2025上海高考真題數(shù)學（教師版）

第1頁/共1頁2025上海高考真題數(shù)學（考試時間120分鐘，滿分150分）一、填空題（本大題共12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，共54分.考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果）1.已知全集，集合，則_________．2.不等式的解集為_________．3.己知等差數(shù)列的首項，公差，則該數(shù)列的前6項和為_________．4.在二項式的展開式中，的系數(shù)為_________．5.函數(shù)在上的值域為_________．6.已知隨機變量X的分布為，則期望_________．7.如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為_________．8.設，則的最小值為_________．9.4個家長和2個兒童去爬山，6個人需要排成一條隊列，要求隊列的頭和尾均是家長，則不同的排列個數(shù)有_________種．10.已知復數(shù)z滿足，則的最小值是_________．11.小申同學觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有兩根長為1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點分別為A、B，它們在陽光的照射下呈現(xiàn)出影子，陽光可視為平行光：其中一根桿子的影子在水平面上，長度為0.4米；另一根桿子的影子完全在斜面上，長度為0.45米．則斜面的底角_________．（結果用角度制表示，精確到）12.已知，是平面內三個不同的單位向量．若，則可的取值范圍是_______．二、選擇題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分.每題有且僅有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.）13.己知事件A、B相互獨立，事件A發(fā)生的概率為，事件B發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.014.設．下列各項中，能推出的一項是（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且15.已知，C在上，則的面積（）A.有最大值，但沒有最小值 B.沒有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值 D.既沒有最大值，也沒有最小值16.已知數(shù)列、、的通項公式分別為，、，.若對任意的，、、的值均能構成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（）A.4個 B.3個 C.1個 D.無數(shù)個三、解答題（本大題共5題，第17-19題每題14分，第20-21題每題18分，共78分.解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.）17.2024年東京奧運會，中國獲得了男子米混合泳接力金牌．以下是歷屆奧運會男子米混合泳接力項目冠軍成績記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93（1）求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；（2）從這10個數(shù)據(jù)中任選3個，求恰有2個數(shù)據(jù)在211以上的概率；（3）若比賽成績y關于年份x的回歸方程為，年份x的平均數(shù)為2006，預測2028年冠軍隊的成績（精確到0.01秒）．18.如圖，P是圓錐的頂點，O是底面圓心，AB是底面直徑，且．（1）若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側面積；（2）已知Q是母線PA的中點，點C、D在底面圓周上，且弧AC的長為，．設點M在線段OC上，證明：直線平面PBD．19.已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；20.已知橢圓，，A是的右頂點．（1）若的焦點，求離心率e；（2）若，且上存在一點P，滿足，求m；（3）已知AM的中垂線l的斜率為2，l與交于C、D兩點，為鈍角，求a的取值范圍．21.已知函數(shù)的定義域為．對于正實數(shù)a，定義集合．（1）若，判斷是否是中的元素，請說明理由；（2）若，求a的取值范圍；（3）若是偶函數(shù)，當時，，且對任意，均有．寫出，解析式，并證明：對任意實數(shù)c，函數(shù)在上至多有9個零點．

參考答案一、填空題（本大題共12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，共54分.考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果）1.【答案】##【分析】根據(jù)補集的含義即可得到答案.【詳解】根據(jù)補集的含義知.故答案為：.2.【答案】【分析】轉化為一元二次不等式，解出即可.【詳解】原不等式轉化為，解得，則其解集為.故答案為：.3.【答案】【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，.故答案為：4.【答案】【分析】利用通項公式求解可得.【詳解】由通項公式，令，得，可得項的系數(shù)為.故答案為：.5.【答案】【分析】利用余弦函數(shù)的單調性可得.【詳解】由函數(shù)在上單調遞增，在單調遞減，且，故函數(shù)在上的值域為.故答案為：.6.【答案】【分析】根據(jù)分布列結合期望公式可求期望.【詳解】由題設有.故答案為：.7.【答案】【分析】求出側棱長和底面邊長后可求體積.【詳解】因為且四邊形為正方形，故，而，故，故，故所求體積為，故答案為：.8.【答案】4【分析】靈活利用“1”將展開利用基本不等式計算即可.【詳解】易知，當且僅當，即時取得最小值.故答案為：49.【答案】288【分析】先選家長作隊尾和隊首，再排中間四人即可.【詳解】先選兩位家長排在首尾有種排法；再排對中的四人有種排法，故有種排法.故答案為：28810.【答案】【分析】先設，利用復數(shù)的乘方運算及概念確定，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義數(shù)形結合計算即可.【詳解】設，由題意可知，則，又，由復數(shù)的幾何意義知在復平面內對應的點在單位圓內部（含邊界）的坐標軸上運動，如圖所示即線段上運動，設，則，由圖象可知，所以.故答案為：11.【答案】【分析】先根據(jù)在處的旗桿算出陽光和水平面的夾角，然后結合處的旗桿算出斜面角.【詳解】如圖，在處，，在處滿足，（其中水平面，是射過處桿子最高點的光線，光線交斜面于），故設，則，由勾股定理，，解得，于是故答案為：12.