2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第十章　必刷小題19　計(jì)數(shù)原理與概率VIP

必刷小題19計(jì)數(shù)原理與概率[分值：73分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1.已知一個(gè)系統(tǒng)由A，B兩個(gè)部件并聯(lián)組成，當(dāng)A或B正常工作時(shí)，系統(tǒng)就能正常工作，若A正常工作的概率為0.65，B正常工作的概率為0.6，則該系統(tǒng)正常工作的概率為()A.0.86 B.0.75C.0.47 D.0.14答案A解析根據(jù)題意，A，B兩個(gè)部件都不能正常工作的概率為(1－0.65)×(1－0.6)＝0.14，所以該系統(tǒng)正常工作的概率為1－0.14＝0.86.2.在x2-2x6的二項(xiàng)展開(kāi)式中，A.－154 B.C.－38 D.答案B解析因?yàn)閤2-2x6的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk＋1＝C6k·126-k·(－2)k·x3－k(k＝0所以當(dāng)k＝2時(shí)，x的系數(shù)為C62·124·(－2)3.甲、乙等四個(gè)人一起隨機(jī)手牽手圍成一圈做游戲，甲與乙牽手的概率是()A.12 B.C.14 D.答案D解析以甲為中心，其他三人的位置是甲的左邊、右邊、對(duì)面，共有A33種情況，其中乙在甲的左邊或右邊，即甲與乙能牽手有2A22種情況，所以所求概率為4.現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則下列事件中互為對(duì)立事件的是()A.恰好兩件正品與恰好四件正品B.至少三件正品與全部正品C.至少一件正品與全部次品D.至少一件正品與至少一件次品答案C解析根據(jù)題意，選項(xiàng)A中事件為互斥事件，不是對(duì)立事件；選項(xiàng)B，D中事件可能同時(shí)發(fā)生，全部正品是至少三件正品的子事件；選項(xiàng)C中事件為對(duì)立事件，全部次品不能存在有正品的事件.5.(2024·大同模擬)某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其中將抽到的各位數(shù)字之和為8的四位數(shù)稱(chēng)為“幸運(yùn)數(shù)”(如2024是“幸運(yùn)數(shù)”)，并獲得一定的獎(jiǎng)品，則首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有()A.32個(gè) B.28個(gè)C.27個(gè) D.24個(gè)答案B解析依題意，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”中其他三位數(shù)字的組合有以下七類(lèi)：①“0，0，6”組合，有C31種，②“0，1，5”組合，有A33種，③“0，2，4”組合，有A33種，④“0，3，3”組合，有C31種，⑤“1，1，4”組合，有C31種，⑥“1，2，3”組合，有A33種，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，首位數(shù)字為2的“幸運(yùn)數(shù)”共有3C31＋3A33＋1＝9＋18＋1＝286.已知甲袋中有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有8個(gè)紅球和6個(gè)白球，隨機(jī)取一袋，再?gòu)拇腥稳∫磺?，發(fā)現(xiàn)是紅球，則此球來(lái)自甲袋的概率為()A.512 B.C.2041 D.答案D解析設(shè)“取到甲袋”為事件A，則P(A)＝P(A)＝12設(shè)“取到紅球”為事件B，則P(B|A)＝610＝35，P(B|A由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|A)P(A)＝35×12＋所以P(A|B)＝P(7.在二項(xiàng)式2x-1xn的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列，奇次項(xiàng)(未知數(shù)x的指數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)A.135 B.C.14 D.答案A解析在二項(xiàng)式2x-1xn的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n＝64＝2二項(xiàng)式2x-1展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝C6k·26－k(－1)k·x3－k，k＝0，1，2，…，故展開(kāi)式共有7項(xiàng)，當(dāng)k＝0，2，4，6時(shí)，第k＋1項(xiàng)為奇次項(xiàng)，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列，奇次項(xiàng)都互不相鄰，即把其他的3個(gè)偶次項(xiàng)先任意排，再把這4個(gè)奇次項(xiàng)插入其中的4個(gè)空中，方法共有A3故奇次項(xiàng)都互不相鄰的概率為P＝A38.