2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第3節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性

第3節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.2.了解周期性的概念和幾何意義.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果?x∈D,都有-x∈D,且

關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=

,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)

就叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

并非所有周期函數(shù)都有最小正周期(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)

的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

[教材知識(shí)深化]若T是函數(shù)f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.f(x)T最小自主診斷

××√√2.(人教B版必修第一冊(cè)習(xí)題3-1B第8題改編)已知函數(shù)f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為

.

2解析

(方法一)由題意得f(1)=a+2,f(-1)=-a+6,因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(1)=f(-1),即a+2=-a+6,解得a=2.(方法二)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以a-2=0,解得a=2.3.(人教A版必修第一冊(cè)習(xí)題3.2第11題改編)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(1+x),則f(x)的解析式為

.

B

B

6.(2024·上海,4)設(shè)a∈R,且f(x)=x3+a是奇函數(shù),則a=

.

0解析

∵f(x)是奇函數(shù),∴f(0)=0,即03+a=0,解得a=0.研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判定

解

由題知,f(x)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

解

(方法一

定義法)當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)為奇函數(shù).(方法二

圖象法)作出函數(shù)f(x)的圖象,由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

(3)性質(zhì)法:若f(x),g(x)有相同的定義域,則

f(x)g(x)f(x)±g(x)f(x)·g(x)f(g(x))奇奇奇偶奇奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶偶偶奇非奇非偶奇偶

B

B

考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2(1)(2024·上海開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,那么f(2)等于(

)A.-18 B.-10 C.6

D.10C解析

f(-2)=(-2)5+a×(-2)3+b×(-2)+8=10,令f(2)=25+a×23+2b+8=t,則f(-2)+f(2)=(-2)5+a×(-2)3+b×(-2)+8+25+a×23+2b+8=t+10,即8+8=10+t,可得t=6,即f(2)=6.故選C.

D

(3)(2024·北京期中)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)<0,當(dāng)x>2時(shí),f(x)>0.則不等式xf(x)>0的解集為(

)A.(2,+∞)B.(-2,0)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)C

(4)(2024·福建漳州期末)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x+x+1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=

.

2-x-x+1解析

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x+x+1,所以當(dāng)x<0時(shí),-x>0,所以f(-x)=2-x-x+1,即f(x)=2-x-x+1,所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=2-x-x+1.規(guī)律方法已知函數(shù)奇偶性可以解決的四個(gè)問(wèn)題求函數(shù)值利用函數(shù)奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解求解析式將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用函數(shù)奇偶性求出求參數(shù)利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的方程(組)求得參數(shù)畫圖象利用奇偶性可畫出對(duì)稱區(qū)間上的圖象并解決單調(diào)性等相關(guān)問(wèn)題

B解析

由f(x)=x3+x可得f(-x)=-x3-x=-f(x),且函數(shù)f(x)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)為奇函數(shù),所以f(-a)=-f(a)=-b,故選B.

A

(-∞,-2)∪(0,2)

考點(diǎn)三函數(shù)的周期性

C解析

由f(x+1)=f(x-1),得f(x)是周期為2的周期函數(shù),又f(-5)=f(4.5),所以f(-1)=f(0.5),即-1+a=1.5,所以a=2.5.故選C.(2)應(yīng)用:周期性的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面:①求值:借助周期將