高三二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（文）（人教版）階段提升突破練（四）

階段提升突破練(四)(立體幾何)(60分鐘100分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則()A.m∥l B.m∥nC.n⊥l D.m⊥n【解題導(dǎo)引】根據(jù)線、面垂直的定義判斷.【解析】選C.由題意知,α∩β=l,所以l?β,因?yàn)閚⊥β,所以n⊥l.2.(2017·長(zhǎng)沙二模)如圖是一個(gè)四面體的三視圖,這個(gè)三視圖均是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,正視圖和俯視圖中的虛線是三角形的中線,則該四面體的體積為()A.23 B.43 C.83【解析】選A.由四面體的三視圖得該四面體為棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1BDE,其中點(diǎn)E是CD中點(diǎn),△BDE面積S=12×1三棱錐C1BDE的高h(yuǎn)=CC1=2,所以該四面體的體積:V=13Sh=23.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為()A.10 B.12C.14 D.16【解題導(dǎo)引】主要考查如何將三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體問(wèn)題,突出考查考生的空間想象能力.【解析】選B.由三視圖可畫出立體圖,該立體圖各面中只有兩個(gè)相同的梯形的面,S梯=2+4×2÷2=6,S全梯=6×【加固練習(xí)】(2017·黃岡二模)某一簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的外接球的表面積是()A.13π B.16π C.25π D.27π【解析】選C.幾何體為底面為正方形的長(zhǎng)方體,底面對(duì)角線為4,高為3,所以長(zhǎng)方體底面邊長(zhǎng)為22,則長(zhǎng)方體外接球半徑為r,則2r=(22)所以長(zhǎng)方體外接球的表面積S=4πr2=25π.4.(2017·合肥二模)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐與平面α平行的棱有()A.0條 B.1條C.2條 D.1條或2條【解析】選C.如圖所示,四邊形EFGH為平行四邊形,則EF∥GH,因?yàn)镋F?平面BCD,GH?平面BCD,所以EF∥平面BCD,因?yàn)镋F?平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,所以EF∥CD,所以CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH.5.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分別為AA1,AB,BB1,B1CA.45° B.60° C.90° D.120°【解析】選B.如圖,取A1B1的中點(diǎn)M,連接GM,HM.由題意易知EF∥GM,且△GMH為正三角形.所以異面直線EF與GH所成的角即為GM與GH的夾角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM=60°.6.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)在正方體ABCDA1B1C1D1A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC【解析】選C.根據(jù)三垂線逆定理,平面內(nèi)的線垂直過(guò)平面的斜線,那也垂直于斜線所在平面內(nèi)的射影.A.若A1E⊥DC1,那么D1E⊥DC1,顯然不成立;B.若A1E⊥BD,那么BD⊥AE,顯然不成立;C.若A1E⊥BC1,那么BC1⊥B1C成立,反過(guò)來(lái)BC1⊥B1C,也能推出A1E⊥BCD.若A1E⊥AC,那么AE⊥AC,顯然不成立.7.(2017·洛陽(yáng)二模)一個(gè)透明密閉的正方體容器中,恰好盛有該容器一半容積的水,任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體,則水面在容器中的形狀可以是:(1)三角形;(2)四邊形;(3)五邊形;(4)六邊形.其中正確的結(jié)論是()A.(1)(3) B.(2)(4)C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)【解析】選B.正方體容器中盛有一半容積的水,無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),其水面總是過(guò)正方體的中心.三角形截面不過(guò)正方體的中心,故(1)不正確;過(guò)正方體的一對(duì)棱和中心可作一截面,截面形狀為長(zhǎng)方形,故(2)正確;正方體容器中盛有一半容積的水,任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體,則水面在容器中的形狀不可能是五邊形,故(3)不正確;過(guò)正方體一面上相鄰兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心得截面形狀為正六邊形,故(4)正確.8.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,將△ACD沿AC折起,使得D折起的位置為D1,且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上,在四面體D1ABC的四個(gè)面中,其中有n對(duì)平面相互垂直,則n等于()導(dǎo)學(xué)號(hào)46854221A.2 B.3 C.4 【解析】選B.設(shè)D1在平面ABC的射影為E,連接D1E,則D1E⊥平面ABC,因?yàn)镈1E?平面ABD1,所以平面ABD1⊥平面ABC.因?yàn)镈1E⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以D1E⊥BC,又因?yàn)锳B⊥BC,D1E∩AB=E,所以BC⊥平面ABD1,又因?yàn)锽C?平面BCD1,所以平面BCD1⊥平面ABD1,因?yàn)锽C⊥平面ABD1,AD1?平面ABD1,所以BC⊥AD1,又因?yàn)镃D1⊥AD1,BC∩CD1=C,所以AD1⊥平面BCD1,又因?yàn)锳D1?平面ACD1,所以平面ACD1⊥平面BCD1.所以共有3對(duì)平面互相垂直.二、填空題(每小題5分,共20分)9.(2017·山東高考)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)14圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為_(kāi)_______【解析】由三視圖可知長(zhǎng)方體的體積為V1=2×1×1=2,兩個(gè)四分之一圓柱的體積之和為V2=14×π×12×1×2=π2,所以該幾何體的體積為V=2+π答案:2+π【加固訓(xùn)練】(2017·大慶二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為_(kāi)_______.【解析】由三視圖可知:該幾何體為三棱錐PABC,其中底面是底邊與底邊上的高都為2的等腰三角形△ABC,側(cè)面PAC⊥底面ABC,高為2.所以這個(gè)幾何體的體積V=13×12×22×2=答案:410.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐SABC的體積為9,則球O的表面積為_(kāi)_______.【解析】取SC的中點(diǎn)O,連接OA,OB,因?yàn)镾A=AC,SB=BC,所以O(shè)A⊥SC,OB⊥SC.因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面SBC,所以O(shè)A⊥平面SBC.設(shè)OA=rVASBC=13×S△SBC×OA=13×12×2r×r×r=1所以13r3=9?