某規(guī)范化考場(chǎng)的規(guī)格為每場(chǎng)30名考生，分為6排5列，依照如表所示的方式進(jìn)行座位號(hào)的編排.為了確?？荚嚨墓叫?，考生的試卷分為A卷和B卷，座位號(hào)為奇數(shù)的考生使用A卷，座位號(hào)為偶數(shù)的考生使用B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考場(chǎng)參加考試，且三人使用的試卷類(lèi)型相同，三名考生中任意兩人不得安排在同一排或同一列，則甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有()第5列第4列第3列第2列第1列2524131201第1排2623141102第2排2722151003第3排2821160904第4排2920170805第5排3019180706第6排A.2016種 B.1008種C.1440種 D.720種答案A解析先考慮甲、乙、丙三人使用A卷，則這三個(gè)人的座位號(hào)都為奇數(shù)，分以下幾種情況討論：(1)若這三人都在奇數(shù)列，則有一人需在第1列選一個(gè)奇數(shù)號(hào)的座位，有3種情況，然后有一人在第3列要選一個(gè)奇數(shù)號(hào)的座位，但與第一人不能在同一排，只有2種情況，最后一人只能在第5列選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的座位，但該人不能與前兩人在同一排，最后一人的座位只有一種選擇，此時(shí)，不同的排法有3×2×1×A33＝36(種(2)三人中只有兩人在奇數(shù)列，首先在第1，3，5列中選兩列，有C3其次，第一個(gè)人在其中的第一個(gè)奇數(shù)列中選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的位置，有3種選擇，第二個(gè)人在另一個(gè)奇數(shù)列中選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的位置，有2種選擇，第三個(gè)人在兩個(gè)偶數(shù)列中選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的位置，有6種選擇，此時(shí)，共有C32×(3×2×6)×A33＝648(3)三人中只有一人在奇數(shù)列，第一個(gè)人在第1，3，5列中隨便選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的位置，有9種選擇，其次，第二個(gè)人在第2列中選擇一個(gè)奇數(shù)號(hào)的位置，有3種選擇，例如第二個(gè)人選擇11號(hào)座位，由于第三個(gè)人不能與第二個(gè)人同排或同列，則第三個(gè)人只有2種選擇，即19號(hào)和21號(hào)兩個(gè)位置可供選擇，此時(shí)，不同的排法有9×3×2×A33＝324(種綜上所述，當(dāng)三人都使用A卷時(shí)，不同的排法種數(shù)為36＋648＋324＝1008.由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)三人都使用B卷時(shí)，不同的排法種數(shù)也為1008.綜上，當(dāng)三人的試卷類(lèi)型相同時(shí)，不同的座位安排方案種數(shù)為1008×2＝2016.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)9.二項(xiàng)式x-1x6A.前三項(xiàng)系數(shù)之和為22B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C.常數(shù)項(xiàng)為15D.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為0答案BCD解析二項(xiàng)式x-Tk＋1＝C6k(x)6-k·-1xk＝(－1)kC6kx3-3k2(k＝0，1，2，…，6)，前三項(xiàng)的系數(shù)之和為(－1)0C60二項(xiàng)式系數(shù)C6k(k＝0，1，2，…，6)中最大的是C63，恰好是第要求常數(shù)項(xiàng)，通項(xiàng)公式中應(yīng)滿(mǎn)足3－3k2＝0，得k＝2，即T3＝(－1)2C62x0＝將x＝1代入，可得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為0，D正確.10.已知A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，則下列結(jié)論一定正確的是()A.P(AB)＝0.18B.A，B不可能為互斥事件C.