專題01概率統(tǒng)計(jì)之二項(xiàng)分布(原卷版)VIP

專題01概率統(tǒng)計(jì)之二項(xiàng)分布一、解答題1．電子科技公司研制無人機(jī)，每架無人機(jī)組裝后每周要進(jìn)行次試飛試驗(yàn)，共進(jìn)行次.每次試飛后，科研人員要檢驗(yàn)其有否不良表現(xiàn).若在這次試飛中，有不良表現(xiàn)不超過次，則該架無人機(jī)得分，否則得分.假設(shè)每架無人機(jī)次檢驗(yàn)中，每次是否有不良表現(xiàn)相互獨(dú)立，且每次有不良表現(xiàn)的概率均為.（1）求某架無人機(jī)在次試飛后有不良表現(xiàn)的次數(shù)的分布列和方差；（2）若參與試驗(yàn)的該型無人機(jī)有架，在次試飛試驗(yàn)中獲得的總分不低于分，即可認(rèn)為該型無人機(jī)通過安全認(rèn)證.現(xiàn)有架無人機(jī)參與試飛試驗(yàn)，求該型無人機(jī)通過安全認(rèn)證的概率是多少？2．某俱樂部的甲、乙兩名運(yùn)動員入圍某乒乓球個人賽的半決賽后，將分別與其他俱樂部的兩名運(yùn)動員進(jìn)行比賽，勝者可進(jìn)入決賽．已知半決賽采用五局三勝制，即首先獲勝三局的運(yùn)動員勝出假設(shè)甲、乙每局比賽獲勝的概率分別為，，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求該俱樂部提前鎖定冠軍的概率；（提前鎖定冠軍是指同一俱樂部的兩名運(yùn)動員均進(jìn)入決賽）；（2）在該俱樂部提前鎖定冠軍的條件下，記本次半決賽所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲?乙兩個游戲可供參加者選擇為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（1）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（2）求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；（3）用分別表示這4個人中去參加甲?乙游戲的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列.4．從2020年開始，學(xué)習(xí)強(qiáng)國平臺開展了兩項(xiàng)答題活動，一項(xiàng)為“爭上游答題”，另一項(xiàng)為“雙人對戰(zhàn)”.“爭上游答題”項(xiàng)目的規(guī)則如下：在一天內(nèi)參與“爭上游答題”活動，僅前兩局比賽有積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分，每局比賽相互獨(dú)立.“雙人對戰(zhàn)”項(xiàng)目的規(guī)則如下：在一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽有積分，獲勝得2分，失敗得1分，每局比賽相互獨(dú)立.已知甲參加“爭上游答題”活動，每局比賽獲勝的概率為；甲參加“雙人對戰(zhàn)”活動，每局比賽獲勝的概率為.（1）若甲連續(xù)4天參加“雙人對戰(zhàn)”活動，求甲這4天參加“雙人對戰(zhàn)”項(xiàng)目的總得分不低于6分的概率；（2）記甲某天參加兩項(xiàng)活動（其中“爭上游答題”項(xiàng)目參與兩局以上）的總得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.5．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以或取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；以取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分，已知甲、乙兩隊(duì)比賽，甲每局獲勝的概率為．（1）甲、乙兩隊(duì)比賽1場后，求甲隊(duì)的積分的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）甲、乙兩隊(duì)比賽2場后，求兩隊(duì)積分相等的概率．6．為普及傳染病防治知識，增強(qiáng)學(xué)生的疾病防范意識，提高自身保護(hù)能力，校委會在全校學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關(guān)知識有獎競賽（滿分100分），競賽獎勵規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其它學(xué)生不得獎．教務(wù)處為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布表．競賽成績?nèi)藬?shù)61218341686（1）從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的競賽成績，求這2名學(xué)生恰有一名學(xué)生獲獎的概率；（2）若該校所有參賽學(xué)生的成績近似地服從正態(tài)分布，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①若該校共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中超過79分的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生人數(shù)大于10000）隨機(jī)抽取4名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．7．新疆棉以絨長?品質(zhì)好?產(chǎn)量高著稱于世.現(xiàn)有兩類以新疆長絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價(jià)為120元/件，總量中有30%將按照原價(jià)200元/件的價(jià)格銷售給非會員顧客，有50%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會員顧客.B類服裝為全棉服飾，成本價(jià)為160元/件，總量中有20%將按照原價(jià)300元/件的價(jià)格銷售給非會員顧客，有40%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會員顧客.這兩類服裝剩余部分將會在換季促銷時(shí)按照原價(jià)6折的價(jià)格銷售給顧客，并能全部售完.（1）通過計(jì)算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價(jià)成本）；（2）某服裝專賣店店慶當(dāng)天，全場A，B兩類服裝均以會員價(jià)銷售.假設(shè)每位來店購買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購買，每位顧客限購1件，且購買了服裝的顧客中購買A類服裝的概率為.已知該店店慶當(dāng)天這兩類服裝共售出5件，設(shè)X為該店當(dāng)天所售服裝中B類服裝的件數(shù)，Y為當(dāng)天銷售這兩類服裝帶來的總收益.求當(dāng)時(shí)，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.8．