所以球的表面積為4πr2=36π.答案:36π11.(2017·本溪二模)已知a,b表示兩條不同直線,α,β,γ表示三個(gè)不同平面,給出下列命題:①若α∩β=a,b?α,a⊥b,則α⊥β;②若a?α,a垂直于β內(nèi)的任意一條直線,則α⊥β;③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,則a⊥b;④若a不垂直于平面α,則a不可能垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線;⑤若a⊥α,a⊥β,則α∥β.上述五個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是________.【解析】對(duì)于①,根據(jù)線面垂直的判定定理,需要一條直線垂直于同一平面內(nèi)兩條相交的直線,故a⊥b,a不一定垂直平面β,故不正確,對(duì)于②,a?α,a垂直于β內(nèi)的任意一條直線,滿足線面垂直的定理,即可得到a⊥β,又a?α,則α⊥β,故正確,對(duì)于③,α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,則a⊥b或a∥b,或相交,故不正確,對(duì)于④,若a不垂直于平面α,則a可能垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,故不正確,對(duì)于⑤,根據(jù)線面垂直的性質(zhì),若a⊥α,a⊥β,則α∥β,故正確.答案:②⑤12.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,B1C和C1D與底面A1B1C1D1所成的角分別為45°和60°,則異面直線B1C和C導(dǎo)學(xué)號(hào)46854222【解析】設(shè)B1B=a,因?yàn)锽1C和C1D與底面A1B1C1D1所成的角分別為45°和60所以BC=a,DC=33所以A1D=2a,DC1=233a,A1C1由余弦定理得:cos∠C1DA1=A1D2答案:6三、解答題(每小題10分,共40分)13.(2017·江蘇高考)如圖,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.導(dǎo)學(xué)號(hào)46854223求證:(1)EF∥平面ABC.(2)AD⊥AC.【解題導(dǎo)引】(1)利用AB∥EF及線面平行判定定理可得結(jié)論.(2)利用面面垂直的性質(zhì)得BC⊥AD,又AB⊥AD,從而得到AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.【證明】(1)在平面ABD內(nèi),因?yàn)锳B⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因?yàn)镋F?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC?平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因?yàn)锳D?平面ABD,所以BC⊥AD.又因?yàn)锳B⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因?yàn)锳C?平面ABC,所以AD⊥AC.14.如圖,在三棱錐PABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.導(dǎo)學(xué)號(hào)46854224求證:(1)直線PA∥平面DEF.(2)平面BDE⊥平面ABC.【證明】(1)在△PAC中,D,E分別為PC,AC的中點(diǎn),則PA∥DE,PA?平面DEF,DE?平面DEF,因此PA∥平面DEF.(2)在△DEF中,DE=12PA=3,EF=1所以DF2=DE2+EF2,所以DE⊥EF,又因?yàn)镻A⊥AC,所以DE⊥AC.因?yàn)镋F∩AC=E,所以DE⊥平面ABC,所以平面BDE⊥平面ABC.【加固訓(xùn)練】1.如圖,在三棱錐SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.過(guò)點(diǎn)A作AF⊥SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).求證:(1)平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.【證明】(1)因?yàn)锳S=AB,AF⊥SB,垂足為F,所以點(diǎn)F是SB的中點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)E是SA的中點(diǎn),所以EF∥AB.因?yàn)镋F?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又因?yàn)镋F∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC,且交線為SB,又因?yàn)锳F?平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因?yàn)锽C?平面SBC,所以AF⊥BC.又因?yàn)锳B⊥BC,AF∩AB=A,AF?平面SAB,AB?平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因?yàn)镾A?平面SAB,所以BC⊥SA.2.如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),求證:(1)MN∥平面PAD.(2)平面PMC⊥平面PDC.【證明】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=AD=a,AB=b.(1)易知AB→為平面PAD的一個(gè)法向量,又因?yàn)镸N→=所以AB→·MN→=0,所以又因?yàn)镸N?平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)知P(0,0,a),C(b,a,0),Mb2所以PC→=(b,a,a),PM→=設(shè)平面PMC的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),由QUOTEn1·PC→=0,n1所以x令z1=b,則n1=(2a,b,b),設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),則QUOTEn2·PC→=0,n2解得x令z2=1,則n2=(0,1,1),由于n1·n2=0b+b=0,所以n1⊥n2,所以平面PMC⊥平面PDC.15.如圖,在四棱錐PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.導(dǎo)學(xué)號(hào)46854225(1)求證:DC⊥平面PAC.(2)求證:平面PAB⊥平面PAC.【解題指南】(1)證明DC⊥PC,又因?yàn)镈C⊥AC,從而DC⊥平面PAC.(2)只需證明AB⊥平面PAC.【證明】(1)因?yàn)镻C⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,所以PC⊥DC.又因?yàn)镈C⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC,所以DC⊥平面PAC.(2)因?yàn)锳B∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又因?yàn)锳B?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.16.如圖①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn),將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置,得到四棱錐A導(dǎo)學(xué)號(hào)46854226(1)證明:CD⊥平面A1OC.(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí),四棱錐A1BCDE的體積為362,求a的值.【解析】(1)在