若P(AB)＝0.42，則事件A，B相互獨(dú)立D.若A，B相互獨(dú)立，則P(A＋B)答案BC解析若P(AB)＝0.18＝P(A)P(B)，則事件A，B相互獨(dú)立，無(wú)法確定，故A錯(cuò)誤；若A，B為互斥事件，則P(AB)＝0，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.6＋1－0.3＝1.3>1，故A，B不可能為互斥事件，故B正確；若P(AB)＝0.42＝P(A)P(B)，則事件A，B相互獨(dú)立，故C正確；若A，B相互獨(dú)立，則A，B相互獨(dú)立，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.4＋0.3－0.4×0.3＝0.58，故11.五一假期過(guò)后，車(chē)主小王選擇去某市新開(kāi)的A，B兩家共享自助洗車(chē)店洗車(chē).已知小王第一次去A，B兩家洗車(chē)店洗車(chē)的概率分別為35和25，如果小王第一次去A洗車(chē)店，那么第二次去A洗車(chē)店的概率為12；如果小王第一次去B洗車(chē)店，那么第二次去A洗車(chē)店的概率為35A.小王第一次去B洗車(chē)店，第二次也去B洗車(chē)店的概率為4B.小王第二次去B洗車(chē)店的概率比第二次去A洗車(chē)店的概率大C.若小王第二次去了A洗車(chē)店，則他第一次去A洗車(chē)店的概率為5D.若小王第二次去了B洗車(chē)店，則他第一次去A洗車(chē)店的概率為13答案AC解析記第i次去A洗車(chē)店為事件Ai，第i次去B洗車(chē)店為事件Bi，i＝1，2，由題意可知，P(A1)＝35，P(B1)＝2P(A2|A1)＝12，P(B2|A1)＝1P(A2|B1)＝35，P(B2|B1)＝2對(duì)于A，P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝25×25＝對(duì)于B，P(B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝35×12＋P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝35×12＋25對(duì)于C，P(A1|A2)＝P(A1對(duì)于D，P(A1|B2)＝P(A1B三、填空題(每小題5分，共15分)12.小耿與小吳參與某個(gè)答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會(huì)，小吳有1道題不會(huì)，小耿與小吳分別從這5道題中任意選取1道題進(jìn)行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會(huì)答的概率為.

答案14解析小耿與小吳恰有1人會(huì)答，包括兩種情況，小耿會(huì)小吳不會(huì)和小吳會(huì)小耿不會(huì).則小耿與小吳恰有1人會(huì)答的概率為25×15＋13.無(wú)人酒店是利用人工智能與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，為客人提供自助入住等服務(wù)的新型酒店，勝在科技感與新奇感.去某地旅游的游客有無(wú)人酒店和常規(guī)酒店兩種選擇，某游客去該地旅游，第一天隨機(jī)選擇一種酒店入住，如果第一天入住無(wú)人酒店，那么第二天還入住無(wú)人酒店的概率為0.8，如果第一天入住常規(guī)酒店，那么第二天入住無(wú)人酒店的概率為0.6，則該游客第二天入住無(wú)人酒店的概率為.

答案0.7解析記事件A1＝“第一天入住無(wú)人酒店”，A2＝“第二天入住無(wú)人酒店”，B1＝“第一天入住常規(guī)酒店”，根據(jù)題意可知P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.8，P(A2|B1)＝0.6，則由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.7.14.(2024·廣州模擬)如圖是一個(gè)3×3的九宮格，小方格內(nèi)的坐標(biāo)表示向量，現(xiàn)不改變這些向量坐標(biāo)，重新調(diào)整位置，使得每行、每列各三個(gè)向量的和為零向量，則不同的填法種數(shù)為.

(－1，1)(0，1)(1，1)(－1，0)(0，0)(1，0)(－1，－1)(0，－1)(1，－1)答案72解析首先對(duì)3×3的九宮格每個(gè)位置標(biāo)注數(shù)字，第一步先排(0，0)，一共9個(gè)位置，因此有C91種排法，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，(0，0)所在的行和列只能排(1，1)，(－1，－1)，(1，－1)，(－1，1)，不妨設(shè)(0，0)在1位置，第二步排2位置，則從(1，1)，(－1，－1)，(1，－1