2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二章　函數(shù)第6節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù)含答案

2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二章函數(shù)第6節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)第6節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)考試要求1.了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝eq\f(1,x)的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題.【知識(shí)梳理】1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.2.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).(3)零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數(shù)；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數(shù)；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減函數(shù)[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.(1)冪函數(shù)y＝xα中，α的取值影響冪函數(shù)的定義域、圖象及性質(zhì)；(2)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限.2.對(duì)勾函數(shù)y＝ax＋eq\f(b,x)(ab＞0)極值與圖象的拐點(diǎn)可利用基本不等式求得.3.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).4.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))時(shí)，恒有f(x)>0；當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))時(shí)，恒有f(x)<0.【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2xeq\s\up6(\f(1,3))是冪函數(shù).()(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象恒在x軸下方，則a＜0且Δ＜0.()(3)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的兩個(gè)零點(diǎn)確定，則二次函數(shù)的解析式確定.()(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)由于冪函數(shù)的解析式為f(x)＝xα，故y＝2xeq\s\up6(\f(1,3))不是冪函數(shù)，故(1)錯(cuò)誤.(3)二次函數(shù)y＝x2－x與y＝2x2－2x零點(diǎn)相同，但解析式不同，故(3)錯(cuò)誤.(4)當(dāng)對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)?[m，n]時(shí)，最值則不是eq\f(4ac－b2,4a)，故(4)錯(cuò)誤.2.若冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的大致圖象是()答案C解析設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，所以2＝4α，解得α＝eq\f(1,2)，所以y＝eq\r(x)，其定義域?yàn)閇0，＋∞)，且是增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，其圖象在直線y＝x的上方，對(duì)照選項(xiàng)知C正確.3.已知y＝f(x)為二次函數(shù)，若y＝f(x)在x＝2處取得最小值－4，且y＝f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則函數(shù)解析式為________.答案f(x)＝x2－4x解析由題意，可設(shè)f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，又圖象過原點(diǎn)，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.4.若函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________.答案(－∞，40]∪[160，＋∞)解析依題意知，eq\f(k,8)≥20或eq\f(k,8)≤5，解得k≥160或k≤40.考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1(1)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A.a>b>c>d B.d>b>c>aC.d>c>b>a D.b>c>d>a答案D解析觀察函數(shù)圖象可知在(1，＋∞)上，函數(shù)圖象與x軸的距離由遠(yuǎn)及近為y＝xb，y＝xc，y＝xd，y＝xa，∴其函數(shù)的指數(shù)的大小為b>c>d>a.(2)(2024·石家莊調(diào)研)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(4,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(\f(2,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))eq\s\up12(\f(1,3))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a<b<c B.c<a<bC.a>b>c D.b<c<a答案B解析由a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(4,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(\f(2,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))eq\s\up12(\f(1,3))，得a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(\f(2,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(\f(2,3)).因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝xeq\f(2,3)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且eq\f(1,5)<eq\f(1,4)<eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(\f(2,3))，即c<a<b.故選B.感悟提升1.對(duì)于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條直線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域.根據(jù)α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.2.在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.訓(xùn)練1(1)已知冪函數(shù)y＝xeq\f(p,3)(p∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則()A.p為奇數(shù)，且p>0 B.p為奇數(shù)，且p<0C.p為偶數(shù)，且p>0 D.p為偶數(shù)，且p<0答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝xeq\f(p,3)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)y＝xeq\f(p,3)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又函數(shù)y＝xeq\f(p,3)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以eq\f(p,3)<0，即p<0.(2)(2024·德州模擬)冪函數(shù)f(x)＝(m2＋m－5)xm2＋2m－5在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(3)等于()A.27 B.9C.eq\f(1,9) D.eq\f(1,27)答案A解析由題意，得m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，當(dāng)m＝2時(shí)，可得函數(shù)f(x)＝x3，此時(shí)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)m＝－3時(shí)，可得f(x)＝x－2，此時(shí)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意，即冪函數(shù)f(x)＝x3，則f(3)＝27.