2025年新高二數(shù)學(xué)（人教A版暑假銜接）新課預(yù)習(xí)-3.3 拋物線（學(xué)生版）-新高二暑假銜接

3.3拋物線【劃重點(diǎn)】1．掌握拋物線的定義及其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2．會(huì)求簡(jiǎn)單的拋物線方程．3．掌握拋物線的幾何性質(zhì).4．會(huì)求一些與拋物線有關(guān)的軌跡方程問(wèn)題.5．掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問(wèn)題．【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一拋物線的定義1．定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡．2．焦點(diǎn)：定點(diǎn)F.3．準(zhǔn)線：定直線l.知識(shí)點(diǎn)二拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e＝1通徑長(zhǎng)2p知識(shí)點(diǎn)三和拋物線有關(guān)的軌跡方程根據(jù)定義，可以直接判定一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．知識(shí)點(diǎn)四直線和拋物線1．直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個(gè)數(shù)．當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若Δ＝0，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；若Δ<0，直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn)．2．拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的弦)長(zhǎng)為2p.3．拋物線的焦點(diǎn)弦過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線與它交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).【例題詳解】一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．(2)已知拋物線C與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是（

）A．

B．

C．

D．

(3)已知拋物線過(guò)點(diǎn)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知點(diǎn)為拋物線：上一點(diǎn)，且點(diǎn)到軸的距離比它到焦點(diǎn)的距離小3，則（

）A．3 B．6 C．8 D．12(2)以橢圓的左焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．(3)已知拋物線的準(zhǔn)線是圓與圓的公共弦所在的直線，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．二、拋物線定義的應(yīng)用例2(1)已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若到直線的距離為7，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7(2)已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6(3)已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）．A．13 B．12 C．10 D．8(4)若拋物線C：上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，到軸的距離為3，則.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是點(diǎn)M，已知點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．(2)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，l為準(zhǔn)線，P為C上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離和點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值為（

）A．4 B．3 C． D．三、拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)（多選）關(guān)于拋物線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．開口向左 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對(duì)稱軸為軸(2)已知拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為3和，則（

）A．2 B．2或4 C．1或2 D．1(3)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C．8 D．跟蹤訓(xùn)練3(1)等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則△AOB的面積是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2(2)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過(guò)A，B的拋物線方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x(2)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(1,0)C．(8,0) D．(4,0)四、和拋物線有關(guān)的軌跡問(wèn)題例4(1)動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線(2)設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過(guò)B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練4已知?jiǎng)訄AM與直線相切，且與定圓C：外切，那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.五、直線與拋物線的位置關(guān)系例5(1)已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．32 B． C． D．8(2)（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長(zhǎng)度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切(3)已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作的一條切線，切點(diǎn)為，則的面積為跟蹤訓(xùn)練5(1)已知命題p：，命題q：直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)（多選）設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【課堂鞏固】1．過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．3．若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．4．已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和距離之和的最小值是（

）A． B．2 C． D．35．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．6．拋物線上一點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則焦點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（

）A．8 B．4 C．2 D．18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，且，則（

）A． B． C． D．9．（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．10．（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．過(guò)點(diǎn)與拋物線有唯一公共點(diǎn)的直線有2條C．的最小值為D．點(diǎn)到直線的最短距離為11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，則．12．已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為.13．若點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)P的軌跡是．14．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（3，6），點(diǎn)Q在拋物線上，則的最小值為．15．分別求符合下列條件的拋物線方程:(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,且過(guò)點(diǎn);(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.16．已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上(1)求拋物線的方程(2)設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程【課時(shí)作業(yè)】1．若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)到軸距離的3倍，則等于（

）A．2 B．4 C．6 D．82．若拋物線（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，則（

）A． B． C． D．3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．4 B． C．8 D．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上且縱坐標(biāo)為4，則（

）A．2 B．3 C．5 D．65．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B點(diǎn)，，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為是拋物線上一點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．5 D．47．是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．8．若點(diǎn)，在拋物線上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（

）A． B．C． D．9．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B．3 C． D．610．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，于，于，則四邊形的面積為（

）A．32 B． C．64 D．11．（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則（

）A．焦點(diǎn)的坐標(biāo)為B．過(guò)點(diǎn)恰有2條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)C．直線與拋物線相交所得弦長(zhǎng)為8D．拋物線與圓交于兩點(diǎn)，則12．（多選）已知拋物線C的方程為，焦點(diǎn)為F，且過(guò)點(diǎn)，直線l：，點(diǎn)P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．B．的最小值為2C．點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為2D．點(diǎn)P到直線l的距離與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，到準(zhǔn)線的距離為，且，則拋物線的方程為.14．已知拋物線上的兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和為5，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則＝．15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為.16．設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，與軸正向的夾角為，則.17．已知拋物線，焦點(diǎn)為，