2021年7月18日第30屆全國中學(xué)生生物學(xué)競賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行．為做好本次考試的評價(jià)工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，，，，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；（2）在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在，，，，，的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績在，的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績在，的為等級，成績在，的為等級，其它為等級．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，從所有參加生物學(xué)競賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取100人，其中獲得等級的人數(shù)設(shè)為，記等級的人數(shù)為的概率為，寫出的表達(dá)式，并求出當(dāng)為何值時(shí)，最大？9．高爾頓板是英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi)．如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過7次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2…，7的球槽內(nèi)．例如小球要掉入3號球槽，則在前6次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處，再以的概率向左滾下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處，再以的概率向右滾下．（1）若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入第7層第6個空隙處的概率；（2）小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎”活動，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入X號球槽得到的獎金為ξ元．其中ξ＝|20﹣5X|．①求X的分布列：②高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能盈利嗎？10．某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會通過隨機(jī)抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：組別男235151812女051010713（1）若將問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”．請完成答題卡中的列聯(lián)表．根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？（2）若將問卷得分不低于80分的市民稱為“環(huán)保達(dá)人”，從我市所有“環(huán)保達(dá)人”中隨機(jī)抽取5人，這5人中男性的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：0.100.050.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828．11．一機(jī)床生產(chǎn)了個汽車零件，其中有個一等品、個合格品、個次品，從中隨機(jī)地抽出個零件作為樣本.用表示樣本中一等品的個數(shù).（1）若有放回地抽取，求的分布列；（2）若不放回地抽取，用樣本中一等品的比例去估計(jì)總體中一等品的比例.①求誤差不超過的的值；②求誤差不超過的概率（結(jié)果不用計(jì)算，用式子表示即可）12．很多新手拿到駕駛證后開車上路，如果不遵守交通規(guī)則，將會面臨扣分的處罰，為讓廣大新手了解駕駛證扣分新規(guī)定，某市交警部門結(jié)合機(jī)動車駕駛?cè)擞羞`法行為一次記12分?6分?3分?2分的新規(guī)定設(shè)置了一份試卷（滿分100分），發(fā)放給新手解答，從中隨機(jī)抽取了12名新手的成績，成績以莖葉圖表示如圖所示，并規(guī)定成績低于95分的為不合格，需要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，成績不低于95分的為合格.（1）求這12名新手的平均成績與方差；（2）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，若從該市新手中任選4名參加座談會，用X表示成績合格的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.13．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得分）．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立．（1）若第一次擊鼓出現(xiàn)音樂，求該盤游戲獲得分的概率；（2）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列；（3）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率為多少？14．加強(qiáng)兒童青少年近視防控，促進(jìn)兒童青少年視力健康是中央關(guān)心、群眾關(guān)切、社會關(guān)注的“光明工程”．為了解青少年的視力與學(xué)習(xí)成績間的關(guān)系，對某地區(qū)今年初中畢業(yè)生的視力和中考成績進(jìn)行調(diào)查．借助視力表測量視力情況，測量值5.0及以上為正常視力，5.0以下為近視．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的視力測量值和中考成績數(shù)據(jù)，得到視力的頻率分布直方圖如圖：其中，近視的學(xué)生中成績優(yōu)秀與成績一般的人數(shù)比例為，成績一般的學(xué)生中視力正常與近視的人數(shù)比例為．（1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為視力情況與學(xué)習(xí)成績有關(guān)；學(xué)習(xí)成績視力情況視力正常近視合計(jì)成績優(yōu)秀成績一般合計(jì)（2）將頻率視為概率，從該地區(qū)今年初中畢業(yè)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)近視的學(xué)生數(shù)為，求的分布列與期望．附：，其中．0.1000.0500.0102.7063.8416.63515．