河南省鄭州市2025屆高三下學(xué)期第三次質(zhì)量預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省鄭州市2025屆高三下學(xué)期第三次質(zhì)量預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】，故，，故，故.故選：B2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】因?yàn)椋裕?，故選：C.3.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)?，，所以，故選：A.4.在△ABC中，已知，，，則角C為（）A.45° B.105° C.45°或135° D.15°或105°【答案】D【解析】由正弦定理得，即，所以，故或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：D5.河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊(yùn)，其美食也獨(dú)具特色．現(xiàn)有一名游客計(jì)劃在三天內(nèi)品嘗完以下六種河南特色美食：燴面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、燜餅、黃河鯉魚(yú)．該游客每天從這六種美食中選擇1到3種進(jìn)行品嘗（每天必須選擇且不能重復(fù)選擇已品嘗過(guò)的美食）．若三天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數(shù)為（）A.450 B.360 C.180 D.90【答案】A【解析】①計(jì)算按照分配的選法種數(shù).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，按分配的選法種數(shù)為：種.②按照分配的選法種數(shù)為：種.最后將兩種選法種數(shù)相加得到總的選法種數(shù)為種.故選：A.6.4月23日是“世界讀書(shū)日”，全社會(huì)都參與到閱讀中來(lái)，形成愛(ài)讀書(shū)，讀好書(shū)，善讀書(shū)的濃厚氛圍．某中學(xué)共有3000名學(xué)生，為了了解學(xué)生書(shū)籍閱讀量情況，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，統(tǒng)計(jì)他們2024年閱讀的書(shū)籍?dāng)?shù)量，由此來(lái)估計(jì)該校學(xué)生當(dāng)年閱讀書(shū)籍?dāng)?shù)量的情況，下列估計(jì)中正確的是（）（注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）A.閱讀量的眾數(shù)估值為8 B.閱讀量的中位數(shù)估值為6.5C.閱讀量的平均數(shù)估值為6.76 D.閱讀量的第70百分位數(shù)估值為8.86【答案】D【解析】眾數(shù)估值為，A錯(cuò)誤；中位數(shù)在內(nèi)，所以，解得，B錯(cuò)誤；平均數(shù)，C錯(cuò)誤；第70百分位數(shù)在內(nèi)，所以，解得，D正確故選：D.7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，即.故選：D.8.已知點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以圓心，半徑由得，由得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，即為圓心，所以是圓的直徑的兩端點(diǎn)，所以，且，，因?yàn)椋?，令，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.函數(shù)，則下列關(guān)于的說(shuō)法中正確的是（）A.最小正周期是 B.最大值是2C.是區(qū)間上的增函數(shù) D.圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】AC【解析】，所以的最小正周期，A正確；最大值是，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，是的單調(diào)遞增區(qū)間，C正確；因?yàn)椋?，，所以圖象不關(guān)于中心對(duì)稱，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正四面體中，點(diǎn)O是頂點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影，N為PO的中點(diǎn)，則（）A.B.點(diǎn)C到平面的距離為C.如果在此正四面體中放入一個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為D.動(dòng)點(diǎn)Q在平面ABC內(nèi)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡表示圖形的面積為【答案】BD【解析】取的中點(diǎn)，連接，則且為靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，又平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，則，，，，，所以，，所以，所以與不垂直，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，又，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，即點(diǎn)C到平面的距離為，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則，即，解得，所以在此正四面體中放入一個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：連接，因?yàn)?，平面，平面，所以，所以，所以，則點(diǎn)在平面所表示的圖形為以為圓心，為半徑的圓面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡表示圖形的面積為，故D正確.故選：BD11.群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，群的定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“?”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對(duì)任意的，有；②對(duì)任意的，有；③存在，使得對(duì)任意的，有，稱為單位元；④對(duì)任意的，存在，使，稱a與b互為逆元．則稱G關(guān)于“?”新構(gòu)成一個(gè)群．則下列說(shuō)法正確的有（）A.（為虛數(shù)單位）關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B.有理數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C.關(guān)于數(shù)的除法構(gòu)成群D.正實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)?，可以?jì)算里面任意兩個(gè)元素的乘積結(jié)果都屬于集合.因?yàn)閿?shù)的乘法滿足結(jié)合律，對(duì)于復(fù)數(shù)也不例外.存在，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.集合也滿足逆元，關(guān)于數(shù)的乘法能夠構(gòu)成群，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)：對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)，它們的和仍為有理數(shù)；有理數(shù)的加法也滿足結(jié)合律.存在，對(duì)于，有.對(duì)于任意的，存在，使得.所以有理數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)：取，無(wú)意義，不滿足對(duì)任意的，有，所以不滿足封閉性，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)：任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積仍然是正實(shí)數(shù)；實(shí)數(shù)的乘法滿足結(jié)合律.