考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式例2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)＝________.答案－4x2＋4x＋7解析法一(利用“一般式”)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用“頂點(diǎn)式”)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因?yàn)閒(2)＝f(－1)，所以拋物線的對(duì)稱軸為x＝eq\f(2＋（－1）,2)＝eq\f(1,2)，所以m＝eq\f(1,2).又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8.因?yàn)閒(2)＝－1，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用“零點(diǎn)式”)由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值8，即eq\f(4a（－2a－1）－（－a）2,4a)＝8.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.感悟提升求二次函數(shù)解析式的方法訓(xùn)練2已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，則二次函數(shù)的解析式為________________.答案y＝eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(3,2)或y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)解析因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，所以可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展開得，y＝ax2＋2ax－3a，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\f(－12a2－4a2,4a)＝－4a，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，所以|－4a|＝2，即a＝±eq\f(1,2)，所以二次函數(shù)的解析式為y＝eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(3,2)或y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2).考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)角度1二次函數(shù)的圖象例3(1)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，且函數(shù)f(x)的圖象可能是()答案D解析由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函數(shù)圖象開口向上，排除A，C；又f(0)＝c<0，排除B.故選D.(2)(多選)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A(－3，0)，對(duì)稱軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論正確的為()A.b2＞4ac B.2a－b＝1C.a－b＋c＝0 D.5a＜b答案AD解析因?yàn)閳D象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正確.對(duì)稱軸為x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，B錯(cuò)誤.結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＞0，即a－b＋c＞0，C錯(cuò)誤.由對(duì)稱軸為x＝－1知，b＝2a.根據(jù)拋物線開口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正確.感悟提升研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.角度2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值例4已知函數(shù)f(x)＝x2－tx－1.(1)若f(x)在區(qū)間(－1，2)上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t).解f(x)＝x2－tx－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(t,2)))eq\s\up12(2)－1－eq\f(t2,4).(1)依題意，－1＜eq\f(t,2)＜2，解得－2＜t＜4，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(－2，4).(2)①當(dāng)eq\f(t,2)≥2，即t≥4時(shí)，f(x)在[－1，2]上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(2)＝3－2t.②當(dāng)－1＜eq\f(t,2)＜2，即－2＜t＜4時(shí)，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))＝－1－eq\f(t2,4).③當(dāng)eq\f(t,2)≤－1，即t≤－2時(shí)，f(x)在[－1，2]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(－1)＝t.綜上，g(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t，t≤－2，,－1－\f(t2,4)，－2＜t＜4，,3－2t，t≥4.))感悟提升閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.訓(xùn)練3(1)(多選)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c<0C.9a＋3b＋c<0 D.abc<0答案ACD解析由二次函數(shù)圖象開口向下知a<0，對(duì)稱軸為x＝－eq\f(b,2a)＝1，即2a＋b＝0，故b>0.又因?yàn)閒(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.(2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.①當(dāng)a＝2，x∈[－2，3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；②若函數(shù)f(x)在[－1，3]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值.解①當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(3,2)∈[－2，3]，∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－eq\f(9,2)－3＝－eq\f(21,4)，f(x)max＝f(3)＝15，∴f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，15)).②函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(2a－1,2).(ⅰ)當(dāng)－eq\f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－eq\f(1,3)，滿足題意；(ⅱ)當(dāng)－eq\f(2a－1,2)＞1，即a＜－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，滿足題意.綜上可知，a＝－eq\f(1,3)或－1.【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.若冪函數(shù)f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則m的值為()A.1或3 B.1C.3 D.2答案B解析由題意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8>0，解得m＝1.2.已知函數(shù)f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<c<b B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b答案B解析∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴b<a<c.3.若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點(diǎn)，則g(x)的解析式為()A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2xC.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x答案B解析二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)為g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,a－b＝5，))則a＝3，b＝－2，所求的二次函數(shù)為g(x)＝3x2－2x.4.