某醫(yī)院為篩查某病毒，需要檢驗(yàn)血液是不是陽性，現(xiàn)有份血液樣本，為了優(yōu)化檢驗(yàn)方法，現(xiàn)在做了以下兩種檢驗(yàn)方式：實(shí)驗(yàn)一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次.實(shí)驗(yàn)二：混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份血液樣本全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液樣本究竟哪幾份為陽性，就要對這份血液樣本再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液樣本的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記釆用逐份檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的這份樣本的總次數(shù)為，釆用混合檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的這份樣本的總次數(shù)為.（1）若每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽性的概率為，以該樣本的陽性概率估計(jì)全市的血液陽性概率，從全市人民中隨機(jī)抽取3名市民，（血液不混合）記抽取到的這3名市民血液成陽性的市民個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（2）若每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽性的概率為，為使混合檢驗(yàn)需要的檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少，求的最大值.（，，）16．青年大學(xué)習(xí)是共青團(tuán)中央組織的青年學(xué)習(xí)行動，共青團(tuán)中央用習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會主義思想武裝全團(tuán)?教育青年，把深入學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的十九大精神作為首要政治任務(wù)和核心業(yè)務(wù)，在全團(tuán)部署實(shí)施“青年大學(xué)習(xí)”行動.某區(qū)為調(diào)在學(xué)生學(xué)習(xí)情況，對全區(qū)高中進(jìn)行抽樣調(diào)查，調(diào)查最近一周的周得分情況.如下莖葉圖是抽查的A校和B校各30人得到的這周得分情況：根據(jù)成績分為如下等級：成績(單位：分)等級不合格合格良好優(yōu)秀（1）根據(jù)莖葉圖判斷A校和B校中的哪個學(xué)校完成學(xué)習(xí)的效果更好，并說明理由(不要求計(jì)算)；（2）現(xiàn)要從A校被抽查的成績等級合格和不合格的8名同學(xué)中任選4人進(jìn)行座談，記其中所含不合格人數(shù)，求的分布列和期望；（3）若將所統(tǒng)計(jì)的這60人的頻率作為概率，在全區(qū)的高中學(xué)生中任意抽取4人參加知識競賽，記其中所含成績優(yōu)秀人數(shù)，求的分布列?期望和方差.17．2020新年伊始爆發(fā)的新冠疫情讓廣大民眾意識到健康的重要性，云南省全面開展愛國衛(wèi)生7個專項(xiàng)行動及健康文明生活的6條新風(fēng)尚行動，其中“科學(xué)健身”鼓勵公眾每天進(jìn)行60分鐘的體育鍛煉．某社區(qū)從居民中隨機(jī)抽取了若干名，統(tǒng)計(jì)他們的平均每天鍛煉時(shí)間（單位：分鐘/天），得到的數(shù)據(jù)如下表：（所有數(shù)據(jù)均在0~120分鐘/天之間）平均鍛煉時(shí)間人數(shù)2739ab4515頻率0.090.130.38c0.150.05（1）求，，的值；（2）為了鼓勵居民進(jìn)行體育鍛煉，該社區(qū)決定對運(yùn)動時(shí)間不低于分鐘的居民進(jìn)行獎勵，為使30%的人得到獎勵，試估計(jì)的取值？（3）在第（2）問的條件下，以頻率作為概率，在該社區(qū)得到獎勵的人中隨機(jī)抽取4人，設(shè)這4人中日均鍛煉時(shí)間不低于80分鐘的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．某高中隨機(jī)抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需的時(shí)間(單位:分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為（1）求直方圖中的值；（2）如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請?jiān)趯W(xué)校住宿，若招生1200名，請估計(jì)新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿；（3）從學(xué)校的高一學(xué)生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)路上所需時(shí)間少于40分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率)19．某同學(xué)參加籃球投籃測試，罰球位上定位投中的概率為，三步籃投中的概率為，測試時(shí)罰球位上投籃投中得2分，三步籃投中得1分，不中得0分，每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立，該同學(xué)罰球位上定位投籃1次，三步上籃2次.（1）求“該同學(xué)罰球位定位投籃投中且三步籃投中1次”的概率；（2）求該同學(xué)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱為潛伏期．一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期/天人數(shù)85205310250130155（1）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)；潛伏期天潛伏期天總計(jì)50歲以上（含50歲）6510050歲以下總計(jì)200（2）以這1000名患者的潛伏期不超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期不超過6天發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨(dú)立，為了深入研究，該研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)的3名患者，設(shè)該3名患者中潛伏期不超過6天的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.050.0250.0103.8415.0246.635，其中．21．為了提高學(xué)生身體素質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生廣泛發(fā)展其體育愛好，某大學(xué)每年會舉辦一次盛大的羽毛球比賽，其賽制如下：采用七局四勝制，比賽過程中