中考二輪復習高頻考點突破考點2；方程與方程組

考點二方程與方程組——中考二輪復習高頻考點突破考點分析考點考點形式考試頻率一次方程（組）及其解法一元一次方程的解法☆二元一次方程組的解法☆☆一次方程（組）的含參問題☆☆一次方程（組）的實際應用一元一次方程的實際應用☆☆二元一次方程組的實際應用☆☆☆一元二次方程及其解法解一元二次方程☆☆根的判別式、根與系數(shù)的關系一元二次方程根的判別式☆☆☆一元二次方程根與系數(shù)的關系☆☆一元二次方程的實際應用一元二次方程的應用☆☆☆分式方程及其解法解分式方程☆☆☆分式方程的含參問題☆☆分式方程的實際應用分式方程的實際應用☆☆☆基礎知識考點一一次方程（組）1.等式的基本性質基本性質如果，那么；如果，那么如果，那么對稱性如果，那么傳遞性如果，那么2.一元一次方程的解法變形名稱具體做法注意事項去分母在方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù).當分母是小數(shù)時，要利用分數(shù)的基本性質把小數(shù)化為整數(shù)（1）不要漏乘不含分母的項（2）分子是一個多項式，去分母后加上括號去括號一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號不要漏乘括號里面的項，不要弄錯符號移項把含有未知數(shù)的項和常數(shù)項分別移至等號的兩側移項要變號，不移項不要變號合并同類項把方程化為（其中）的形式（1）系數(shù)相加（2）字母及指數(shù)不變系數(shù)化為1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解為（1）除數(shù)不為0（2）不要把分子分母顛倒3.二元一次方程（組）的概念及其解法二元一次方程的概念含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程，一般形式為二元一次方程組的概念由兩個二元一次方程組成的含有兩個未知數(shù)的方程組，一般形式為二元一次方程組的解法（基本思路是消元）代入消元法：適用于有一個方程中含某個未知數(shù)的系數(shù)為1或的情況加減消元法：在方程兩邊同乘以一個數(shù)，將兩個方程中通一個未知數(shù)的系數(shù)變?yōu)橄嗤臄?shù)（或互為相反數(shù)），再將方程兩邊分別相減（或相加）圖像法：畫出組成方程組的兩個二元一次方程對應的一次函數(shù)的圖象，兩個一次函數(shù)圖像的焦點的坐標即為方程組的解4.三元一次方程組的概念及其解法（1）由三個方程組成，含有三個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程組叫做三元一次方程組.（2）三元一次方程組的解題思路：三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程.考點二一元二次方程1.一元二次方程的概念一元二次方程：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.它的一般形式是.2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法解一元二次方程直接開平方法：利用平方根的意義直接開平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.方程的根：（i）當時，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個不相等的實數(shù)根（ii）當時，方程有兩個相等的實數(shù)根（iii）當時，因為對任意實數(shù)x，都有，所以方程無實數(shù)根.（2）配方法解一元二次方程配方法：（i）把含未知數(shù)的項移到等號的左邊，常數(shù)項移到等號右邊，變?yōu)榈男问?；（ii）把二次項系數(shù)化為1，變?yōu)榈男问?；（iii）等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，等號左邊寫成完全平方式，變?yōu)椋唬╥v）用直接開平方法解方程.可化為的形式的一元二次方程的根：（1）當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當時，因為對任意實數(shù)x，都有，所以方程無實數(shù)根.（3）公式法解一元二次方程（i）把方程變?yōu)闃藴市问?；（ii）求出的值，判斷的符號；（iii）當時，，；當時，；當時，一元二次方程沒有實數(shù)根.【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它適用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法.（4）因式分解法解一元二次方程因式分解法：（1）移項：將方程化為一般式；（2）分解：將方程的左邊分解為兩個一次式的乘積；（3）轉化：令每個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）求解：解這兩個一元一次方程，它們的解就是醫(yī)院二次方程的解.【注意】不能隨意在方程兩邊約去含未知數(shù)的代數(shù)式.如，若約去x，則會導致丟掉這個根.3.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母“”表示它，即.一元二次方程根的情況判斷方程的根的情況有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根無實數(shù)根上面結論反過來也成立，即當一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根時，；當一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根時，；當一元二次方程沒有實數(shù)根時，.4.