(2023·廈門模擬)函數(shù)y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是()答案C解析若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A，D；對(duì)于B，由直線可知a>0，b>0，從而－eq\f(b,2a)<0，而二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，故排除B，選C.5.已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，則()A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0答案A解析由f(0)＝f(4)，得f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)＝f(4)>f(1)，所以f(x)的圖象開口向上，a>0.故選A.6.已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋1的定義域?yàn)閇1，t]，在該定義域內(nèi)函數(shù)的最大值與最小值之和為－5，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.(1，3] B.[2，3]C.(1，2] D.(2，3)答案B解析易知f(x)＝x2－4x＋1的圖象是一條開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝2的拋物線，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－2，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－3，由y＝－2，得x＝1或x＝3，因?yàn)閒(x)在定義域內(nèi)的最大值與最小值之和為－5，所以2≤t≤3.故選B.7.(多選)若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9，3)，則下列結(jié)論中正確的是()A.f(x)為偶函數(shù) B.f(x)為增函數(shù)C.若x>1，則f(x)>1 D.若x1>x2>0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)答案BCD解析若冪函數(shù)f(x)＝xα經(jīng)過點(diǎn)(9，3)，則9α＝3，則α＝eq\f(1,2)，則冪函數(shù)f(x)＝eq\r(x)在定義域[0，＋∞)上為增函數(shù)，故B正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\r(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝eq\r(x)>1，故C正確；函數(shù)f(x)＝xeq\f(1,2)的圖象如圖，其圖象在[0，＋∞)上是上凸的，則有不等式eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))成立，所以D正確.8.若f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))，則不等式f(x)＞f(8x－16)的解集是________.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(16,7)))解析因?yàn)閒(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))在定義域[0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，且f(x)＞f(8x－16)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,8x－16≥0，,x＞8x－16，))即2≤x＜eq\f(16,7)，所以不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(16,7))).9.已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，3)，且圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)的解析式為________________.答案f(x)＝x2－4x＋3解析∵f(2－x)＝f(2＋x)對(duì)任意x∈R恒成立，∴f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2.又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，∴f(x)＝0的兩根為1和3，設(shè)f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的圖象過點(diǎn)(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.10.若函數(shù)φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.答案[－2，0]解析當(dāng)0≤x≤1時(shí)，φ(x)＝x2－mx＋m，此時(shí)φ(x)單調(diào)遞增，則eq\f(m,2)≤0，即m≤0；當(dāng)x＞1時(shí)，φ(x)＝x2＋mx－m，此時(shí)φ(x)單調(diào)遞增，則－eq\f(m,2)≤1，則m≥－2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－2，0].11.若點(diǎn)(eq\r(2)，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))在冪函數(shù)g(x)的圖象上.(1)求f(x)和g(x)的解析式；(2)定義h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），f（x）≤g（x），,g（x），f（x）>g（x），))求函數(shù)h(x)的最大值及單調(diào)區(qū)間.解(1)設(shè)f(x)＝xα，因?yàn)辄c(diǎn)(eq\r(2)，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，所以(eq\r(2))α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2.設(shè)g(x)＝xβ，因?yàn)辄c(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))在冪函數(shù)g(x)的圖象上，所以2β＝eq\f(1,2)，解得β＝－1，即g(x)＝x－1.(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)＝x2和g(x)＝x－1的圖象，可得函數(shù)h(x)的圖象如圖實(shí)線部分所示.由題意及圖象，可知h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0或x>1，,x2，0<x≤1.))根據(jù)函數(shù)h(x)的解析式及圖象，可知函數(shù)h(x)的最大值為1，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，(1，＋∞).12.(2024·大慶質(zhì)檢)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.解當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－2.當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為x＝eq\f(1,a).①當(dāng)0＜eq\f(1,a)≤1，即a≥1時(shí)，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\f(1,a)－eq\f(2,a)＝－eq\f(1,a).②當(dāng)eq\f(1,a)＞1，即0＜a＜1時(shí)，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象開口向下，且對(duì)稱軸x＝eq\f(1,a)＜0，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.綜上所述，f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2，a＜1，,－\f(1,a)，a≥1.))【B級(jí)能力提升】13.已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若對(duì)于區(qū)間[－1，2]上任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，0] B.[0，3]C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.[3，＋∞)答案C解析二次函數(shù)f(x)＝x2－2(a－1)x＋a圖象的對(duì)稱軸為直線x＝a－1，∵對(duì)于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在區(qū)間[－1，2]上是單調(diào)函數(shù)，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]∪[3，＋∞).14.