo)函數(shù)變化過程進(jìn)行詳細(xì)分析，對(duì)變化過程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位，是求最優(yōu)解的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列,列出關(guān)于的關(guān)系式再求解即可.【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng),短軸的長(zhǎng),焦距為,則有,故,所以,故,化簡(jiǎn)得,即,故,故橢圓焦距與長(zhǎng)軸之比的比值是.故答案為：本題主要考查了橢圓的基本量的基本關(guān)系與離心率的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】

把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出A到直線的距離．【詳解】解：點(diǎn)A（2，）的直角坐標(biāo)為（0，2），直線ρ（cosθ+sinθ）＝6的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣6＝0，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)A（2，）到直線ρ（cosθ+sinθ）＝6的距離為，故答案為.本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15、40【解析】

根據(jù)前項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件列式求得的值.【詳解】依題意.本小題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先分析的單調(diào)性，然后判斷的正負(fù)，再利用恒成立的條件確定的范圍.【詳解】，令，則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則；，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則；當(dāng)，所以不成立，故；因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，所以，即，解得，?恒成立問題解題思路：當(dāng)恒成立時(shí)，則；存在性問題解題思路：當(dāng)存在滿足時(shí)，則有.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，；（2）猜想：；證明見解析.【解析】

（1）分別代入，根據(jù)，解方程可求得結(jié)果；（2）猜想，驗(yàn)證時(shí)成立；假設(shè)時(shí)成立，則時(shí)，利用假設(shè)可證得結(jié)論成立，從而證得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，解得：當(dāng)時(shí)，，解得：(2)猜想：證明：（1）當(dāng)時(shí)，由（1）可知結(jié)論成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即成立，則當(dāng)時(shí)，由與得：又成立根據(jù)（1）、（2）猜想成立，即：本題考查數(shù)列中的項(xiàng)的求解、利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題.利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意在證明時(shí)結(jié)論成立時(shí)，必須要用到時(shí)假設(shè)成立的結(jié)論，屬于常規(guī)題型.18、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連接，由為正三棱柱為正三角形，又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).由丄平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為．試題解析：（Ⅰ）證明：連接，因?yàn)闉檎庵詾檎切?，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因?yàn)?，所以，所以在中，，在中，，所以，?又，所以丄平面，面，所以.（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).取的中點(diǎn)，連接，則丄平面，所以，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，同理，平面的一個(gè)法向量為，則，取，∴.∴，解得，故存在點(diǎn),當(dāng)時(shí)，二面角等于.19、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）分別分離處參數(shù)中的，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可消去參數(shù)得到普通方程；（2）由參數(shù)方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.試題解析：（1）∵，∴，兩邊平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.考點(diǎn)：曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化.20、(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)最大值為0，最小值為.【解析】

通過求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而判斷函數(shù)在的最值.【詳解】（1）的定義域?yàn)?對(duì)求導(dǎo)得，因函數(shù)定義域有，故，由.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在上的最大值為.又，，且，∴在上的最小值為，∴在上的最大值為0，最小值為.此題是函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)最值的常見題，通常利用導(dǎo)數(shù)來(lái)處理．21、(1)的極大值為，無(wú)極小值；(2).【解析】分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得解得b,再根據(jù)得a，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)確定單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定極值，（2）先化簡(jiǎn)不等式為，再分別求左右兩個(gè)函數(shù)最值得左邊最小值與右邊最大值同時(shí)取到，則不等式轉(zhuǎn)化為，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍.詳解：（1）因?yàn)?，所以因?yàn)辄c(diǎn)處的切線是，所以，且所以，即所以，所以在上遞增，在上遞減，所以的極大值為，無(wú)極小值（2）當(dāng)恒成立時(shí),由（1），即恒成立，設(shè)，則，，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.所以均在處取得最值，所以要使恒成立，只需，即解得，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.22、(1).(2)見解析.【解析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)，根據(jù)a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．（2）由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0，我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，分別在每個(gè)區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可得到函數(shù)函