對(duì)于任意的，存在使得.滿足.所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.若直線經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．【答案】或【解析】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為和，若是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在軸且，所以，離心率，若是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在軸且，所以，離心率，所以橢圓的離心率為或，故答案為：或.13.已知，，則________．【答案】【解析】，，故，所以，解得，故，所以.故答案為：14.若直線為曲線的一條切線，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則且，解得，所以，從而得，所以，設(shè)，，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.某云計(jì)算平臺(tái)部署了多臺(tái)同型號(hào)服務(wù)器，運(yùn)維系統(tǒng)會(huì)檢測(cè)服務(wù)器是否觸發(fā)“高溫異?！本瘓?bào)．歷史數(shù)據(jù)表明，警報(bào)與服務(wù)器狀態(tài)（正常/故障）高度相關(guān)．從觸發(fā)警報(bào)和未觸發(fā)警報(bào)的數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取500條，統(tǒng)計(jì)如下：觸發(fā)警報(bào)時(shí)狀態(tài)分布未觸發(fā)警報(bào)時(shí)狀態(tài)分布正常25臺(tái)正常450臺(tái)故障475臺(tái)故障50臺(tái)運(yùn)維單臺(tái)服務(wù)器時(shí)，可選操作及經(jīng)濟(jì)損失（單位：千元）如下：狀態(tài)/操作保持運(yùn)行快速診斷深度檢修正常013故障1046假設(shè)用頻率估計(jì)概率，各服務(wù)器狀態(tài)相互獨(dú)立．（1）若服務(wù)器觸發(fā)高溫警報(bào)，求其處于故障狀態(tài)的概率；（2）某次維護(hù)中，發(fā)現(xiàn)1臺(tái)觸發(fā)警報(bào)的服務(wù)器和1臺(tái)未觸發(fā)警報(bào)的服務(wù)器．現(xiàn)有三種操作方案：方案甲：觸發(fā)警報(bào)的服務(wù)器深度檢修，未觸發(fā)警報(bào)的保持運(yùn)行；方案乙：觸發(fā)警報(bào)的服務(wù)器快速診斷，未觸發(fā)警報(bào)的保持運(yùn)行；方案丙：觸發(fā)警報(bào)的服務(wù)器深度檢修，未觸發(fā)警報(bào)的快速診斷．從總經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度，判斷哪種方案更優(yōu)．解：（1）設(shè)服務(wù)器觸發(fā)警報(bào)時(shí)其處于故障狀態(tài)設(shè)為事件A，服務(wù)器未觸發(fā)報(bào)警記時(shí)其處于故障狀態(tài)記為B．由題意可知，；，由古典概型知識(shí)可知，.（2）∵，∴，又，∴．∴.方案甲：觸發(fā)警報(bào)的服務(wù)器深度檢修的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為：（千元）．未觸發(fā)警報(bào)的服務(wù)器保持運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為：（千元）．∴（千元）方案乙：觸發(fā)警報(bào)的服務(wù)器快速診斷的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為：（千元）．所以，（千元）方案丙：未觸發(fā)警報(bào)的服務(wù)器快速診斷的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為：（千元），所以（千元）∵，所以方案乙更優(yōu)．16.已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；（2）在（1）的條件下，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1），因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，此時(shí)，由，得；由，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故.（2）由（1）可知有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即．設(shè)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．，，令，得或；令，得且．所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；如圖所示，，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即或，即或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).17.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意可知，，可得，又，故數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，以-1為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，所以，，當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，①，②，由①-②得，所以，所以，，所以，，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，同理求和可得，，所以，，故，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在E上，且．（1）求E的方程；（2）過(guò)F作互相垂直的兩條直線，，這兩條直線與拋物線C分別交于A，B和P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A，P在第一象限．（?。┯洝鰽OB和△POQ的面積為，，求的最小值；（ⅱ）過(guò)F點(diǎn)作x軸的垂線，分別交AP，BQ于C，D兩點(diǎn)，請(qǐng)判斷是否存在以CD為直徑的圓與y軸相切，并說(shuō)明理由．解：（1）依題意得，點(diǎn)M在拋物線上，且，所以，所以可得，所以E的方程為；（2）（?。佄锞€方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)闹本€斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的斜率為0，此時(shí)與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，故設(shè)，，則，，，，，由，消去x得，，，，所以，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．（ⅱ）不妨設(shè)，由題意可知，又，，所以AP的直線方程可化為：，又，故可得，同理可得直線方程為，又，故，又，所以可得，可得，所以可得CD的中點(diǎn)恒為F，以CD為直徑的圓與y軸相切等價(jià)于，若，則，所以，又，所以，故，整理可得，即，因?yàn)?，故，所以．又，故可得．代入方程可得，，，故不存在以CD為直徑的圓與y軸相切19.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知向量，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量的平面α的方程為．（1）求原點(diǎn)到平面的距離；（2）根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線的距離公式，類(lèi)比出到平面的距離公式，并利用有關(guān)知識(shí)證明；（3）已知平行六面體，平面的方程為，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平面的方程為，求平面與平面夾角的余弦值的最大值．（1）解：根據(jù)題意，平面的法向量，在平面上任取點(diǎn)，可得，設(shè)原