一元二次方程根與系數(shù)的關系若的兩個根為，則，【拓展】與一元二次方程的兩個根有關的幾個代數(shù)式的變形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.考點三分式方程1.分式方程的概念及其解法分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程解分式方程的一般步驟：（1）適當變形，通常是對分母分解因式，找到最簡公分母；（2）將方程的兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程；（3）解這個整式方程；（4）驗根，把整式方程的根代入最簡公分母，如果不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.（我們稱之為增根）考點突破1.已知是方程的一組解,則m的值是()A.4 B.3 C.2 D.12.分式方程的解為()A. B. C. D.3.關于一元二次方程根的情況,下列說法正確的是()A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根 D.無實數(shù)根4.下列變形中,不正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則5.中國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了這樣一個題目：今有共買琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.問人數(shù)、琎價各幾何.其大意是：今有人合伙買琎石，每人出錢，會多出4錢；每人出錢，又差了3錢.問人數(shù)、琎價各是多少.設人數(shù)為x，琎價為y，則可列方程組為()A. B. C. D.6.已知二元一次方程組,則的值是()A.35 B.36 C.15 D.167.以方程組的解為坐標的點到y(tǒng)軸的距離是()A.1.5 B.2 C.2.5 D.48.2021年“房住不炒”第三次出現(xiàn)在政府報告中,明確了要穩(wěn)地價、穩(wěn)房價、穩(wěn)預期.為響應中央“房住不炒”的基本政策,某房企連續(xù)降價兩次后的平均價格比降價之前減少了19%,則平均每次降價的百分率為()A.9.5% B.10% C.10.5% D.11%9.甲、乙兩人完成一項工作，甲先做了3天，然后乙加入，合作完成剩下的工作.設工作總量為1，工作進度如下表，則完成這項工作共需()天數(shù)第3天第5天工作進度A.9天 B.10天 C.11天 D.12天10.關于x的方程,有兩個不相等的實數(shù)根,,且,那么實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.11.方程的解為______.12.《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，是《算經十書》中最重要的一部，書中第八章內容“方程”里記載了一個有趣的追及問題，可理解為：速度快的人每分鐘走米，速度慢的人每分鐘走米，現(xiàn)在速度慢的人先走米，速度快的人去追他.問速度快的人追上他需要__________分鐘.13.分式方程無解，則a的值為_________.14.如圖,有一張長,寬的矩形紙板,將紙板四個角各剪去一個邊長為的正方形,然后將四周突出部分折起,可制成一個無蓋長方體紙盒,要使制成紙盒的底面積是原來矩形紙板面積的,則x的值為______.15.如圖所示，中，，，，點從點開始沿向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動.如果、分別從、同時出發(fā)，那么______秒后，線段將分成面積1：2的兩部分.16.解下列方程(組)：(1) (2)17.小組捆綁式評價是一種通過將學生分成若干小組,并對小組整體表現(xiàn)進行評價和獎勵的方法,旨在通過集體榮譽感激發(fā)學生的學習積極性和合作精神.某班數(shù)學課上采用小組積分制記錄同學們參與課堂活動的情況.下表是某堂課上記錄的兩個組得分情況,其中回答問題一次加2分：第一組第二組回答問題次數(shù)12參與課堂展示次數(shù)75有效質疑次數(shù)23最終分數(shù)3537請問數(shù)學課上參與一次課堂展示或進行一次有效質疑各加多少分？18.隨著人們環(huán)保意識的提高和技術的飛速發(fā)展,新能源汽車已成為汽車市場的一股不可忽視的力量.為加快公共領域充電基礎設施建設,某停車場計劃購買甲、乙兩種型號的充電樁；已知甲型充電樁比乙型充電樁的單價多0.2萬元,用16萬元購買甲型充電樁與用12萬元購買乙型充電樁的數(shù)量相等.求甲、乙兩種型號充電樁的單價各是多少？19.“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關注度越來越高，某市參加健身運動的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人.（1）求該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率.（2）為支持市民的健身運動，市政府決定從A公司購買某種套裝健身器材.該公司規(guī)定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元，但最低售價不得少于1000元.已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數(shù).20.閱讀材料：如果一元二次方程的兩根分別是,,那么,.借助該材料完成下列各題：(1)若,是方程的兩個實數(shù)根,則______,______.(2)若,是方程的兩個實數(shù)根,且,求m的值.