已知a，b是常數(shù)且a≠0，f(x)＝ax2＋bx且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，n(m＜n)，使得f(x)的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]?解(1)由f(x)＝ax2＋bx，且f(2)＝0，則4a＋2b＝0，又方程f(x)＝x有等根，即ax2＋(b－1)x＝0有等根，得b＝1，從而a＝－eq\f(1,2)，所以f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋x.(2)假定存在符合條件的m，n，由(1)知f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋x＝－eq\f(1,2)(x－1)2＋eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)，則有2n≤eq\f(1,2)，即n≤eq\f(1,4).又f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，則f(x)在[m，n]上單調(diào)遞增，于是得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜n≤\f(1,4)，,f（m）＝2m，,f（n）＝2n，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜n≤\f(1,4)，,－\f(1,2)m2＋m＝2m，,－\f(1,2)n2＋n＝2n，))解方程組得m＝－2，n＝0，所以存在m＝－2，n＝0，使函數(shù)f(x)在[－2，0]上的值域?yàn)閇－4，0].第10節(jié)函數(shù)的圖象考試要求1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.會(huì)畫簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題.【知識(shí)梳理】1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)的圖象；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于直線),\s\do5(y＝x對(duì)稱))y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.(3)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(縱坐標(biāo)不變),\s\do5(各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腬f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(橫坐標(biāo)不變),\s\do5(各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁(A>0)倍))y＝Af(x).(4)翻折變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(x軸下方部分翻折到上方),\s\do5(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do5(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.圖象的左右平移僅僅是相對(duì)于x而言，如果x的系數(shù)不是1，常需把系數(shù)提出來，再進(jìn)行變換.2.圖象的上下平移僅僅是相對(duì)于y而言的，利用“上加下減”進(jìn)行.【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同.()(2)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.()(3)函數(shù)y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同.()(4)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)令f(x)＝－x，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，兩者圖象不同，(1)錯(cuò)誤.(2)y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]，所以可由y＝f(－x)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，(2)錯(cuò)誤.(3)中兩函數(shù)當(dāng)a≠1時(shí)，y＝af(x)與y＝f(ax)是由y＝f(x)分別進(jìn)行縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)伸縮變換得到，兩圖象不同，(3)錯(cuò)誤.(4)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，(4)錯(cuò)誤.2.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為()A.f(x)＝eq\f(x2,ex＋e－x) B.f(x)＝eq\f(ex＋e－x,x3)C.f(x)＝eq\f(x2,ex－e－x) D.f(x)＝eq\f(ex＋e－x,x2)答案D解析由所給圖象可知，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，且為偶函數(shù)，A選項(xiàng)中的函數(shù)定義域?yàn)镽，B，C，D選項(xiàng)中的函數(shù)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，排除A；當(dāng)f(x)＝eq\f(ex＋e－x,x3)時(shí)，f(－x)＝eq\f(e－x＋ex,（－x）3)＝－eq\f(ex＋e－x,x3)＝－f(x)，所以f(x)＝eq\f(ex＋e－x,x3)是奇函數(shù)，排除B；當(dāng)f(x)＝eq\f(x2,ex－e－x)時(shí)，f(－x)＝eq\f(（－x）2,e－x－ex)＝－eq\f(x2,ex－e－x)＝－f(x)，所以f(x)＝eq\f(x2,ex－e－x)是奇函數(shù)，排除C.故選D.3.已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)B.f(x)是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)C.f(x)是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－1，1)D.f(x)是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)答案C解析將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對(duì)值，得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x＜0，))畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1，1)上單調(diào)遞減.4.函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，再把y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)＝________.答案e－x＋1解析由題意得f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象例1作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.解(1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)圖象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的圖象，如圖①實(shí)線部分.(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②.(3)∵y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性作出(－∞，0)上的圖象，得圖象如圖③.感悟提升1.描點(diǎn)法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.2.圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.訓(xùn)練1分別作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝sin|x|；(2)y＝eq\f(2x－1,x－1).解(1)當(dāng)x≥0時(shí)，y＝sin|x|與y＝sinx的圖象完全相同，又y＝sin|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其圖象如圖①.(2)y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)的圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如圖②所示.