第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)（知識通關詳解）-高一數(shù)學分層訓練AB卷（人教A版2019）（原卷版）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)專題詳解函數(shù)的概念構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域注意：（1）構成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）.（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關.相同函數(shù)的判斷方法：①定義域一致；②表達式相同(兩點必須同時具備)考點一：定義域的求法一．已知函數(shù)解析式型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域需要從這幾個方面入手：（1）分母不為零（2）偶次根式的被開方數(shù)非負.（3）對數(shù)中的真數(shù)部分大于0.（4）指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等.(6)中x例1：求下列函數(shù)的定義域二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒有給出解析式的函數(shù)，不能用常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個抽象函數(shù)的定義域求另一個抽象函數(shù)的定義域，一般有兩種情況.舉一反三已知函數(shù)f(x)的定義域是[1，4]，求函數(shù)f(2x+1)的定義域.舉一反三復合函數(shù)定義域綜合求解舉一反三三、逆向思維型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍.特別是對于已知定義域為,求參數(shù)的范圍問題通常是轉化為恒成立問題來解決.舉一反三考點二：求函數(shù)值域二、值域是函數(shù)y=f(x)中y的取值范圍.常用的求值域的方法：（1）直接法（2）圖象法（數(shù)形結合）（3）函數(shù)單調(diào)性法（4）配方法（5）換元法（包括三角換元）（6）反函數(shù)法（逆求法）（7）分離常數(shù)法（8）判別式法（9）復合函數(shù)法（10）不等式法（11）平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學的始終.1.利用常見函數(shù)的值域來求（直接法）一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；例2求下列函數(shù)的值域2.二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)：例3求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：單調(diào)性法換元法5．平方法6．分離常數(shù)法7，數(shù)型結合法（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù);（2）在所給的坐標系中畫出該函數(shù)的圖像,并根據(jù)圖像直接寫出該函數(shù)的定義域、值域(不要求寫作圖及解答過程)10，反解法11、判別式法12.復合函數(shù)法二、函數(shù)的三種表示法是：解析法；圖象法；列表法.eq\o\ac(○,1)函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；eq\o\ac(○,2)解析法：必須注明函數(shù)的定義域；eq\o\ac(○,3)圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；eq\o\ac(○,4)列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．注意啊：解析法：便于算出函數(shù)值.列表法：便于查出函數(shù)值.圖象法：便于量出函數(shù)值一：分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù).在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應的表達式.分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集舉一反三題型二：圖像法舉一反三1．（多選）下列選項中所給圖象是函數(shù)圖象的為（）A．B．C． D．2（多選）．已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲車、乙車的速度曲線分別為V甲和V乙(如圖所示).那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是（）A．在t1時刻，甲車的速度大于乙車的速度B．t0時刻后，甲車的速度小于乙車的速度C．在t0時刻，兩車的位置相同D．在t0時刻，甲車在乙車前面題型三：列表法例3：1．下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）xy101舉一反三001四：求解析式湊配法2.換元法3.待定系數(shù)法方程組法例7：已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x).5.賦值法A．4 B．12 C．16 D．36四．函數(shù)的單調(diào)性1、定義：注意：函數(shù)單調(diào)性定義中的x1,x2有三個特征,一是任意性，二是有大小，三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間．2、鞏固概念：定義的另一種表示方法強調(diào)幾點：①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性．②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．③單調(diào)性是對定義域的某個區(qū)間上的整體性質(zhì)，不能用特殊值說明問題.熟記以下結論，可迅速判斷函數(shù)的單調(diào)性．1．函數(shù)y＝－f（x）與函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性相反．3．在公共區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)等3．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法（1）定義法．（2）直接法．運用已知的結論，直接得到函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性均可直接說出．圖象法．5.單調(diào)性性質(zhì)：①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；②減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；③增函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù)；④減函數(shù)增函數(shù)=減函數(shù)；注：上述結果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數(shù)定義域的交集.6.復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)小結：同增異減.研究函數(shù)的單調(diào)性，定義域優(yōu)先考慮.且復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是它的定義域的某個子區(qū)間.題型一：定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減題型三：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)題型四：根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性題型五：復合函數(shù)的單調(diào)性題型六：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式題型七：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小題型8：根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性題型九：單調(diào)性綜合應用例9：1．（2021·全國·高考真題（文））下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）五.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義（4）非奇非偶函數(shù)：無奇偶性的函數(shù)是非奇非偶函數(shù).2．奇(偶)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)對稱性：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于軸對稱．(2)單調(diào)性：奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．3.判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）圖像法（2）定義法eq\o\ac(○,1)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關系；eq\o\ac(○,3)作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．題型一判斷函數(shù)的奇偶性例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：題型二利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值A． B． C． D．舉一反三A． B． C． D．題型三利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式舉一反三類型四：根據(jù)奇偶性求參數(shù)A．1 B．0 C．1 D．舉一反三類型五：利用奇偶性求范圍問題A． B． C． D．六、函數(shù)的周期性幾種特殊的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：類型一：判斷周期函數(shù)類型二：周期性求值求值A．－8 B．－4 C．12 D．20類型三：周期性求函數(shù)解析式A． B． C． D．類型三：周期+奇偶性七．函數(shù)對稱性（異號對稱）題型一：對稱性的判定題型二：由函數(shù)對稱性求函數(shù)值A．3 B．4 C． D．題型三：由周期性與對稱性求函數(shù)解析式A． B．題型四：由周期性與對稱性比較大小題型五函數(shù)性質(zhì)的綜合應用A．1010 B．1011 C．1012 D．1013奇偶性周期性及對稱性綜合應用A． B． C．0 D．1八．冪函數(shù)1.概念：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2．冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增x∈[0，＋∞)時，增；x∈(－∞，0]時，減增增x∈(0，＋∞)時，減；x∈(－∞，0)時，減3.冪值的大小比較（1）直接法:當冪指數(shù)相同時,可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比較.（2）轉化法:當冪指數(shù)不同時,可以先轉化為相同冪指數(shù),再運用單調(diào)性比較大小.（3）中間值法:當?shù)讛?shù)不同且冪指數(shù)也不同而不能運用單調(diào)性比較大小時,可選取適當?shù)闹虚g值與兩數(shù)分別比較,從而達到比較大小的目的.4.冪函數(shù)性質(zhì)的應用利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式,實際上就是利用冪函數(shù)的單調(diào)性,將不等式的大小關系轉化為自變量的大小關系,解不等式(組)求參數(shù)范圍時,注意分類討論思想的應用.題型一：冪函數(shù)的定義A．0 B．2 C．4 D．5題型二：冪函數(shù)的定義域例2：（