【答案】【分析】利用分段函數(shù)值分類討論，可得，再根據(jù)數(shù)量積關系設出坐標，利用坐標運算，結合三角恒等變換求解模的范圍可得.【詳解】若，則，又三個向量均為平面內的單位向量，故向量兩兩垂直，顯然不成立；故.不妨設，則，不妨設，，則，則，則，由，，則，故.故答案為：.二、選擇題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分.每題有且僅有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.）13.【答案】B【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式可求.【詳解】因為相互獨立，故，故選：B.14.【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質分類討論與1的關系即可判定選項.【詳解】∵，∴，當時，定義域上嚴格單調遞減，此時若，則一定有成立，故D正確，C錯誤；當時，定義域上嚴格單調遞增，要滿足，需，即A、B錯誤.故選：D15.【答案】A【分析】設出曲線上一點為，得出，將三角形的高轉化成關于的函數(shù),分析其單調性，從而求解.【詳解】設曲線上一點為，則，則，，方程為：，即，根據(jù)點到直線的距離公式，到的距離為：，設，由于，顯然關于單調遞減，，無最小值，即中，邊上的高有最大值，無最小值，又一定，故面積有最大值，無最小值.故選：A16.【答案】B【分析】由可知范圍，再由三角形三邊關系可得的不等關系，結合函數(shù)零點解不等式可得.【詳解】由題意，不妨設，三點均在第一象限內，由可知，，故點恒在線段上，則有.即對任意的，恒成立，令，構造函數(shù)，則，由單調遞增，又，存在，使，即當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；故至多個零點，又由，可知存在個零點，不妨設，且.①若，即時，此時或.則，可知成立，要使、、的值均能構成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時，此時.則，可知成立，要使、、的值均能構成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個數(shù)有個.故選：B.三、解答題（本大題共5題，第17-19題每題14分，第20-21題每題18分，共78分.解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.）17.【答案】（1）；；（2）（3）【分析】（1）由最長與最短用時可得極差，由中間兩數(shù)平均數(shù)可得中位數(shù)；（2）由古典概型概率公式可得；（3）先求成績平均數(shù)，再由在回歸直線上，代入方程可得，再代入年份預測可得.【小問1詳解】由題意，數(shù)據(jù)的最大值為，最小值為，則極差為；數(shù)據(jù)中間兩數(shù)為與，則中位數(shù)為.故極差為，中位數(shù)為；【小問2詳解】由題意，數(shù)據(jù)共個，以上數(shù)據(jù)共有個，故設事件“恰有個數(shù)據(jù)在以上”，則，故恰有個數(shù)據(jù)在以上的概率為；【小問3詳解】由題意，成績的平均數(shù)，由直線過，則，故回歸直線方程為.當時,.故預測年冠軍隊的成績?yōu)槊?18.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由線面角先算出母線長，然后根據(jù)側面積公式求解.（2）證明平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質可得.【小問1詳解】由題知，，即軸截面是等邊三角形，故，底面周長為，則側面積為：;【小問2詳解】由題知，則根據(jù)中位線性質，，又平面，平面，則平面由于，底面圓半徑是，則，又，則，又，則為等邊三角形，則，于是且，則四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面.又平面，根據(jù)面面平行的判定，于是平面平面，又，則平面，則平面19.【答案】（1）（2）且.【分析】（1）先求出，從而原不等式即為，構建新函數(shù)，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式的解；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，就分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為，故，故，故，故即為，設，則，故在上為增函數(shù)，而即為，故，故原不等式的解為.【小問2詳解】在有極大值即為有極大值點.，若，則時，，時，，故為的極小值點，無極大值點，故舍；若即，則時，，時，，故為的極大值點，符合題設要求；若，則時，，無極值點，舍；若即，則時，，時，，故為的極大值點，符合題設要求；綜上，且.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由方程可得，再由焦點坐標得，從而求出得離心率；（2）設點坐標，由向量關系坐標化可解得坐標，代入橢圓方程可得；（3）根據(jù)中垂線性質，由斜率與中點坐標得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，將鈍角條件轉化為向量不等式，再坐標化利用韋達定理代入化簡不等式求解可得范圍.【小問1詳解】由題意知，，則，由右焦點，可知，則，故離心率.【小問2詳解】由題意，由得，，解得，代入，得，又，解得.【小問3詳解】由線段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為，則，解得，由得中點坐標為，故直線，顯然直線過橢圓內點，故直線與橢圓恒有兩不同交點，設，由消得，由韋達定理得，因為為鈍角，則，且，則有，所以，即，解得，又，故，即的取值范圍是.21.【答案】（1）不是；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）直接代入計算和即可；（2）法一：轉化為在實數(shù)使得，分析得，再計算得，最后根據(jù)的范圍即可得到答案；法二：畫出函數(shù)圖象，轉化為直線與該函數(shù)有兩個交點，將用表示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質即可得到答案；（3）利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出時解析式，再分析出，最后對的范圍進行分類討論即可.【小問1詳解】（1），，則不是中的元素.【小問2詳解】法一：因為，則存在實數(shù)使得，且，當時，，其在上嚴格單調遞增，當時，，其在上也嚴格單調遞增，則，則，令，解得，則，則.法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線與該函數(shù)有兩個交點，由圖知，假設交點分別為，，聯(lián)立方程組得【小問3詳解】（3）對任意，因為其是偶函數(shù)，則，而，所以，所