考點(diǎn)二函數(shù)圖象的識(shí)別例2(1)(2022·全國(guó)甲卷)函數(shù)f(x)＝(3x－3－x)·cosx在區(qū)間[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的圖象大致為()答案A解析法一(特值法)取x＝1，則f(1)＝(3－eq\f(1,3))cos1＝eq\f(8,3)cos1＞0；取x＝－1，則f(－1)＝(eq\f(1,3)－3)cos(－1)＝－eq\f(8,3)cos1＜0.結(jié)合選項(xiàng)知選A.法二f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝(3x－3－x)cosx是奇函數(shù)，排除B，D；取x＝1，則f(1)＝(3－eq\f(1,3))cos1＝eq\f(8,3)cos1＞0，排除C.故選A.(2)(2023·天津卷)函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示，則f(x)的解析式可能為()A.f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2) B.f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)C.f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2) D.f(x)＝eq\f(5cosx,x2＋1)答案D解析由題圖可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).對(duì)于A，f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)，定義域?yàn)镽，f(－x)＝eq\f(5（e－x－ex）,x2＋2)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函數(shù)，所以排除A；對(duì)于B，f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)，定義域?yàn)镽，f(－x)＝eq\f(5sin（－x）,x2＋1)＝－eq\f(5sinx,x2＋1)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函數(shù)，所以排除B；對(duì)于C，f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)，定義域?yàn)镽，f(－x)＝eq\f(5（e－x＋ex）,x2＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)是偶函數(shù)，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合題意，所以排除C；分析知，選項(xiàng)D符合題意，故選D.感悟提升1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：尋找函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題.訓(xùn)練2(1)(2024·焦作模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(6x－6－x,|4x2－1|)的大致圖象為()答案C解析由題意知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠±\f(1,2)))，因?yàn)閒(－x)＝eq\f(6－x－6x,|4x2－1|)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，排除A；因?yàn)閒(1)＝eq\f(35,18)>0，所以排除B；當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，排除D.故選C.(2)(2024·呂梁質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式可能為()A.f(x)＝eq\f(x－x3,2x) B.f(x)＝eq\f(x3－x,e|x|)C.f(x)＝x3·ln|x| D.f(x)＝e|x|·(x2－1)答案B解析由題圖知，函數(shù)f(x)是奇函數(shù).對(duì)于A，因?yàn)閒(2)＝eq\f(2－8,4)＝－eq\f(3,2)，f(－2)＝eq\f(－2＋8,\f(1,4))＝24，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)，故排除A；對(duì)于C，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝x3·lnx單調(diào)遞增，故排除C；對(duì)于D，f(x)＝e|x|·(x2－1)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝e|x|·(x2－1)＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，故排除D.故選B.考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用角度1解方程或不等式例3(2024·商丘模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示，則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為()A.(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2) D.(－2，－eq\r(2))∪(0，eq\r(2))∪(2，＋∞)答案C解析根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的圖象，如圖所示，由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2>0，,f（x）>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2<0，,f（x）<0，))解得x<－2或－eq\r(2)<x<0或eq\r(2)<x<2，故不等式的解集為(－∞，－2)∪(－eq\r(2)，0)∪(eq\r(2)，2).角度2求參數(shù)范圍例4(2024·張掖診斷)已知函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x≤0時(shí)，2f(x－2)＝f(x)，且當(dāng)x∈(－2，0]時(shí)，f(x)＝|x＋1|－1；當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝logax(a＞0且a≠1).若函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì)，則a的取值范圍是()A.(625，＋∞) B.(4，64)C.(9，625) D.(9，64)答案C解析當(dāng)x∈(－2，0]時(shí)，f(x)＝|x＋1|－1，結(jié)合當(dāng)x≤0時(shí)，2f(x－2)＝f(x)，作出函數(shù)f(x)在(－∞，0]上的部分圖象，再作出y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象及其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，如圖所示.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，對(duì)稱后的圖象不可能與f(x)在(－∞，0]的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a＞1時(shí)，要使函數(shù)f(x)＝logax的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的圖象與f(x)在(－∞，0]上的圖象恰好有3個(gè)交點(diǎn)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,－loga3＞－\f(1,2)，,－loga5＜－\f(1,4)，))解得9＜a＜625.故選C.感悟提升1.當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.2.利用圖象求參數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確分析函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)，借助函數(shù)圖象，把原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系較明確的問題.訓(xùn)練3(1)(2024·南通調(diào)研)已知函數(shù)y＝f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0，3)∪(3，＋∞)時(shí)，f(－x)>2f(x)，f(3)＝0，則不等式f(x)>0的解集為________.答案(－∞，－3)∪(－3，0)解析依題意知，f(0)＝0，當(dāng)x∈(0，3)∪(3，＋∞)時(shí)，f(－x)>2f(x)，即－f(x)>2f(x)，得f(x)<0，由f(3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，由此畫出f(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知，不等式f(x)>0的解集為(－∞，－3)∪(－3，0).