答案以及解析1.答案：B解析：∵是方程的一個解,∴,解得,故選：B.2.答案：C解析：去分母得：,解得：.經檢驗,是原分式方程的解.故選：C.3.答案：B解析：一元二次方程中的,,,則這個方程的根的判別式為,所以這個方程有兩個不相等的實數(shù)根,故選：B.4.答案：A解析：A、當時,與無意義,故A選項錯誤.B、若,則,正確；C、若,則,正確；D、若,則,正確；故選：A.5.答案：B解析：設人數(shù)為x，琎價為y，根據(jù)每人出錢，會多出4錢可得出，每人出錢，又差了3錢.可得出，則方程組為：，故選：B.6.答案：B解析：已知二元一次方程組,則,即,那么,故選:B.7.答案：A解析：解方程組得所以點的坐標為，所以點到y(tǒng)軸的距離是.故選A.8.答案：B解析：設平均每次降價的百分率為x,依題意得：,解得：,(不合題意,舍去).故選：B.9.答案：A解析：從題表中可見甲做3天完成，所以每天完成，所以甲做5天完成的工作量為，乙做2天完成的工作量為，所以乙每天完成的工作量為.設完成這項工作共需要x天，則甲做了x天，乙做了天.依題意，得，解得.10.答案：B解析:方程有兩個不相等的實數(shù)根,,解得:,,,又,,,則:,,即:,解得:,綜上,a的取值范圍為:.故選:B.11.答案：或解析：解得,.故答案為：或.12.答案：解析：根據(jù)題意，設t分鐘追上，，解得，，速度快的人追上速度慢的人需要分鐘，故答案為：.13.答案：2或3解析：去分母得：，，(1)當時，，此時方程無解，滿足題意；(2)當時，，將代入時，解得.綜上所述：或3.故答案為：2或3.14.答案：5解析：由題意可知,無蓋紙盒的長為,寬為,∴,整理得,解得,(不合題意,舍去),故x的值為5.故答案為：5.15.答案：2或4解析：根據(jù)題意，知，.線段將分成面積1：2的兩部分，則根據(jù)三角形的面積公式，得，整理得：.解得，即線段將分成面積1：2的兩部分，運動時間為2或4秒.故答案為：2或4.16.答案：(1)(2)解析：(1),,得,∴,把代入①,得,∴,∴；(2),兩邊都乘以,得,解得,檢驗：當時,,∴是分式方程的解.17.答案：參與一次課堂展示加3分,進行一次有效質疑加6分解析：設參與一次課堂展示加分為x分,進行一次有效質疑加分為y分,由題意可得：,解得：,答：參與一次課堂展示加3分,進行一次有效質疑加6分.18.答案：甲型充電樁的單價為0.8萬元,乙型充電樁的單價為0.6萬元解析：設乙型充電樁的單價是x萬元,則甲型充電樁的單價是萬元,由題意得,,解得,經檢驗,是原方程的解,且符合題意,甲型的單價：(萬元),答：甲型充電樁的單價為0.8萬元,乙型充電樁的單價為0.6萬元.19.答案：