(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinπx，0≤x≤1，,log2024x，x＞1，))若實(shí)數(shù)a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則a＋b＋c的取值范圍是________.答案(2，2025)解析函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinπx，0≤x≤1，,log2024x，x＞1))的圖象如圖所示，不妨令a＜b＜c，由正弦曲線的對(duì)稱性可知a＋b＝1，而1＜c＜2024，所以2＜a＋b＋c＜2025.【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.為了得到函數(shù)y＝lgeq\f(x＋3,10)的圖象，只需把函數(shù)y＝lgx的圖象上所有的點(diǎn)()A.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度答案C解析∵y＝lgeq\f(x＋3,10)＝lg(x＋3)－1，∴y＝lgxeq\o(→,\s\up7(向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度))y＝lg(x＋3)eq\o(→,\s\up7(向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度))y＝lg(x＋3)－1.2.(2024·浙江十校聯(lián)考)函數(shù)y＝(x－2)2ln|x|的圖象是()答案B解析圖象過點(diǎn)(1，0)，(2，0)，排除A，D；當(dāng)x≥1時(shí)，y≥0，排除C，故選B.3.(2024·深圳模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖1所示，則圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)有可能是()A.y＝x2f(x) B.y＝eq\f(f（x）,x2)C.y＝xf(x) D.y＝xf2(x)答案C解析對(duì)于A，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，所以x2f(x)<0，故A不符合題意；對(duì)于B，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，所以eq\f(f（x）,x2)<0，故B不符合題意；對(duì)于C，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，所以xf(x)>0，且x→－∞時(shí)，f(x)→－∞，xf(x)→＋∞；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，所以xf(x)>0，且x→＋∞時(shí)，f(x)→0，xf(x)→0，故C符合題意；對(duì)于D，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，則f2(x)>0，所以xf2(x)<0，故D不符合題意.4.若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,ln（x＋a），x≥－1))的圖象如圖所示，則f(－3)＝()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(5,4)C.－1 D.－2答案C解析由圖象知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（a－1）＝0，,b－a＝3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝5，))∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5，x<－1，,ln（x＋2），x≥－1.))故f(－3)＝5－6＝－1.5.若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為()答案C解析要想由y＝f(x)的圖象得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，需要先作出y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象y＝－f(x)，然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確.6.(2024·煙臺(tái)模擬)若某函數(shù)在區(qū)間[－π，π]上的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是()A.y＝(x＋2)sin2x B.y＝eq\f(（4x2＋5x）sinx,|x|＋1)C.y＝eq\f(（x＋2）sinx,|x|＋1) D.y＝eq\f(x2＋2x,cosx＋2)答案B解析A中，設(shè)f(x)＝y(tǒng)＝(x＋2)sin2x，則當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，2x∈(π，2π)，則f(x)<0，不符合，排除A；C中，設(shè)f(x)＝y(tǒng)＝eq\f(（x＋2）sinx,|x|＋1)，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，f(x)＝eq\f(（x＋2）sinx,x＋1)，且2<x＋2<π＋2，0<sinx≤1，1<x＋1<π＋1，所以0<(x＋2)sinx<π＋2，所以f(x)＝eq\f(（x＋2）sinx,x＋1)<(x＋2)sinx<π＋2<6，不符合，排除C；D中，設(shè)f(x)＝y(tǒng)＝eq\f(x2＋2x,cosx＋2)，令f(x)＝0，解得x＝0或－2，不符合，排除D.故選B.7.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x≤2，,－x＋5，x>2，))若關(guān)于x的方程f(x)－m＝0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(0，1) B.[0，1)C.(1，3)∪{0} D.[1，3)∪{0}答案D解析因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(x)－m＝0恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)y＝f(x)與y＝m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，如圖所示，所以當(dāng)m∈[1，3)∪{0}時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與y＝m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，3)∪{0}.8.(多選)對(duì)于函數(shù)f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列說法正確的是()A.f(x＋2)是偶函數(shù)B.f(x＋2)是奇函數(shù)C.f(x)在區(qū)間(－∞，2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞增D.f(x)沒有最小值答案AC解析f(x＋2)＝lg(|x|＋1)為偶函數(shù)，A正確，B錯(cuò)誤.作出f(x)的圖象如圖所示，可知f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增；由圖象可知函數(shù)存在最小值0，C正確，D錯(cuò)誤.9.將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)為奇函數(shù)，則f(0)＋f(2)＝______.答案－2解析由函數(shù)f(x)的圖象先向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，可得g(x)＝f(x＋1)＋1，故f(x)＝g(x－1)－1，所以f(0)＋f(2)＝g(－1)－1＋g(1)－1＝－g(1)＋g(1)－2＝－2.10.函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1,x)的圖象與直線y＝kx＋1交于不同的兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＋y2＝________.答案2解析因?yàn)閒(x)＝eq\f(x＋1,x)＝eq\f(1,x)＋1，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱，而直線y＝kx＋1過(0，1)點(diǎn)，故兩圖象的交點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱，所以eq\f(y1＋y2,2)＝1，即y1＋y2＝2.11.設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對(duì)于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案[－1，＋∞)解析如圖，作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象，觀察圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)－a≤1，即a≥－1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞).12.(2022·浙江卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2，x≤1，,x＋\f(1,x)－1，x>1，